Стохастический порядок

В теории вероятностей и статистике , стохастический порядок квантифицирует понятие одна случайной величина существа «больше» , чем другие. Обычно это частичные порядки , так что одна случайная величина не может быть стохастически больше, меньше или равна другой случайной величине . Существует много разных заказов, которые имеют разное применение.${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$

Обычный стохастический порядок [ править ]

Реальная случайная величина меньше случайной величины в «обычном стохастическом порядке», если${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$

${\displaystyle \Pr(A>x)\leq \Pr(B>x){\text{ for all }}x\in (-\infty ,\infty ),}$

где обозначает вероятность события. Иногда это обозначают или . Если дополнительно для некоторых , то стохастически строго меньше , иногда обозначается . В теории принятия решений , в соответствии с этим обстоятельством B называются первым порядок стохастически доминирует над A .${\displaystyle \Pr(\cdot )}$${\displaystyle A\preceq B}$${\displaystyle A\leq _{st}B}$${\displaystyle \Pr(A>x)<\Pr(B>x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A\prec B}$

Характеристики [ править ]

Следующие правила описывают случаи, когда одна случайная величина стохастически меньше или равна другой. Также существуют строгие версии некоторых из этих правил.

1. ${\displaystyle A\preceq B}$если и только если для всех неубывающих функций , .${\displaystyle u}$${\displaystyle {\rm {E}}[u(A)]\leq {\rm {E}}[u(B)]}$
2. Если не убывает, а затем${\displaystyle u}$${\displaystyle A\preceq B}$${\displaystyle u(A)\preceq u(B)}$
3. Если - возрастающая функция ^{[ требуется пояснение ]} и и являются независимыми наборами случайных величин с для каждой , то, в частности, Более того, статистика -й порядок удовлетворяет .${\displaystyle u:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$${\displaystyle A_{i}}$${\displaystyle B_{i}}$${\displaystyle A_{i}\preceq B_{i}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle u(A_{1},\dots ,A_{n})\preceq u(B_{1},\dots ,B_{n})}$${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}A_{i}\preceq \sum _{i=1}^{n}B_{i}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle A_{(i)}\preceq B_{(i)}}$
4. Если две последовательности случайных величин и , с для всех каждой сходятся в распределении , то их пределы удовлетворяются .${\displaystyle A_{i}}$${\displaystyle B_{i}}$${\displaystyle A_{i}\preceq B_{i}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle A\preceq B}$
5. Если , и являются случайными величинами, такими что и для всех и такими, что , то .${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle C}$${\displaystyle \sum _{c}\Pr(C=c)=1}$${\displaystyle \Pr(A>u|C=c)\leq \Pr(B>u|C=c)}$${\displaystyle u}$${\displaystyle c}$${\displaystyle \Pr(C=c)>0}$${\displaystyle A\preceq B}$

Другие свойства [ править ]

Если и то (случайные величины равны по распределению).${\displaystyle A\preceq B}$${\displaystyle {\rm {E}}[A]={\rm {E}}[B]}$${\displaystyle A{\overset {d}{=}}B}$

Стохастическое доминирование [ править ]

Стохастическое доминирование ^[1] - это стохастический порядок, используемый в теории принятия решений . Определены несколько «порядков» стохастического доминирования.

• Стохастическое преобладание нулевого порядка состоит из простого неравенства: если для всех состояний природы .${\displaystyle A\preceq _{(0)}B}$${\displaystyle A\leq B}$
• Стохастическое доминирование первого порядка эквивалентно обычному стохастическому порядку, описанному выше.
• Стохастическое преобладание более высокого порядка определяется в терминах интегралов функции распределения .
• Стохастическое доминирование более низкого порядка подразумевает стохастическое доминирование более высокого порядка.

Многомерный стохастический порядок [ править ]

Значная случайная величина меньше , чем значный случайные переменный в «обычном стохастическом порядке» , если${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$${\displaystyle B}$

${\displaystyle {\rm {E}}[f(A)]\leq {\rm {E}}[f(B)]{\text{ for all bounded, increasing functions }}f:\mathbb {R} ^{d}\longrightarrow \mathbb {R} }$

Существуют и другие типы многомерных стохастических порядков. Например, верхний и нижний ортантный порядок подобны обычному одномерному стохастическому порядку. считается меньше, чем в верхнем ортанте, если${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$

${\displaystyle \Pr(A>\mathbf {x} )\leq \Pr(B>\mathbf {x} ){\text{ for all }}\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{d}}$

и меньше, чем в нижнем ортанте, если${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$

${\displaystyle \Pr(A\leq \mathbf {x} )\geq \Pr(B\leq \mathbf {x} ){\text{ for all }}\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{d}}$

Все три типа порядка также имеют интегральные представления, то есть для определенного порядка меньше, чем тогда и только тогда, когда для всех в классе функций . ^[2] тогда называется генератором соответствующего порядка.${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle {\rm {E}}[f(A)]\leq {\rm {E}}[f(B)]}$${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{d}\longrightarrow \mathbb {R} }$${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$

Другие стохастические ордера [ править ]

Порядок оценки степени опасности [ править ]

Степень опасности неотрицательной случайной величины с абсолютно непрерывной функцией распределения и функцией плотности определяется как${\displaystyle X}$${\displaystyle F}$${\displaystyle f}$

${\displaystyle r(t)={\frac {d}{dt}}(-\log(1-F(t)))={\frac {f(t)}{1-F(t)}}.}$

Для двух неотрицательных переменных и с абсолютно непрерывным распределением и , и с функциями степени опасности, и , соответственно, считается меньше, чем в порядке степени опасности (обозначается как ), если${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle F}$${\displaystyle G}$${\displaystyle r}$${\displaystyle q}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X\leq _{hr}Y}$

${\displaystyle r(t)\geq q(t)}$для всех ,${\displaystyle t\geq 0}$

или, что то же самое, если

${\displaystyle {\frac {1-F(t)}{1-G(t)}}}$уменьшается в .${\displaystyle t}$

Порядок отношения правдоподобия [ править ]

Пусть и две непрерывные (или дискретные) случайные величины с плотностями (или дискретными плотностями) и , соответственно, так что возрастает по объединению носителей и ; в этом случае меньше, чем в порядке отношения правдоподобия ( ).${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle f\left(t\right)}$${\displaystyle g\left(t\right)}$${\displaystyle {\frac {g\left(t\right)}{f\left(t\right)}}}$${\displaystyle t}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X\leq _{lr}Y}$

Средний остаточный срок службы [ править ]

Порядок изменения [ править ]

Если две переменные имеют одинаковое среднее значение, их все равно можно сравнивать по тому, насколько «разбросаны» их распределения. В некоторой степени это фиксируется дисперсией , но более полно - диапазоном стохастических порядков. ^{[ необходима цитата ]}

Выпуклый порядок [ править ]

Выпуклый порядок - это особый вид порядка изменчивости. Под выпуклой упорядоченностью, меньше , если и только если для всех выпуклого , .${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle u}$${\displaystyle {\rm {E}}[u(A)]\leq {\rm {E}}[u(B)]}$

Порядок преобразования Лапласа [ править ]

Порядок преобразования Лапласа сравнивает размер и изменчивость двух случайных величин. Подобно выпуклым порядок, преобразование Лапласа порядок устанавливается путем сравнения ожидания функции от случайной величины где функция из специального класса: . Это делает порядок преобразования Лапласа интегральным стохастическим порядком с набором генератора, заданным набором функций, определенным выше, с положительным действительным числом.${\displaystyle u(x)=-\exp(-\alpha x)}$${\displaystyle \alpha }$

Реализуемая монотонность [ править ]

Рассматривая семейство вероятностных распределений на частично упорядоченном пространстве, проиндексированном с помощью (где - другое частично упорядоченное пространство, может быть определена концепция полной или реализуемой монотонности. Это означает, что существует семейство случайных величин в том же вероятностном пространстве, что распределение есть и почти наверняка всякий раз, когда это означает существование монотонной связи . См. ^[3]${\displaystyle ({P}_{\alpha })_{\alpha \in F}}$${\displaystyle (E,\preceq )}$${\displaystyle \alpha \in F}$${\displaystyle (F,\preceq )}$${\displaystyle (X_{\alpha })_{\alpha }}$${\displaystyle X_{\alpha }}$${\displaystyle {P}_{\alpha }}$${\displaystyle X_{\alpha }\preceq X_{\beta }}$${\displaystyle \alpha \preceq \beta }$

См. Также [ править ]

• Стохастическое доминирование
• Стохастик - значение термина

Ссылки [ править ]

1. М. Шакед и Дж. Г. Шантикумар, Стохастические порядки и их приложения , Associated Press, 1994.
2. EL Lehmann. Заказанные семейства раздач. Анналы математической статистики , 26: 399–419, 1955.