Альтернативные меры стресса

В механике сплошных сред , наиболее часто используемая мера напряжения является тензор напряжений Коши , который часто называют просто Тензор или «истинное напряжение». Однако можно определить несколько альтернативных мер напряжения: ^{[1] [2] [3]}

1. Напряжение Кирхгофа ( ).${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ tau}}}$
2. Номинальное напряжение ( ).${\ displaystyle {\ boldsymbol {N}}}$
3. Первое напряжение Пиолы-Кирхгофа ( ). Этот тензор напряжений является транспонированным от номинального напряжения ( ).${\ displaystyle {\ boldsymbol {P}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {P}}={\boldsymbol {N}}^{T}}$
4. Второй стресс Пиолы-Кирхгофа или стресс PK2 ( ).${\displaystyle {\boldsymbol {S}}}$
5. Стресс Био ( )${\displaystyle {\boldsymbol {T}}}$

Определения [ править ]

Рассмотрим ситуацию, показанную на следующем рисунке. В следующих определениях используются обозначения, показанные на рисунке.

Величины, используемые при определении меры стресса

В эталонной конфигурации внешняя нормаль к элементу поверхности равна, и сила тяги, действующая на эту поверхность, приводит к вектору силы . В деформированной конфигурации элемент поверхности изменяется на с внешней нормалью и вектором тяги, приводящим к силе . Обратите внимание, что эта поверхность может быть либо гипотетическим разрезом внутри тела, либо реальной поверхностью. Величина - тензор градиента деформации , - его определитель.${\displaystyle \Omega _{0}}$${\displaystyle d\Gamma _{0}}$${\displaystyle \mathbf {N} \equiv \mathbf {n} _{0}}$${\displaystyle \mathbf {t} _{0}}$${\displaystyle d\mathbf {f} _{0}}$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle d\Gamma }$${\displaystyle \mathbf {n} }$${\displaystyle \mathbf {t} }$${\displaystyle d\mathbf {f} }$${\displaystyle {\boldsymbol {F}}}$${\displaystyle J}$

Напряжение Коши [ править ]

Напряжение Коши (или истинное напряжение) - это мера силы, действующей на элемент площади в деформированной конфигурации. Этот тензор симметричен и определяется через

${\displaystyle d\mathbf {f} =\mathbf {t} ~d\Gamma ={\boldsymbol {\sigma }}^{T}\cdot \mathbf {n} ~d\Gamma }$

или же

${\displaystyle \mathbf {t} ={\boldsymbol {\sigma }}^{T}\cdot \mathbf {n} }$

где - сила тяги, а - нормаль к поверхности, на которую действует тяга.${\displaystyle \mathbf {t} }$${\displaystyle \mathbf {n} }$

Напряжение Кирхгофа [ править ]

Количество,

${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=J~{\boldsymbol {\sigma }}}$

называется тензором напряжений Кирхгофа с определителем . Он широко используется в численных алгоритмах пластической деформации металлов (где нет изменения объема при пластической деформации). Его также можно назвать взвешенным тензором напряжений Коши .${\displaystyle J}$${\displaystyle {\boldsymbol {F}}}$

Напряжение Пиолы-Кирхгофа [ править ]

Было предложено разделить этот раздел на другую статью под названием « Тензор напряжений Пиолы – Кирхгофа» . ( Обсудить ) (февраль 2021 г.)

Номинальное напряжение / Первое напряжение Пиолы-Кирхгофа [ править ]

Номинальное напряжение представляет собой транспонирование первого напряжения Пиолы-Кирхгофа (напряжение PK1, также называемое инженерным напряжением) и определяется через${\displaystyle {\boldsymbol {N}}={\boldsymbol {P}}^{T}}$${\displaystyle {\boldsymbol {P}}}$

${\displaystyle d\mathbf {f} =\mathbf {t} ~d\Gamma ={\boldsymbol {N}}^{T}\cdot \mathbf {n} _{0}~d\Gamma _{0}={\boldsymbol {P}}\cdot \mathbf {n} _{0}~d\Gamma _{0}}$

или же

${\displaystyle \mathbf {t} _{0}=\mathbf {t} {\dfrac {d{\Gamma }}{d\Gamma _{0}}}={\boldsymbol {N}}^{T}\cdot \mathbf {n} _{0}={\boldsymbol {P}}\cdot \mathbf {n} _{0}}$

Это напряжение несимметрично и представляет собой двухточечный тензор, подобный градиенту деформации.
Асимметрия проистекает из того факта, что в качестве тензора он имеет один индекс, прикрепленный к эталонной конфигурации, а другой - к деформированной конфигурации. ^[4]

Второе напряжение Пиолы-Кирхгофа [ править ]

Если мы вернемся к эталонной конфигурации, у нас будет${\displaystyle d\mathbf {f} }$

${\displaystyle d\mathbf {f} _{0}={\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot d\mathbf {f} }$

или же,

${\displaystyle d\mathbf {f} _{0}={\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {N}}^{T}\cdot \mathbf {n} _{0}~d\Gamma _{0}={\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot \mathbf {t} _{0}~d\Gamma _{0}}$

Напряжение PK2 ( ) симметрично и определяется соотношением${\displaystyle {\boldsymbol {S}}}$

${\displaystyle d\mathbf {f} _{0}={\boldsymbol {S}}^{T}\cdot \mathbf {n} _{0}~d\Gamma _{0}={\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot \mathbf {t} _{0}~d\Gamma _{0}}$

Следовательно,

${\displaystyle {\boldsymbol {S}}^{T}\cdot \mathbf {n} _{0}={\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot \mathbf {t} _{0}}$

Био стресс [ править ]

Напряжение Био полезно, потому что это энергия, сопряженная с правым тензором растяжения . Напряжение Био определяется как симметричная часть тензора, где - тензор вращения, полученный из полярного разложения градиента деформации. Поэтому тензор напряжений Био определяется как${\displaystyle {\boldsymbol {U}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {P}}^{T}\cdot {\boldsymbol {R}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {R}}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {T}}={\tfrac {1}{2}}({\boldsymbol {R}}^{T}\cdot {\boldsymbol {P}}+{\boldsymbol {P}}^{T}\cdot {\boldsymbol {R}})~.}$

Стресс Био также называют стрессом Яумана.

Величина не имеет физической интерпретации. Однако несимметричное напряжение Био имеет интерпретацию${\displaystyle {\boldsymbol {T}}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {R}}^{T}~d\mathbf {f} =({\boldsymbol {P}}^{T}\cdot {\boldsymbol {R}})^{T}\cdot \mathbf {n} _{0}~d\Gamma _{0}}$

Отношения [ править ]

Связь между напряжением Коши и номинальным напряжением [ править ]

Из формулы Нансона, связывающей площади в исходной и деформированной конфигурациях:

${\displaystyle \mathbf {n} ~d\Gamma =J~{\boldsymbol {F}}^{-T}\cdot \mathbf {n} _{0}~d\Gamma _{0}}$

Сейчас же,

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}^{T}\cdot \mathbf {n} ~d\Gamma =d\mathbf {f} ={\boldsymbol {N}}^{T}\cdot \mathbf {n} _{0}~d\Gamma _{0}}$

Следовательно,

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}^{T}\cdot (J~{\boldsymbol {F}}^{-T}\cdot \mathbf {n} _{0}~d\Gamma _{0})={\boldsymbol {N}}^{T}\cdot \mathbf {n} _{0}~d\Gamma _{0}}$

или же,

${\displaystyle {\boldsymbol {N}}^{T}=J~({\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {\sigma }})^{T}=J~{\boldsymbol {\sigma }}^{T}\cdot {\boldsymbol {F}}^{-T}}$

или же,

${\displaystyle {\boldsymbol {N}}=J~{\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}\qquad {\text{and}}\qquad {\boldsymbol {N}}^{T}={\boldsymbol {P}}=J~{\boldsymbol {\sigma }}^{T}\cdot {\boldsymbol {F}}^{-T}}$

В индексной записи

${\displaystyle N_{Ij}=J~F_{Ik}^{-1}~\sigma _{kj}\qquad {\text{and}}\qquad P_{iJ}=J~\sigma _{ki}~F_{Jk}^{-1}}$

Следовательно,

${\displaystyle J~{\boldsymbol {\sigma }}={\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {N}}={\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {P}}^{T}~.}$

Обратите внимание, что и (обычно) не симметричны, потому что (как правило) не симметричны.${\displaystyle {\boldsymbol {N}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {P}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {F}}}$

Отношения между номинальным напряжением и вторым ПК-напряжением [ править ]

Напомним, что

${\displaystyle {\boldsymbol {N}}^{T}\cdot \mathbf {n} _{0}~d\Gamma _{0}=d\mathbf {f} }$

и

${\displaystyle d\mathbf {f} ={\boldsymbol {F}}\cdot d\mathbf {f} _{0}={\boldsymbol {F}}\cdot ({\boldsymbol {S}}^{T}\cdot \mathbf {n} _{0}~d\Gamma _{0})}$

Следовательно,

${\displaystyle {\boldsymbol {N}}^{T}\cdot \mathbf {n} _{0}={\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {S}}^{T}\cdot \mathbf {n} _{0}}$

или (используя симметрию ),${\displaystyle {\boldsymbol {S}}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {N}}={\boldsymbol {S}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{T}\qquad {\text{and}}\qquad {\boldsymbol {P}}={\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {S}}}$

В индексной записи

${\displaystyle N_{Ij}=S_{IK}~F_{jK}^{T}\qquad {\text{and}}\qquad P_{iJ}=F_{iK}~S_{KJ}}$

В качестве альтернативы мы можем написать

${\displaystyle {\boldsymbol {S}}={\boldsymbol {N}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{-T}\qquad {\text{and}}\qquad {\boldsymbol {S}}={\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {P}}}$

Связь между стрессом Коши и вторым ПК-стрессом [ править ]

Напомним, что

${\displaystyle {\boldsymbol {N}}=J~{\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}}$

Что касается 2-го ПК-стресса, мы имеем

${\displaystyle {\boldsymbol {S}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{T}=J~{\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}}$

Следовательно,

${\displaystyle {\boldsymbol {S}}=J~{\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\boldsymbol {F}}^{-T}={\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {\tau }}\cdot {\boldsymbol {F}}^{-T}}$

В индексной записи

${\displaystyle S_{IJ}=F_{Ik}^{-1}~\tau _{kl}~F_{Jl}^{-1}}$

Поскольку напряжение Коши (и, следовательно, напряжение Кирхгофа) является симметричным, второе ПК-напряжение также симметрично.

В качестве альтернативы мы можем написать

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=J^{-1}~{\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {S}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{T}}$

или же,

${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}={\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {S}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{T}~.}$

Ясно, что из определения операций продвижения вперед и назад мы имеем

${\displaystyle {\boldsymbol {S}}=\varphi ^{*}[{\boldsymbol {\tau }}]={\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {\tau }}\cdot {\boldsymbol {F}}^{-T}}$

и

${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\varphi _{*}[{\boldsymbol {S}}]={\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {S}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{T}~.}$

Таким образом, это отталкивание от by и это отталкивание от .${\displaystyle {\boldsymbol {S}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}}$${\displaystyle {\boldsymbol {F}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}}$${\displaystyle {\boldsymbol {S}}}$

См. Также [ править ]

• Стресс (физика)
• Теория конечных деформаций
• Механика сплошной среды
• Гиперупругий материал
• Эластичный материал Коши
• Анализ критической плоскости

Резюме отношений между мерами стресса [ править ]

Формулы преобразования
	${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$	${\displaystyle {\boldsymbol {P}}}$	${\displaystyle {\boldsymbol {S}}}$	${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}}$	${\displaystyle {\boldsymbol {T}}}$	${\displaystyle {\boldsymbol {M}}}$
${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=\,}$	${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$	${\displaystyle J^{-1}{\boldsymbol {P}}{\boldsymbol {F}}^{T}}$	${\displaystyle J^{-1}{\boldsymbol {F}}{\boldsymbol {S}}{\boldsymbol {F}}^{T}}$	${\displaystyle J^{-1}{\boldsymbol {\tau }}}$	${\displaystyle J^{-1}{\boldsymbol {R}}{\boldsymbol {T}}{\boldsymbol {F}}^{T}}$	${\displaystyle J^{-1}{\boldsymbol {F}}^{-T}{\boldsymbol {M}}{\boldsymbol {F}}^{T}}$ (неизотропия)
${\displaystyle {\boldsymbol {P}}=\,}$	${\displaystyle J{\boldsymbol {\sigma }}{\boldsymbol {F}}^{-T}}$	${\displaystyle {\boldsymbol {P}}}$	${\displaystyle {\boldsymbol {F}}{\boldsymbol {S}}}$	${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}{\boldsymbol {F}}^{-T}}$	${\displaystyle {\boldsymbol {R}}{\boldsymbol {T}}}$	${\displaystyle {\boldsymbol {F}}^{-T}{\boldsymbol {M}}}$
${\displaystyle {\boldsymbol {S}}=\,}$	${\displaystyle J{\boldsymbol {F}}^{-1}{\boldsymbol {\sigma }}{\boldsymbol {F}}^{-T}}$	${\displaystyle {\boldsymbol {F}}^{-1}{\boldsymbol {P}}}$	${\displaystyle {\boldsymbol {S}}}$	${\displaystyle {\boldsymbol {F}}^{-1}{\boldsymbol {\tau }}{\boldsymbol {F}}^{-T}}$	${\displaystyle {\boldsymbol {U}}^{-1}{\boldsymbol {T}}}$	${\displaystyle {\boldsymbol {C}}^{-1}{\boldsymbol {M}}}$
${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\,}$	${\displaystyle J{\boldsymbol {\sigma }}}$	${\displaystyle {\boldsymbol {P}}{\boldsymbol {F}}^{T}}$	${\displaystyle {\boldsymbol {F}}{\boldsymbol {S}}{\boldsymbol {F}}^{T}}$	${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}}$	${\displaystyle {\boldsymbol {R}}{\boldsymbol {T}}{\boldsymbol {F}}^{T}}$	${\displaystyle {\boldsymbol {F}}^{-T}{\boldsymbol {M}}{\boldsymbol {F}}^{T}}$ (неизотропия)
${\displaystyle {\boldsymbol {T}}=\,}$	${\displaystyle J{\boldsymbol {R}}^{T}{\boldsymbol {\sigma }}{\boldsymbol {F}}^{-T}}$	${\displaystyle {\boldsymbol {R}}^{T}{\boldsymbol {P}}}$	${\displaystyle {\boldsymbol {U}}{\boldsymbol {S}}}$	${\displaystyle {\boldsymbol {R}}^{T}{\boldsymbol {\tau }}{\boldsymbol {F}}^{-T}}$	${\displaystyle {\boldsymbol {T}}}$	${\displaystyle {\boldsymbol {U}}^{-1}{\boldsymbol {M}}}$
${\displaystyle {\boldsymbol {M}}=\,}$	${\displaystyle J{\boldsymbol {F}}^{T}{\boldsymbol {\sigma }}{\boldsymbol {F}}^{-T}}$ (неизотропия)	${\displaystyle {\boldsymbol {F}}^{T}{\boldsymbol {P}}}$	${\displaystyle {\boldsymbol {C}}{\boldsymbol {S}}}$	${\displaystyle {\boldsymbol {F}}^{T}{\boldsymbol {\tau }}{\boldsymbol {R}}^{-T}}$ (неизотропия)	${\displaystyle {\boldsymbol {U}}{\boldsymbol {T}}}$	${\displaystyle {\boldsymbol {M}}}$
${\displaystyle J=\det \left({\boldsymbol {F}}\right),\quad {\boldsymbol {C}}={\boldsymbol {F}}^{T}{\boldsymbol {F}}={\boldsymbol {U}}^{2},\quad {\boldsymbol {F}}={\boldsymbol {R}}{\boldsymbol {U}},\quad {\boldsymbol {R}}^{T}={\boldsymbol {R}}^{-1}}$
${\displaystyle {\boldsymbol {P}}=J{\boldsymbol {\sigma }}{\boldsymbol {F}}^{-T},\quad {\boldsymbol {\tau }}=J{\boldsymbol {\sigma }},\quad {\boldsymbol {S}}=J{\boldsymbol {F}}^{-1}{\boldsymbol {\sigma }}{\boldsymbol {F}}^{-T},\quad {\boldsymbol {T}}={\boldsymbol {R}}^{T}{\boldsymbol {P}},\quad {\boldsymbol {M}}={\boldsymbol {C}}{\boldsymbol {S}}}$

Ссылки [ править ]