Проблема Стефана

Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален.
Найти источники: «Проблема Стефана» - новости · газеты · книги · ученый · JSTOR ( июль 2013 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

В математике и ее приложениях, особенно к фазовым переходам в веществе, задача Стефана - это особый вид краевой задачи для системы дифференциальных уравнений в частных производных (PDE), в которой граница между фазами может перемещаться со временем. В классической задаче Стефана цели , чтобы описать эволюцию границы между двумя фазами материала , совершающим изменением фазы , например , плавлением твердого тела, такими , как лед на воду . Это достигается путем решения уравнений теплопроводностив обоих регионах при заданных граничных и начальных условиях. На границе раздела фаз (в классической задаче) температура устанавливается равной температуре фазового перехода. Чтобы замкнуть математическую систему, требуется еще одно уравнение - условие Стефана . Это энергетический баланс, который определяет положение движущегося интерфейса. Обратите внимание, что эта развивающаяся граница является неизвестной (гипер) поверхностью ; следовательно, задачи Стефана являются примерами задач со свободными границами .

Аналогичные проблемы возникают, например, при изучении течения пористой среды, математических расчетов и роста кристаллов из растворов мономеров. ^[1]

Историческая справка [ править ]

Задача названа в честь Йозефа Стефана (Jožef Stefan), словенского физика, который представил общий класс таких задач около 1890 года в серии из четырех статей, касающихся замерзания земли и образования морского льда . ^[2] Однако около 60 лет назад, в 1831 году, аналогичная проблема, касающаяся образования земной коры, была изучена Ламе и Клапейроном . Проблема Стефана допускает решение подобия , это часто называют решением Неймана , которое якобы было представлено в серии лекций в начале 1860-х годов.

Исчерпывающее описание истории проблем Стефана можно найти у Рубинштейна. ^[3]

Предпосылки к математическому описанию [ править ]

С математической точки зрения фазы - это просто области, в которых решения лежащего в основе PDE непрерывны и дифференцируются до порядка PDE. В физических задачах такие решения представляют свойства среды для каждой фазы. Подвижные границы (или интерфейсы ) представляют собой бесконечно тонкие поверхности , разделяющие соседние фазы; следовательно, решения базового PDE и его производных могут иметь разрывы между интерфейсами.

Базовые PDE недействительны на интерфейсах фазового перехода; следовательно, для получения замыкания необходимо дополнительное условие - условие Стефана . Условие Стефана выражает локальную скорость движущейся границы как функцию величин, оцениваемых по обе стороны от фазовой границы, и обычно выводится из физического ограничения. В задачах теплопередачи с фазовым переходом, например, сохранение энергии требует, чтобы разрыв теплового потока на границе учитывался скоростью скрытого тепловыделения (которая пропорциональна локальной скорости границы раздела).

Математическая формулировка [ править ]

Одномерная однофазная проблема Стефана [ править ]

Однофазная задача Стефана основана на предположении, что одной из материальных фаз можно пренебречь. Обычно это достигается путем предположения, что фаза находится при температуре фазового перехода, и, следовательно, любое отклонение от нее приводит к изменению фазы. Это математически удобное приближение, которое упрощает анализ, одновременно демонстрируя основные идеи, лежащие в основе процесса. Еще одно стандартное упрощение - работа в безразмерном формате, так что температура на интерфейсе может быть установлена на ноль, а значения в дальней зоне - на +1 или -1.

Рассмотрим полубесконечную одномерную глыбу льда при температуре плавления $u \equiv 0$ для $x \in [0, + \infty)$ . Самая известная форма проблемы Стефана включает плавление через заданную постоянную температуру на левой границе, оставляя область $[0, s (t)],$ занятую водой. Глубина плавления, обозначенная $s (t)$ , является неизвестной функцией времени. Проблема Стефана определяется следующим образом:

{\begin{aligned}{\frac {\partial u}{\partial t}}&={\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}&&{\text{in }}\{(x,t):0<x<s(t),t>0\},&&{\text{the heat equation}},\\[6pt]u(0,t)&=1,&&t>0,&&{\text{fixed temperature, above the melt temperature, on the left boundary}},&&\\[6pt]u{\big (}s(t),t{\big )}&=0,&&t>0,&&{\text{the interface at the melting temperature}},\\[6pt]\beta {\frac {\mathrm {d} s}{\mathrm {d} t}}&=-{\frac {\partial u}{\partial x}}{\big (}s(t),t{\big )},&&t>0,&&{\text{Stefan condition}},\\[6pt]u(x,0)&=0,&&x\geq 0,&&{\text{initial temperature distribution}},\\[6pt]s(0)&=0,&&&&{\text{initial depth of the melted ice block}}.\end{aligned}}

где β - число Стефана, отношение скрытой теплоемкости к удельной ощутимой теплоте (где конкретная означает, что она делится на массу). Обратите внимание, что это определение естественно следует из безразмерности и используется во многих текстах ^[4]^[5], однако оно также может быть определено как обратное этому (например, в статье Википедии, число Стефана ).

Решение Неймана, полученное с использованием автомодельных переменных, указывает, что положение границы задается формулой где λ удовлетворяет трансцендентному уравнению

{\textstyle s=2\lambda {\sqrt {t}}}

{\begin{aligned}\beta \lambda ={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}{\frac {{\text{exp}}(-\lambda ^{2})}{{\text{erf}}(\lambda )}}.\end{aligned}}

Тогда температура жидкости определяется выражением

T=1-{\frac {{\text{erf(}}x/(2{\sqrt {t}}))}{{\text{erf}}(\lambda )}}.

Приложения [ править ]

Помимо моделирования плавления твердых тел, задача Стефана также используется в качестве модели асимптотического поведения (во времени) более сложных задач. Например, Пего ^[6] использует согласованные асимптотические разложения, чтобы доказать, что решения Кана-Хилларда для задач разделения фаз ведут себя как решения нелинейной задачи Стефана в промежуточном масштабе времени. Кроме того, решение уравнения Кана – Хиллиарда для бинарной смеси достаточно сравнимо с решением задачи Стефана. ^[7] В этом сравнении проблема Стефана была решена с использованием метода движущихся сеток с отслеживанием фронта и однородными граничными условиями Неймана на внешней границе. Также задачи Стефана могут быть применены для описания фазовых превращений. ^[8]

Проблема Стефана также имеет богатую обратную теорию; в таких задачах глубина измерения (или кривая, или гиперповерхность ) $s$ является известной точкой отсчета, и задача состоит в том, чтобы найти $u$ или $f$ . ^[9]

Расширенные формы проблемы Стефана [ править ]

Классическая задача Стефана имеет дело с неподвижными материалами с постоянными теплофизическими свойствами (обычно независимо от фазы), постоянной температурой фазового перехода и, в приведенном выше примере, мгновенным переключением с начальной температуры на определенное значение на границе. На практике термические свойства могут изменяться, и в частности, они всегда меняются при изменении фазы. Скачок плотности при изменении фазы вызывает движение жидкости: результирующая кинетическая энергия не фигурирует в стандартном энергетическом балансе. С мгновенным переключателем температуры начальная скорость жидкости бесконечна, что приводит к начальной бесконечной кинетической энергии. Фактически, слой жидкости часто находится в движении, поэтому в уравнении теплопроводности требуются члены адвекции или конвекции.. Температура плавления может варьироваться в зависимости от размера, кривизны или скорости поверхности раздела. Невозможно мгновенно переключить температуру, а затем трудно поддерживать точно фиксированную граничную температуру. Кроме того, на наномасштабе температура может даже не подчиняться закону Фурье.

Некоторые из этих проблем были решены в последние годы для различных физических приложений. При затвердевании переохлажденных расплавов анализ, в котором температура фазового перехода зависит от скорости межфазной границы, можно найти в Font et al . ^[10] Наноразмерное затвердевание с переменной температурой фазового перехода и эффектами энергии / плотности моделируется. ^[11]^[12] Затвердевание с потоком в канале было изучено в контексте лавы ^[13] и микроканалов, ^[14] или со свободной поверхностью в контексте замерзания воды над слоем льда. ^[15]^[16]Общая модель, включающая различные свойства в каждой фазе, переменную температуру фазового перехода и уравнения теплопроводности, основанная либо на законе Фурье, либо на уравнении Гайера-Крумхансла, анализируется в ^[17].

См. Также [ править ]

Задача со свободной границей
Ольга Арсеньевна Олейник
Шошана Камин
Уравнение Стефана

Заметки [ править ]

^ Прикладные уравнения в частных производных . Ockendon, JR (Rev. ed.). Оксфорд: Издательство Оксфордского университета. 2003. ISBN 0-19-852770-5. OCLC 52486357 .CS1 maint: others (link)
^ ( Вуйк 1993 , с. 157).
^ РУБИНШТЕЙН, LI (2016). ПРОБЛЕМА СТЕФАНА . [Место публикации не указано]: Американское математическое общество. ISBN 978-1-4704-2850-1. OCLC 973324855 .
^ Дэвис, Стивен Х., 1939-. Теория затвердевания . Кембридж. ISBN 978-0-511-01924-1. OCLC 232161077 .CS1 maint: multiple names: authors list (link)
^ Fowler, AC (Andrew Cadle), 1953- (1997). Математические модели в прикладных науках . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-46140-5. OCLC 36621805 .CS1 maint: multiple names: authors list (link)
^ RL Пего. (1989). Передняя миграция в нелинейном уравнении Кана-Хиллиарда. Proc. R. Soc. Лондон. А. , 422 : 261–278.
^ Vermolen, FJ; Gharasoo, MG; Zitha, PLJ; Брюнинг, Дж. (2009). "Численные решения некоторых задач диффузной границы: уравнение Кана – Хиллиарда и модель Томаса и Виндла". Международный журнал многомасштабной вычислительной инженерии . 7 (6): 523–543. DOI : 10.1615 / IntJMultCompEng.v7.i6.40 .
^ Альваренга HD, Ван - де - Путтер Т, Ван Steenberge N, Sietsma Дж, Terryn Н (апрель 2009 г.). «Влияние морфологии и микроструктуры карбидов на кинетику поверхностного обезуглероживания C-Mn сталей». Металлургическая и Транзакции материалов A . 46 : 123–133. Bibcode : 2015MMTA ... 46..123A . DOI : 10.1007 / s11661-014-2600-у . S2CID 136871961 .
^ ( Кирш 1996 ).
^ Шрифт, F .; Mitchell, SL; Майерс, Т.Г. (01.07.2013). «Одномерное затвердевание переохлажденных расплавов» . Международный журнал тепломассообмена . 62 : 411–421. DOI : 10.1016 / j.ijheatmasstransfer.2013.02.070 . ISSN 0017-9310 .
^ Myers, TG (2016-08-01). «Математическое моделирование фазового перехода на наноуровне» . Международные коммуникации в тепло- и массообмене . 76 : 59–62. DOI : 10.1016 / j.icheatmasstransfer.2016.05.005 . ISSN 0735-1933 .
^ Шрифт, F .; Майерс, Т.Г.; Митчелл, SL (февраль 2015 г.). «Математическая модель плавления наночастиц с изменением плотности». Микрофлюидика и нанофлюидика . 18 (2): 233–243. DOI : 10.1007 / s10404-014-1423-х . ISSN 1613-4982 . S2CID 54087370 .
Перейти ↑ Lister, JR (1994). «Затвердевание управляемого плавучести потока в канале с гибкими стенками. Часть 1. Выпуск постоянного объема» . Журнал гидромеханики . 272 : 21–44. Bibcode : 1994JFM ... 272 ... 21L . DOI : 10.1017 / S0022112094004362 .
^ Майерс, Т. Г.; Лоу, Дж. (Октябрь 2011 г.). «Приближенная математическая модель затвердевания текущей жидкости в микроканале» . Микрофлюидика и нанофлюидика . 11 (4): 417–428. DOI : 10.1007 / s10404-011-0807-4 . ISSN 1613-4982 . S2CID 97060677 .
^ Майерс, Т. Г.; Шарпен, JPF; Чепмен, SJ (август 2002 г.). «Течение и затвердевание тонкой пленки жидкости на произвольной трехмерной поверхности». Физика жидкостей . 14 (8): 2788–2803. Bibcode : 2002PhFl ... 14.2788M . DOI : 10.1063 / 1.1488599 . hdl : 2117/102903 . ISSN 1070-6631 .
^ Майерс, Т. Г.; Шарпен, JPF (декабрь 2004 г.). «Математическая модель обледенения атмосферы и течения воды на холодной поверхности». Международный журнал тепломассообмена . 47 (25): 5483–5500. DOI : 10.1016 / j.ijheatmasstransfer.2004.06.037 .
^ Майерс, Т. Г.; Хеннесси, MG; Кальво-Шварцвельдер, М. (01.03.2020). «Задача Стефана с переменными теплофизическими свойствами и температурой фазового перехода» . Международный журнал тепломассообмена . 149 : 118975. arXiv : 1904.05698 . DOI : 10.1016 / j.ijheatmasstransfer.2019.118975 . ISSN 0017-9310 . S2CID 115147121 .

Ссылки [ править ]

Исторические ссылки [ править ]

Вуйк, К. (1993), «Некоторые исторические заметки о проблеме Стефана», Nieuw Archief voor Wiskunde , 4e serie, 11 (2): 157–167, Bibcode : 1993STIN ... 9332397V , MR 1239620 , Zbl 0801.35002. Интересная историческая статья о первых днях теории; препринт версия (в PDF формате) доступен здесь [1] .

Научные и общие ссылки [ править ]

Кэннон, Джон Розье (1984), Одномерный уравнения теплопроводности , энциклопедии математики и ее применения, 23 (1 - е изд.), Reading - Менло - Парк - Лондон - Don Mills - Сидней - Токио / Кембридж - Нью - Йорк - Нью - Рошель - Мельбурн - Сидней : издательство Addison-Wesley Publishing Company / Cambridge University Press , стр. XXV + 483, ISBN 978-0-521-30243-2, Руководство по ремонту 0747979 , Zbl 0567.35001. Содержит обширную библиографию, 460 статей из которых относятся к проблеме Стефана и другим задачам со свободными границами , обновленная до 1982 г.
Кирш, Андреас (1996), Введение в математическую теорию обратных задач , Серия прикладных математических наук, 120 , Берлин – Гейдельберг – Нью-Йорк: Springer Verlag , стр. X + 282, ISBN 0-387-94530-X, Руководство по ремонту 1479408 , Zbl 0865.35004
Мейрманов, Анварбек М. (1992), Проблема Стефана , Выставки Де Грюйтера по математике, 3 , Берлин - Нью-Йорк: Вальтер де Грюйтер , стр. X + 245, DOI : 10.1515 / 9783110846720 , ISBN 3-11-011479-8, Руководство по ремонту 1154310 , Zbl 0751.35052. - via De Gruyter (требуется подписка) Важная монография одного из ведущих авторов в этой области, в которой описывается его доказательство существования классического решения многомерной проблемы Стефана и рассматривается его историческое развитие.
Олейник О.А. (1960), "Метод решения общей задачи Стефана", Докл. АН СССР , 135 : 1050–1057, MR 0125341 , Zbl 0131.09202.. Документ , содержащий доказательства Ольги Олейника о существовании и единственности обобщенного решения для трехмерной задачи Стефана, на основе предыдущих исследований , ее ученик SL Каменомостская .
Каменомостская С.Л. (1958), "О проблеме Стефана", Научные доклады Высшей школы, Физико-математические науки , 1 (1): 60–62, Zbl 0143.13901. Более ранний отчет об исследовании автора проблемы Стефана.
Каменомостская, С.Л. (1961), «О проблеме Стефана» , Математический сборник , 53 (95) (4): 489–514, MR 0141895 , Zbl 0102.09301.. В этой статье автор доказывает существование и единственность обобщенного решения для трехмерной задачи Стефана, потом улучшение ее хозяина Ольга Олейник.
Рубинштейн, Л.И. (1971), Проблема Стефана , Переводы математических монографий, 27 , Провиденс, Род-Айленд : Американское математическое общество , стр. Viii + 419, ISBN 0-8218-1577-6, Руководство по ремонту 0351348 , Zbl 0219.35043. Исчерпывающий справочник, написанный одним из ведущих авторов теории, обновленный до 1962–1963 гг. И содержащий библиографию из 201 пункта.
Тарция, Доминго Альберто (июль 2000 г.), «Библиография по граничным задачам без движения для уравнения диффузии тепла. Стефан и связанные с ними проблемы», MAT. Серия A: Conferencias, Seminarios y Trabajos de Matemática , 2 : 1–297, doi : 10.26422 / MAT.A.2000.2.tar , ISSN 1515-4904 , MR 1802028 , Zbl 0963.35207. Впечатляющая личная библиография автора по задачам с движущимися и свободными границами (M – FBP) для уравнения диффузии тепла (H – DE), содержащая около 5900 ссылок на работы, появилась примерно в 884 различных публикациях. Его заявленная цель - попытаться дать исчерпывающий отчет о существующей западной математико-физико-инженерной литературе в этой области исследований. Собран почти весь материал по этой теме, опубликованный после исторической и первой статьи Ламе – Клапейрона (1831 г.). Источники включают научные журналы, материалы симпозиумов или конференций, технические отчеты и книги.

Внешние ссылки [ править ]

Васильев Ф.П. (2001) [1994], "Условие Стефана" , Энциклопедия математики , EMS Press
Васильев Ф.П. (2001) [1994], "Проблема Стефана" , Энциклопедия математики , EMS Press
Васильев Ф.П. (2001) [1994], "Задача Стефана, обратная" , Энциклопедия математики , EMS Press

[1] Прикладные уравнения в частных производных . Ockendon, JR (Rev. ed.). Оксфорд: Издательство Оксфордского университета. 2003. ISBN 0-19-852770-5. OCLC 52486357 .CS1 maint: others (link)

[2] ( Вуйк 1993 , с. 157).

[3] РУБИНШТЕЙН, LI (2016). ПРОБЛЕМА СТЕФАНА . [Место публикации не указано]: Американское математическое общество. ISBN 978-1-4704-2850-1. OCLC 973324855 .

[4] Дэвис, Стивен Х., 1939-. Теория затвердевания . Кембридж. ISBN 978-0-511-01924-1. OCLC 232161077 .CS1 maint: multiple names: authors list (link)

[5] Fowler, AC (Andrew Cadle), 1953- (1997). Математические модели в прикладных науках . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-46140-5. OCLC 36621805 .CS1 maint: multiple names: authors list (link)

[Pego-6] RL Пего. (1989). Передняя миграция в нелинейном уравнении Кана-Хиллиарда. Proc. R. Soc. Лондон. А. , 422 : 261–278.

[7] Vermolen, FJ; Gharasoo, MG; Zitha, PLJ; Брюнинг, Дж. (2009). "Численные решения некоторых задач диффузной границы: уравнение Кана – Хиллиарда и модель Томаса и Виндла". Международный журнал многомасштабной вычислительной инженерии . 7 (6): 523–543. DOI : 10.1615 / IntJMultCompEng.v7.i6.40 .

[Alvarenga-8] Альваренга HD, Ван - де - Путтер Т, Ван Steenberge N, Sietsma Дж, Terryn Н (апрель 2009 г.). «Влияние морфологии и микроструктуры карбидов на кинетику поверхностного обезуглероживания C-Mn сталей». Металлургическая и Транзакции материалов A . 46 : 123–133. Bibcode : 2015MMTA ... 46..123A . DOI : 10.1007 / s11661-014-2600-у . S2CID 136871961 .

[9] ( Кирш 1996 ).

[10] Шрифт, F .; Mitchell, SL; Майерс, Т.Г. (01.07.2013). «Одномерное затвердевание переохлажденных расплавов» . Международный журнал тепломассообмена . 62 : 411–421. DOI : 10.1016 / j.ijheatmasstransfer.2013.02.070 . ISSN 0017-9310 .

[11] Myers, TG (2016-08-01). «Математическое моделирование фазового перехода на наноуровне» . Международные коммуникации в тепло- и массообмене . 76 : 59–62. DOI : 10.1016 / j.icheatmasstransfer.2016.05.005 . ISSN 0735-1933 .

[12] Шрифт, F .; Майерс, Т.Г.; Митчелл, SL (февраль 2015 г.). «Математическая модель плавления наночастиц с изменением плотности». Микрофлюидика и нанофлюидика . 18 (2): 233–243. DOI : 10.1007 / s10404-014-1423-х . ISSN 1613-4982 . S2CID 54087370 .

[13] Перейти ↑ Lister, JR (1994). «Затвердевание управляемого плавучести потока в канале с гибкими стенками. Часть 1. Выпуск постоянного объема» . Журнал гидромеханики . 272 : 21–44. Bibcode : 1994JFM ... 272 ... 21L . DOI : 10.1017 / S0022112094004362 .

[14] Майерс, Т. Г.; Лоу, Дж. (Октябрь 2011 г.). «Приближенная математическая модель затвердевания текущей жидкости в микроканале» . Микрофлюидика и нанофлюидика . 11 (4): 417–428. DOI : 10.1007 / s10404-011-0807-4 . ISSN 1613-4982 . S2CID 97060677 .

[15] Майерс, Т. Г.; Шарпен, JPF; Чепмен, SJ (август 2002 г.). «Течение и затвердевание тонкой пленки жидкости на произвольной трехмерной поверхности». Физика жидкостей . 14 (8): 2788–2803. Bibcode : 2002PhFl ... 14.2788M . DOI : 10.1063 / 1.1488599 . hdl : 2117/102903 . ISSN 1070-6631 .

[16] Майерс, Т. Г.; Шарпен, JPF (декабрь 2004 г.). «Математическая модель обледенения атмосферы и течения воды на холодной поверхности». Международный журнал тепломассообмена . 47 (25): 5483–5500. DOI : 10.1016 / j.ijheatmasstransfer.2004.06.037 .

[17] Майерс, Т. Г.; Хеннесси, MG; Кальво-Шварцвельдер, М. (01.03.2020). «Задача Стефана с переменными теплофизическими свойствами и температурой фазового перехода» . Международный журнал тепломассообмена . 149 : 118975. arXiv : 1904.05698 . DOI : 10.1016 / j.ijheatmasstransfer.2019.118975 . ISSN 0017-9310 . S2CID 115147121 .

[1]