Стохастическое доминирование

Стохастическое доминирование - это частичный порядок между случайными величинами . ^{[1] [2]} Это форма стохастического упорядочения . Эта концепция возникает в теории принятия решений и анализе решений в ситуациях, когда одна игра ( распределение вероятностей по возможным исходам, также известное как перспективы) может быть оценена как более высокая по сравнению с другой игрой для широкого класса лиц, принимающих решения. Он основан на общих предпочтениях относительно наборов возможных результатов и связанных с ними вероятностей. Для определения доминирования требуется лишь ограниченное знание предпочтений. Предотвращение риска является фактором только стохастического доминирования второго порядка.

Стохастическое доминирование не дает полного порядка , а скорее лишь частичного порядка : для некоторых пар азартных игр ни одна из них не будет стохастически доминировать над другой, поскольку разные члены широкого класса лиц, принимающих решения, будут различаться в отношении того, какая игра предпочтительнее, без них в целом. считается одинаково привлекательным.

Государственное доминирование [ править ]

Простейшим случаем стохастического доминирования является доминирование по состояниям (также известное как доминирование по состояниям ), определяемое следующим образом:

Случайная величина A является доминирующей по состоянию над случайной величиной B, если A дает по крайней мере такой же хороший результат в каждом состоянии (каждый возможный набор результатов) и строго лучший результат по крайней мере в одном состоянии.

Например, если доллар добавлен к одному или нескольким призам в лотерее, новая лотерея будет доминировать над старой, потому что она дает лучшую выплату независимо от конкретных чисел, реализованных в лотерее. Точно так же, если полис страхования рисков имеет более низкую премию и лучшее покрытие, чем другой полис, то с ущербом или без него результат будет лучше. Любой, кто предпочитает больше меньшему (по стандартной терминологии, любой, у кого монотонно растущие предпочтения), всегда будет предпочитать игру с доминированием государства.

Первого порядка [ править ]

Statewise доминирование является частным случаем канонического стохастического доминирования первого порядка (FSD) , ^[3] , который определяется как:

Случайная величина A имеет стохастическое преобладание первого порядка над случайной величиной B, если для любого результата x A дает по крайней мере такую ​​же высокую вероятность получения по крайней мере x, что и B, а для некоторых x A дает более высокую вероятность получения по крайней мере х . В форме обозначений, для всех х , а для некоторых х , .${\ Displaystyle P [A \ geq x] \ geq P [B \ geq x]}$${\ Displaystyle P [A> x]> P [B> x]}$

В терминах кумулятивных функций распределения двух случайных величин, доминирование A над B означает, что для всех x со строгим неравенством при некотором  x .${\ Displaystyle F_ {A} (х) \ leq F_ {B} (х)}$

Азартная игра А стохастически доминирует над игрой В первого порядка тогда и только тогда, когда каждый максимизатор ожидаемой полезности с возрастающей функцией полезности предпочитает азартную игру А игре Б.

Стохастическое доминирование первого порядка также может быть выражено следующим образом: если и только если A стохастически доминирует над B, существует некоторая азартная игра, такая что where во всех возможных состояниях (и строго отрицательно по крайней мере в одном состоянии); здесь означает « равно распределению с » (то есть «имеет то же распределение, что и»). Таким образом, мы можем перейти от графической функции плотности A к функции B, грубо говоря, сдвинув часть вероятностной массы влево.${\ displaystyle y}$${\ displaystyle x_ {B} {\ overset {d} {=}} (x_ {A} + y)}$${\ Displaystyle у \ leq 0}$${\ displaystyle {\ overset {d} {=}}}$

Например, рассмотрим один бросок справедливой кости с шестью возможными исходами (состояниями), представленными в этой таблице, а также сумма, выигранная в каждом состоянии каждой из трех альтернативных игр:

${\displaystyle {\begin{array}{rcccccc}{\text{State (die result)}}&1&2&3&4&5&6\\\hline {\text{Gamble A wins }}\$&1&1&2&2&2&2\\{\text{Gamble B wins }}\$&1&1&1&2&2&2\\{\text{Gamble C wins }}\$&3&3&3&1&1&1\\\hline \end{array}}}$

Здесь игра A с точки зрения состояния доминирует над игрой B, потому что A дает, по крайней мере, такой же хороший доход во всех возможных состояниях (исходах броска кубика) и дает строго лучший выход в одном из них (состояние 3). Поскольку A по состояниям доминирует над B, он также доминирует над B первого порядка. Игра C не доминирует над B по состояниям, потому что B дает лучшую доходность в состояниях с 4 по 6, но C первого порядка стохастически доминирует над B, потому что Pr (B ≥ 1) = Pr (C ≥ 1) = 1, Pr (B ≥ 2) = Pr (C ≥ 2) = 3/6 и Pr (B ≥ 3) = 0, а Pr (C ≥ 3) = 3/6> Pr (B ≥ 3). Азартные игры A и C не могут быть упорядочены относительно друг друга на основе стохастического доминирования первого порядка, потому что Pr (A ≥ 2) = 4/6> Pr (C ≥ 2) = 3/6, в то время как, с другой стороны, Pr (C ≥ 3) = 3/6> Pr (A ≥ 3) = 0.

В общем, хотя, когда одна игра первого порядка стохастически доминирует над второй игрой, ожидаемая величина выплаты при первой игре будет больше, чем ожидаемая величина выплаты при второй, обратное неверно: нельзя заказывать лотереи с что касается стохастического доминирования, просто сравнивая средние значения их распределений вероятностей. Например, в приведенном выше примере C имеет более высокое среднее (2), чем A (5/3), но C не доминирует над A.

Второй порядок [ править ]

Другой часто используемый тип стохастического доминирования - это стохастическое доминирование второго порядка . ^{[1] [4] [5]} Грубо говоря, для двух азартных игр и азартная игра имеет стохастическое преобладание второго порядка над азартной игрой, если первая более предсказуема (т. Е. Сопряжена с меньшим риском) и имеет, по крайней мере, такое же высокое среднее значение. Все максимизаторы ожидаемой полезности, не склонные к риску (то есть с возрастающей и вогнутой функцией полезности), предпочитают стохастически доминирующую игру второго порядка доминирующей. Доминирование второго порядка описывает общие предпочтения меньшего класса лиц, принимающих решения (тех, для кого больше - лучше и кто не склонен к риску, а не${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$ все те, для кого больше лучше), чем доминирование первого порядка.

С точки зрения кумулятивных функций распределения и , является стохастически доминирующим второго порядка, если и только если площадь под от минус бесконечности до меньше или равна площади под от минус бесконечности до для всех действительных чисел со строгим неравенством в некоторых ; то есть для всех со строгим неравенством в некоторых . Эквивалентно доминирует во втором порядке тогда и только тогда, когда для всех неубывающих и вогнутых функций полезности .${\displaystyle F_{A}}$${\displaystyle F_{B}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle F_{A}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle F_{B}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \int _{-\infty }^{x}[F_{B}(t)-F_{A}(t)]\,dt\geq 0}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \operatorname {E} [u(A)]\geq \operatorname {E} [u(B)]}$${\displaystyle u(x)}$

Стохастическое доминирование второго порядка может быть выражена следующим образом : Gamble второго порядка стохастически доминирует тогда и только тогда , когда существуют какие - то авантюры и такие , что , с всегда меньше или равен нулю, и для всех значений . При этом введение случайной величины делает первый порядок стохастически доминирует (доведения не любит те , с возрастающей функцией полезности), а также введение случайной величины представляет собой среднее сохраняющего распространения в который неприятен теми , с вогнутой полезностью. Обратите внимание, что если и имеют одинаковое среднее значение (так что случайная величина${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle y}$${\displaystyle z}$${\displaystyle x_{B}{\overset {d}{=}}(x_{A}+y+z)}$${\displaystyle y}$${\displaystyle \operatorname {E} (z\mid x_{A}+y)=0}$${\displaystyle x_{A}+y}$${\displaystyle y}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle z}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle y}$вырождается к фиксированному числу 0), то является сохраняющим среднее значение разбросом .${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$

Достаточные условия для стохастического доминирования второго порядка [ править ]

• Первого порядка стохастическое доминирование A над B является достаточным условием для второго порядка доминирование A над B .
• Если B является средним сохраняющего распространения А , то вторым порядок стохастически доминирует B .

Необходимые условия для стохастического доминирования второго порядка [ править ]

• ${\displaystyle \operatorname {E} _{A}(x)\geq \operatorname {E} _{B}(x)}$является необходимым условием для А второго порядка стохастически доминируют B .
• ${\displaystyle \min _{A}(x)\geq \min _{B}(x)}$является необходимым условием для А до второго порядка доминантного B . Условие подразумевает, что левый хвост должен быть толще левого хвоста .${\displaystyle F_{B}}$${\displaystyle F_{A}}$

Третьего порядка [ править ]

Позвольте и быть кумулятивными функциями распределения двух различных инвестиций и . доминирует в третьем порядке тогда и только тогда, когда${\displaystyle F_{A}}$${\displaystyle F_{B}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$

• ${\displaystyle \int _{-\infty }^{x}\int _{-\infty }^{z}[F_{B}(t)-F_{A}(t)]\,dt\,dz\geq 0{\text{ for all }}x,}$
• ${\displaystyle \operatorname {E} _{A}(x)\geq \operatorname {E} _{B}(x),\,}$

и есть хотя бы одно строгое неравенство. Эквивалентно, преобладает в третьем порядке тогда и только тогда, когда для всех неубывающих, вогнутых функций полезности, которые имеют положительный перекос (т. Е. Всюду имеют положительную третью производную).${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \operatorname {E} _{A}U(x)\geq \operatorname {E} _{B}U(x)}$${\displaystyle U}$

Достаточное условие [ править ]

• Доминирование второго порядка - достаточное условие.

Необходимые условия [ править ]

• ${\displaystyle \operatorname {E} _{A}(\log(x))\geq \operatorname {E} _{B}(\log(x))}$это необходимое условие. Условие подразумевает, что среднее геометрическое значение должно быть больше или равно среднему геометрическому значению .${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$
• ${\displaystyle \min _{A}(x)\geq \min _{B}(x)}$это необходимое условие. Условие подразумевает, что левый хвост должен быть толще левого хвоста .${\displaystyle F_{B}}$${\displaystyle F_{A}}$

Высший порядок [ править ]

Также были проанализированы высшие порядки стохастического доминирования, а также обобщения двойственной связи между порядками стохастического доминирования и классами функций предпочтения. ^[6] Пожалуй, наиболее действенный критерий доминирования основан на принятом экономическом допущении о снижении абсолютного неприятия риска . ^{[7] [8]} Это связано с несколькими аналитическими проблемами, и в настоящее время проводятся исследования для их решения.^[9]

Ограничения [ править ]

Отношения стохастического доминирования могут использоваться в качестве ограничений в задачах математической оптимизации , в частности стохастического программирования . ^{[10] [11] [12]} В задаче максимизации реального функционала над случайными величинами в наборе мы можем дополнительно потребовать, чтобы стохастически доминировал фиксированный случайный эталонный тест . В этих задачах функции полезности играют роль множителей Лагранжа, связанных с ограничениями стохастического доминирования. При соответствующих условиях, решение этой проблемы также (возможно локальное) решение задачи , чтобы максимизировать более в${\displaystyle f(X)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X_{0}}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B}$${\displaystyle f(X)+\operatorname {E} [u(X)-u(B)]}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X_{0}}$, где - некоторая функция полезности. Если используется ограничение стохастического доминирования первого порядка, функция полезности не убывает ; если используется ограничение стохастического доминирования второго порядка, является неубывающим и вогнутым . Система линейных уравнений может проверить, является ли данное решение эффективным для любой такой функции полезности. ^{[13] С} ограничениями стохастического доминирования третьего порядка можно справиться с помощью выпуклого программирования с квадратичными ограничениями (QCP). ^[14]${\displaystyle u(x)}$${\displaystyle u(x)}$${\displaystyle u(x)}$

См. Также [ править ]

• Современная теория портфолио
• Маргинальное условное стохастическое доминирование
• Расширение отзывчивого множества - эквивалент стохастического доминирования в контексте отношений предпочтений.
• Квантовый катализатор

Ссылки [ править ]