Спирограф

Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален Поиск источников:  «Спирограф»  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( июль 2011 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Спирограф

Набор спирографа (версия для Великобритании начала 1980-х)
Компания	Hasbro
Страна	объединенное Королевство
Доступность	1965 – настоящее время
Материалы	Пластик
Официальный веб-сайт

Спирограф - это устройство для геометрического рисования, которое создает математические кривые рулетки, которые технически известны как гипотрохоиды и эпитрохоиды . Хорошо известная версия игрушки была разработана британским инженером Денисом Фишером и впервые продана в 1965 году.

Название было зарегистрировано торговой маркой от Hasbro Inc. начиная с 1998 г. после приобретения компании , которая приобрела компанию Denys Fisher. Бренд спирографа был перезапущен во всем мире в 2013 году с оригинальными конфигурациями продуктов компанией Kahootz Toys .

История [ править ]

В 1827 году английский архитектор и инженер греческого происхождения Питер Хуберт Десвиньс разработал и рекламировал «Speiragraph», устройство для создания сложных спиральных рисунков. Человек по имени Дж. Джоплинг вскоре заявил, что ранее изобрел подобные методы. ^[1] Работая в Вене между 1845 и 1848 годами, Десвинь сконструировал версию машины, которая помогла бы предотвратить подделку банкнот, ^{[2] так} как любой из почти бесконечных вариантов узоров рулетки, которые он мог производить, было чрезвычайно сложно перепроектировать. Математик Бруно Абаканович изобрел новый спирограф между 1881 и 1900 годами. Его использовали для вычисления площади, ограниченной кривыми. ^[3]

Игрушки для рисования на основе шестеренок существуют по крайней мере с 1908 года, когда The Marvelous Wondergraph рекламировали в каталоге Sears . ^{[4] [5]} Статья, описывающая, как сделать машину для рисования Wondergraph, появилась в публикации Boys Mechanic в 1913 году. ^[6]

Идеальная игрушка-спирограф была разработана британским инженером Денисом Фишером между 1962 и 1964 годами, создавая машины для рисования с элементами Meccano . Фишер выставил свой спирограф на Международной выставке игрушек в Нюрнберге в 1965 году . Впоследствии он был произведен его компанией. Права на распространение в США были приобретены Kenner , Inc., которая представила его на рынке США в 1966 году и продвигала как творческую детскую игрушку. Позже Кеннер представил Spirotot, Magnetic Spirograph, Spiroman и различные наборы для заправки. ^[7]

В 2013 году бренд Spirograph был перезапущен во всем мире с оригинальными шестеренками и колесами от Kahootz Toys. В современных изделиях вместо штифтов используется съемная замазка для фиксации неподвижных деталей. Спирограф был назван игрушкой года в двух номинациях 2014 года, спустя 45 лет после того, как игрушка была названа игрушкой года в 1967 году.

Операция [ править ]

Анимация спирографа

Первоначальный спирограф, выпущенный в США, состоял из двух пластиковых колец (или статоров ) разного размера с зубьями шестерни как на внутренней, так и на внешней окружности. Как только одно из этих колец удерживается на месте (штифтами, клеем или вручную), любое из нескольких предоставленных зубчатых колес (или роторов ) - в каждом есть отверстия для шариковой ручки- можно вращать вокруг кольца для рисования геометрических фигур. Позже суперспирограф ввел дополнительные формы, такие как кольца, треугольники и прямые стержни. Все края каждой детали имеют зубцы, чтобы зацепиться с любой другой деталью; шестерни меньшего размера помещаются внутри больших колец, но они также могут вращаться вдоль внешнего края колец или даже вокруг друг друга. Шестерни можно комбинировать в самых разных вариантах. В комплекты часто входили ручки разного цвета, которые могли улучшить дизайн, переключая цвета, как показано в приведенных здесь примерах.

Новички часто проскальзывают шестерни, особенно при использовании отверстий рядом с краями больших колес, что приводит к ломаным или неровным линиям. Опытные пользователи могут научиться перемещать несколько частей относительно друг друга (например, треугольник вокруг кольца с кругом, «взбирающимся» с кольца на треугольник).

Математическая основа [ править ]

Рассмотрим фиксированный внешний круг радиуса с центром в начале координат. Меньший внутренний круг радиуса катится внутрь и непрерывно к нему касается. будет считаться, что он никогда не соскользнет (в реальном спирографе зубцы на обеих окружностях предотвращают такое скольжение). Теперь предположим, что точка, лежащая где-то внутри , находится на некотором расстоянии от центра. Эта точка соответствует отверстию для ручки на внутреннем диске настоящего спирографа. Без ограничения общности можно предположить, что в начальный момент точка находилась на оси. Чтобы найти траекторию, созданную спирографом, следите за точкой, когда внутренний круг приводится в движение.${\ displaystyle C_ {o}}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle C_ {i}}$${\ Displaystyle г <R}$${\ displaystyle C_ {o}}$${\ displaystyle C_ {i}}$${\ displaystyle C_ {o}}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle C_ {i}}$${\ displaystyle \ rho <r}$${\ displaystyle C_ {i}}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle A}$

Теперь отметьте две точки снова и снова . Точка всегда указывает место касания двух окружностей. Точка , однако, будет двигаться дальше , и ее первоначальное положение совпадает с . Приводится в движение против часовой стрелки , имеет вращение по часовой стрелке относительно своего центра. Расстояние, точка траверса на одно и то же, что и проходимые точки касания на , из - за отсутствие скольжения.${\ displaystyle T}$${\ displaystyle C_ {o}}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle C_ {i}}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle C_ {i}}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle C_ {i}}$${\ displaystyle C_ {o}}$${\ displaystyle C_ {i}}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle C_ {i}}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle C_ {o}}$

Теперь определите новую (относительную) систему координат с ее началом в центре и осями, параллельными и . Пусть параметр будет угол , с помощью которого касательные точка поворачивается на , и быть угол , на который поворачивается (т.е. , по которому перемещается) в относительной системе координат. Поскольку нет скольжения, расстояния, пройденные по их соответствующим кругам и вдоль них, должны быть одинаковыми, поэтому${\ displaystyle (X ', Y')}$${\ displaystyle C_ {i}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle t}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle C_ {o}}$${\ displaystyle t '}$${\ displaystyle C_ {i}}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle T}$

${\ Displaystyle tR = (т-т ') г,}$

или эквивалентно,

${\ displaystyle t '= - {\ frac {Rr} {r}} t.}$

Принято считать, что движение против часовой стрелки соответствует положительному изменению угла, а движение по часовой стрелке - отрицательному изменению угла. Знак минус в приведенной выше формуле ( ) соответствует этому соглашению.${\ displaystyle t '<0}$

Позвольте быть координаты центра в абсолютной системе координат. Затем представляет собой радиус траектории центра , который (опять же в абсолютной системе) совершает круговое движение таким образом:${\ displaystyle (x_ {c}, y_ {c})}$${\ displaystyle C_ {i}}$${\ displaystyle Rr}$${\ displaystyle C_ {i}}$

${\ Displaystyle {\ begin {align} x_ {c} & = (Rr) \ cos t, \\ y_ {c} & = (Rr) \ sin t. \ end {align}}}$

Как определено выше, это угол поворота в новой относительной системе. Поскольку точка подчиняется обычному закону кругового движения, ее координаты в новой относительной системе координат равны${\ displaystyle t '}$${\ displaystyle A}$${\ Displaystyle (х ', у')}$

${\ displaystyle {\ begin {align} x '& = \ rho \ cos t', \\ y '& = \ rho \ sin t'. \ end {выравнивается}}}$

Чтобы получить траекторию движения в абсолютной (старой) системе координат, сложите эти два движения:${\ displaystyle A}$

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=x_{c}+x'=(R-r)\cos t+\rho \cos t',\\y&=y_{c}+y'=(R-r)\sin t+\rho \sin t',\\\end{aligned}}}$

где определено выше.${\displaystyle \rho }$

Теперь используйте соотношение между и, полученное выше, чтобы получить уравнения, описывающие траекторию точки с точки зрения одного параметра :${\displaystyle t}$${\displaystyle t'}$${\displaystyle A}$${\displaystyle t}$

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=x_{c}+x'=(R-r)\cos t+\rho \cos {\frac {R-r}{r}}t,\\y&=y_{c}+y'=(R-r)\sin t-\rho \sin {\frac {R-r}{r}}t\\\end{aligned}}}$

(используя тот факт , что функция является нечетной ).${\displaystyle \sin }$

Это удобно представить уравнение выше в терминах радиуса от и безразмерных параметров , характеризующих структуру Спирографа. А именно пусть${\displaystyle R}$${\displaystyle C_{o}}$

${\displaystyle l={\frac {\rho }{r}}}$

и

${\displaystyle k={\frac {r}{R}}.}$

Параметр показывает, насколько далеко точка расположена от центра . В то же время показывает , насколько большой внутренний круг по отношению к внешнему .${\displaystyle 0\leq l\leq 1}$${\displaystyle A}$${\displaystyle C_{i}}$${\displaystyle 0\leq k\leq 1}$${\displaystyle C_{i}}$${\displaystyle C_{o}}$

Сейчас наблюдается, что

${\displaystyle {\frac {\rho }{R}}=lk,}$

и поэтому уравнения траекторий принимают вид

${\displaystyle {\begin{aligned}x(t)&=R\left[(1-k)\cos t+lk\cos {\frac {1-k}{k}}t\right],\\y(t)&=R\left[(1-k)\sin t-lk\sin {\frac {1-k}{k}}t\right].\\\end{aligned}}}$

Параметр является параметром масштабирования и не влияет на структуру спирографа. При различных значениях будут получены похожие рисунки спирографа.${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$

Два крайних случая и приводят к вырожденным траекториям спирографа. В первом крайнем случае, когда у нас есть простая окружность радиуса , соответствующая случаю, когда она была сжата в точку. (Деление на в формуле не является проблемой, поскольку обе и являются ограниченными функциями).${\displaystyle k=0}$${\displaystyle k=1}$${\displaystyle k=0}$${\displaystyle R}$${\displaystyle C_{i}}$${\displaystyle k=0}$${\displaystyle \sin }$${\displaystyle \cos }$

В другом крайнем случае соответствует внутреннему кругу «с радиусом , соответствующий радиус внешней окружности , то есть . В этом случае траектория представляет собой единую точку. Интуитивно понятно, что он слишком большой, чтобы катиться внутрь такого же размера без скольжения.${\displaystyle k=1}$${\displaystyle C_{i}}$${\displaystyle r}$${\displaystyle R}$${\displaystyle C_{o}}$${\displaystyle r=R}$${\displaystyle C_{i}}$${\displaystyle C_{o}}$

Если , то точка находится на окружности . В этом случае траектории называются гипоциклоидами, а приведенные выше уравнения сводятся к уравнениям для гипоциклоиды.${\displaystyle l=1}$${\displaystyle A}$${\displaystyle C_{i}}$

См. Также [ править ]

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Официальный веб-сайт
• Воевудко, А.Е. (12 марта 2018 г.). «Гирографические кривые» . Код проекта .