Упаковка сферы в цилиндр

Столбчатая структура или кристалл представляет собой цилиндрическую структуру, которая образует в контексте цилиндрической сферической упаковки внутри или на поверхности столбчатого ограничения. Сферы одинакового размера собираются на поверхности цилиндра в упорядоченную столбчатую структуру, если диаметр цилиндра имеет такой же порядок величины.${\ displaystyle d}$

Типичная упорядоченная столбчатая структура собирается путем последовательного падения мячей для гольфа внутрь трубы.

Появление в науке [ править ]

Столбчатые структуры появляются в различных областях исследований в широком диапазоне масштабов длины от метров до наномасштаба. В самом крупном масштабе такие структуры можно найти в ботанике, где семена растения собираются вокруг стебля. В меньшем масштабе пузырьки равного размера кристаллизуются в столбчатые структуры пены, когда они заключены в стеклянную трубку. В нанонауке такие структуры можно найти в искусственных объектах, размер которых составляет от микрона до наномасштаба.

Ботаника [ править ]

Столбчатые структуры впервые были изучены в ботанике из-за их разнообразного внешнего вида у растений. ^[1] Д'Арси Томпсон проанализировал такое расположение частей растения вокруг стебля в своей книге « О росте и форме » (1917). Но они также представляют интерес и в других биологических областях, включая бактерии, ^[2] вирусы, ^[3] микротрубочки , ^[4] , а также хорды от гиреллы . ^[5]

Один из самых крупных цветов, в котором ягоды имеют правильную цилиндрическую форму, - это titan arum . Этот цветок может достигать 3 м в высоту и произрастает исключительно на западной Суматре и западной Яве.

Ягоды arum maculatum осенью на более мелких чешуях образуют столбчатую структуру. Его ягоды похожи на ягоды трупного цветка, так как titan arum является его более крупным родственником. Однако по высоте кукушка-пинта намного меньше (высота ≈ 20 см). Расположение ягод варьируется от стебля до размера ягоды.

Еще одно растение, которое можно найти во многих садах жилых районов, - это австралийская щетка для бутылок . Он собирает свои семенные коробочки вокруг ветки растения. Структура зависит от размера семенной коробочки до размера ветки.

Пены [ править ]

Еще одним примером упорядоченного столбчатого расположения на макроуровне являются пенные структуры, заключенные внутри стеклянной трубки. Они могут быть реализованы экспериментально с помощью мыльных пузырей одинакового размера внутри стеклянной трубки, получаемых путем продувки воздухом постоянного потока газа через иглу, погруженную в раствор ПАВ. ^[6] Поместив образовавшийся столб пены в принудительный дренаж (подавая в него раствор поверхностно-активного вещества сверху), можно придать пене либо сухую (пузырьки в форме многогранников ), либо влажную (сферические пузырьки) структуру. ^[7]

Благодаря этой простой экспериментальной установке многие столбчатые структуры были обнаружены и исследованы в контексте пен с помощью экспериментов, а также моделирования. Многие симуляции были выполнены с использованием Surface Evolver для исследования сухой структуры или модели твердых сфер для влажного предела, когда пузырьки имеют сферическую форму.

В зигзагообразной структуре пузыри уложены друг на друга в непрерывную W-образную форму. Для этой конкретной структуры о движущейся границе раздела с увеличивающейся жидкой фракцией сообщили Hutzler et al. в 1997 г. ^[8] Это включало неожиданный поворот интерфейса на 180 °, объяснение которого до сих пор отсутствует.

Первое экспериментальное наблюдение структуры линейного скольжения было обнаружено Винкельманном и др. в системе пузырьков. ^[9]

Другие обнаруженные структуры включают сложные структуры с внутренними сферами / ячейками пены. Было обнаружено, что некоторые структуры сухой пены с внутренними ячейками состоят из цепочки пятиугольных додекаэдров или ячеек Кельвина в центре трубки. ^[10] Для многих других устройств этого типа было замечено, что внешний пузырьковый слой упорядочен, при этом каждый внутренний слой напоминает различную, более простую столбчатую структуру с помощью рентгеновской томографии . ^[6]

Нанонаука [ править ]

Столбчатые структуры также интенсивно изучались в контексте нанотрубок . Их физические или химические свойства можно изменить, улавливая в них идентичные частицы. ^{[11] [12] [13]} Обычно это делается путем самосборки фуллеренов, таких как C60 , C70 или C78, ​​в углеродные нанотрубки, ^[11] но также и нанотрубки из нитрида бора ^[14]

Такие структуры также собираются, когда частицы покрывают поверхность сфероцилиндра, как в контексте фармацевтических исследований. Лазаро и др. исследовали морфологию белков капсида вируса, самоорганизующихся вокруг металлических наностержней. ^[15] Частицы лекарства были нанесены на сфероцилиндр как можно плотнее, чтобы обеспечить наилучшее лечение.

Wu et al. построены стержни размером в несколько микрон. Эти микростержни создаются путем плотной упаковки коллоидных частиц кремнезема внутри цилиндрических пор. Путем отверждения собранных структур микростержни были отображены и исследованы с помощью сканирующей электронной микроскопии (SEM). ^[16]

Столбчатые конструкции также исследуются в качестве возможных кандидатов в оптические метаматериалы (т.е. материалы с отрицательным показателем преломления), которые находят применение в суперлинзах ^[17] или в оптической маскировке. ^[18] Tanjeem et al. строят такой резонатор путем самосборки наносфер на поверхности цилиндра. ^{[19] [20]} Наносферы подвешены в растворе SDS вместе с цилиндром диаметром , намного превышающим диаметр наносфер ( ). Затем наносферы прилипают к поверхности цилиндров за счет истощающей силы .${\ textstyle D}$${\ displaystyle d}$${\ textstyle D / d \ приблизительно 3 {\ text {to}} 5}$

Классификация с использованием филлотактической нотации [ править ]

Наиболее распространенный способ классификации упорядоченных столбчатых структур использует филлотактическую нотацию , заимствованную из ботаники. Он используется для описания расположения листьев растения, сосновых шишек или ананасов, а также плоских узоров соцветий на головке подсолнуха. В то время как расположение в первом цилиндрическое, спирали во втором расположены на диске. Для столбчатых структур принят филлотаксис в контексте цилиндрических структур.

Филлотактическая система обозначений описывает такие структуры тройкой натуральных чисел с . Каждое число , и описывает семейство спиралей в трехмерной упаковке. Они считают количество спиралей в каждом направлении, пока спираль не повторится. Однако это обозначение применимо только к треугольным решеткам и, следовательно, ограничивается упорядоченными структурами без внутренних сфер.${\ Displaystyle (л = т + п, т, п)}$${\ textstyle l \ geq m \ geq n}$${\ textstyle l}$${\ displaystyle m}$${\ textstyle n}$

Типы упорядоченных столбчатых структур без внутренних сфер [ править ]

Упорядоченные столбчатые конструкции без внутренних сфер делятся на два отдельных класса: однородные и линейно-скользящие конструкции. Для каждой структуры, которую можно отождествить с триплетом , существует однородная структура и, по крайней мере, одно линейное скольжение.${\ textstyle (л, м, п)}$

Единая структура [ править ]

Единообразная структура определяется по каждой сфере, имеющей одинаковое количество контактирующих соседей. ^[21] Это дает каждой сфере идентичное окружение. На изображении в качестве примера сбоку каждая сфера имеет шесть соседних контактов.

Количество контактов лучше всего визуализируется в развернутой контактной сети. Он создается путем раскатывания контактной сети в плоскости высоты и азимутального угла каждой сферы. Для однородной структуры, такой как на изображении в качестве примера, это приводит к правильной гексагональной решетке . Каждая точка в этом шаблоне представляет сферу упаковки, а каждая линия - контакт между соседними сферами.${\ textstyle z}$${\ textstyle \ theta}$

Для всех однородных структур с отношением диаметров выше , правильная гексагональная решетка является характерной чертой, поскольку этот тип решетки имеет максимальное количество контактов. ^[21] Для различных однородных структур развернутый рисунок контакта изменяется только за счет поворота в плоскости. Таким образом, каждая однородная структура отличается своим вектором периодичности , который определяется филлотактическим триплетом .${\ displaystyle D / d> 2,0}$${\ Displaystyle (л, м, п)}$${\ textstyle г {\ текст {-}} \ theta}$${\ textstyle V}$${\ Displaystyle (л, м, п)}$

Линия скольжения [ править ]

Для каждой однородной структуры также существует связанная, но разная структура, называемая схемой скольжения. ^[21]

Различия между однородной структурой и структурой со скольжением незначительны, и их трудно обнаружить на изображениях упаковок сфер. Однако, сравнивая их развернутые контактные сети, можно заметить, что некоторые линии (которые представляют контакты) отсутствуют.

Все сферы в однородной структуре имеют одинаковое количество контактов, но количество контактов для сфер в линейном скольжении может отличаться от сферы к сфере. В примере смещения линии на изображении справа некоторые сферы насчитывают пять, а другие шесть контактов. Таким образом, структура линейного скольжения характеризуется этими зазорами или потерей контактов.

Такая структура называется проскальзыванием линии, потому что потери контактов происходят вдоль линии в развернутой контактной сети. Впервые он был идентифицирован Пикетом и др. , но не называется проскальзыванием линии. ^[22]

Направление, в котором происходит потеря контактов, может быть обозначено в филлотактических обозначениях , поскольку каждое число представляет один из векторов решетки в гексагональной решетке. ^[21] Обычно это обозначается жирным шрифтом.${\ textstyle (л, м, п)}$

Срезая ряд сфер ниже потери контакта относительно ряда выше потери контакта, можно восстановить две однородные структуры, связанные с этим проскальзыванием линии. Таким образом, каждое линейное скольжение связано с двумя соседними однородными структурами, одна с большим отношением диаметров, а другая с меньшим соотношением диаметров . ^{[21] [23]}${\ textstyle D / d}$

Винкельманн и др. были первыми, кто экспериментально реализовал такую ​​структуру с использованием мыльных пузырей в системе деформируемых сфер. ^[9]

Плотные сферы в цилиндрах [ править ]

Столбчатые структуры возникают естественным образом в контексте плотной упаковки твердых сфер внутри цилиндра. Mughal et al. исследовали такие насадки с использованием моделированного отжига до отношения диаметра цилиндра к диаметру сферы . ^[23] Это включает в себя некоторые конструкции с внутренними сферами, которые не контактируют со стенкой цилиндра.${\ textstyle D / d = 2,873}$${\ textstyle D}$${\ textstyle d}$

Они рассчитали долю упаковки для всех этих структур как функцию отношения диаметров. На вершинах этой кривой лежат однородные структуры. Между этими дискретными соотношениями диаметров находятся линейные проскальзывания при более низкой плотности упаковки. Их доля упаковки значительно меньше, чем у неограниченной решетчатой ​​упаковки, такой как ГЦК , ОЦК или ГПУ, из-за свободного объема, оставленного цилиндрическим ограничением.

Богатое разнообразие таких упорядоченных структур также может быть получено путем последовательного размещения сфер в цилиндре. ^[24] Чан воспроизвел все плотные упаковки сфер, вплоть до использования алгоритма, в котором сферы последовательно помещаются внутрь цилиндра.${\ textstyle D / d <2.7013}$

Mughal et al. также обнаружил, что такие структуры могут быть связаны с дисковыми набивками на поверхности цилиндра. ^[23] Контактная сеть обеих упаковок идентична. Для обоих типов насадок было обнаружено, что разные однородные конструкции связаны друг с другом линейными клиньями. ^[23]

Fu et al. расширил эту работу до более высоких соотношений диаметров с помощью линейного программирования и обнаружил 17 новых плотных структур с внутренними сферами, не контактирующими со стенкой цилиндра. ^[25]${\ textstyle D / d <4.0}$

Подобное разнообразие плотных кристаллических структур также было обнаружено для столбчатых упаковок сфероидов с помощью моделирования Монте-Карло . ^[26] Такие упаковки включают ахиральные структуры с особыми сфероидальными ориентациями и хиральные спиральные структуры с вращающимися сфероидальными ориентациями.

Столбчатые структуры, созданные быстрым вращением [ править ]

Еще один динамический метод сборки таких структур был предложен Lee et al . ^[27] Здесь полимерные шарики помещаются вместе с жидкостью более высокой плотности во вращающийся токарный станок .

Когда токарный станок статичен, шарики плавают поверх жидкости. С увеличением скорости вращения центростремительная сила выталкивает жидкость наружу, а шарики - к центральной оси. Следовательно, шарики по существу ограничены потенциалом, определяемым энергией вращения.

где - масса бусинок, расстояние от центральной оси и скорость вращения. Из-за пропорциональности ограничивающий потенциал напоминает потенциал цилиндрического гармонического осциллятора .${\ textstyle m}$${\textstyle R}$${\textstyle \omega }$${\textstyle R^{2}}$

В зависимости от количества сфер и скорости вращения были обнаружены различные упорядоченные структуры, сопоставимые с плотными упаковками сфер.

Исчерпывающая теория этого эксперимента была разработана Винкельманном и др. ^[28] Он основан на аналитических расчетах энергии с использованием общей сферической модели и предсказывает переходы перитектоидной структуры.

См. Также [ править ]

• Упаковка сфер
• Плотная упаковка равных сфер
• Проблемы с упаковкой

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Беккер, Аарон Т. и Хуанг, Л. «Упаковка сфер в тонкий цилиндр» . MathWorld .