Торические код является топологический квантовый код с исправлением ошибок и пример кода стабилизатора , определенный на двумерной спиновой решетки [1] Это самый простой и наиболее хорошо изученных двойных моделей квантовых. [2] Это также простейший пример топологического порядка - топологический порядок Z 2 (впервые изученный в контексте спиновой жидкости Z 2 в 1991 г.). [3] [4] Торический код также можно рассматривать как решеточную калибровочную теорию Z 2 в определенном пределе. [5] Его представил Алексей Китаев .
Торический код получил свое название от периодических граничных условий, придающих ему форму тора . Эти условия придают модели трансляционную инвариантность, что полезно для аналитического исследования. Однако экспериментальная реализация требует открытых граничных условий, позволяющих разместить систему на двумерной поверхности. Результирующий код обычно известен как планарный код. Это поведение идентично торическому коду в большинстве, но не во всех случаях.
Исправление ошибок и вычисление
Торический код определяется на двумерной решетке, обычно выбираемой в качестве квадратной решетки , со степенью свободы спина 1/2, расположенной на каждом ребре. Они выбраны периодическими. Операторы- стабилизаторы определены на спинах вокруг каждой вершины.и плакетка [ требуется определение ] (или лицо, например, вершина дуальной решетки) [ требуется пояснение ] решетки следующим образом:
Где здесь мы используем для обозначения ребер, соприкасающихся с вершиной , а также для обозначения краев, окружающих плакетку . Стабилизирующее пространство кода - это то пространство, для которого все стабилизаторы действуют тривиально, следовательно,
для любого государства . Для торической коды, это пространство четырехмерное, и поэтому может быть использовано для хранения двух кубитов от квантовой информации . Это можно доказать, рассмотрев количество независимых операторов стабилизатора. Возникновение ошибок приведет к перемещению состояния из пространства стабилизатора, что приведет к появлению вершин и плакеток, для которых вышеуказанное условие не выполняется. Позиции этих нарушений - это синдром кода, который можно использовать для исправления ошибок.
Уникальность топологических кодов, таких как торический код, заключается в том, что нарушения стабилизатора можно интерпретировать как квазичастицы . В частности, если код находится в состоянии такой, что,
,
квазичастица, известная как можно сказать, что энион существует в вершине. Аналогичным образом нарушения связаны с так называемыми Аньоны на плакетках. Таким образом, стабилизирующее пространство соответствует анионному вакууму. Ошибки одиночного спина приводят к созданию пар анионов и их перемещению по решетке.
Когда ошибки создают пару анионов и перемещают их, можно представить себе путь, соединяющий эти два элемента, состоящий из всех задействованных ссылок. Если после этого аннионы встречаются и уничтожаются, этот путь описывает петлю. Если цикл топологически тривиален, он не влияет на сохраненную информацию. Уничтожение анионов в этом случае исправляет все ошибки, связанные с их созданием и транспортировкой. Однако, если цикл топологически нетривиален, хотя повторная аннигиляция аннигиляции возвращает состояние в пространство стабилизатора, она также реализует логическую операцию с сохраненной информацией. Таким образом, ошибки в этом случае не исправляются, а консолидируются.
Рассмотрим модель шума, для которой битовые и фазовые ошибки возникают независимо на каждом спине с вероятностью p . Когда p низкое, это создаст редко распределенные пары анионов, которые не далеко отошли от точки своего создания. Исправление может быть достигнуто путем определения пар, в которых были созданы аннионы (до класса эквивалентности), а затем их повторного уничтожения для удаления ошибок. Однако по мере увеличения p становится все более неоднозначным, как аньоны могут быть спарены без риска образования топологически нетривиальных петель. Это дает пороговую вероятность, при которой исправление ошибок почти наверняка будет успешным. При сопоставлении с моделью Изинга со случайными связями эта критическая вероятность оказалась около 11%. [6]
Также могут быть рассмотрены другие модели ошибок и найдены пороговые значения. Во всех случаях, изученных до сих пор, было обнаружено, что код насыщает границу хеширования . Для некоторых моделей ошибок, таких как смещенные ошибки, когда битовые ошибки возникают чаще, чем фазовые, или наоборот, для достижения оптимальных пороговых значений должны использоваться решетки, отличные от квадратной. [7] [8]
Эти пороги являются верхними пределами и бесполезны, если не найдены эффективные алгоритмы для их достижения. Наиболее часто используемый алгоритм - это идеальное согласование с минимальным весом . [9] При применении к модели шума с независимыми битовыми ошибками и ошибками переворота достигается порог около 10,5%. Это лишь немного меньше максимума в 11%. Однако согласование не работает так хорошо, когда есть корреляции между битовыми и фазовыми ошибками, например, с деполяризующим шумом.
Рассмотрены средства выполнения квантовых вычислений над логической информацией, хранящейся в торическом коде, со свойствами кода, обеспечивающими отказоустойчивость. Было показано, что расширение пространства стабилизатора с помощью «отверстий», вершин или плакеток, на которых не применяются стабилизаторы, позволяет кодировать множество кубитов в код. Однако универсальный набор унитарных вентилей не может быть отказоустойчиво реализован с помощью унитарных операций, поэтому для достижения квантовых вычислений требуются дополнительные методы. Например, универсальные квантовые вычисления могут быть достигнуты путем подготовки магических состояний с помощью закодированных квантовых заглушек, называемых tidBits, используемых для телепортации в требуемые дополнительные ворота при замене в качестве кубита. Кроме того, подготовка магических состояний должна быть отказоустойчивой, что может быть достигнуто путем дистилляции магических состояний на шумных магических состояниях. Была найдена основанная на измерениях схема квантовых вычислений, основанная на этом принципе, чей порог ошибки является самым высоким из известных для двумерной архитектуры. [10] [11]
Гамильтониан и самокоррекция
Поскольку стабилизирующие операторы торического кода квазилокальны и действуют только на спины, расположенные рядом друг с другом на двумерной решетке, вполне возможно определить следующий гамильтониан
Пространство основного состояния этого гамильтониана является пространством стабилизатора кода. Возбужденные состояния соответствуют состояниям анионов, энергия которых пропорциональна их количеству. Таким образом, локальные ошибки энергетически подавляются за счет зазора, который, как было показано, устойчив к локальным возмущениям. [12] Однако динамические эффекты таких возмущений могут по-прежнему вызывать проблемы для кода. [13] [14]
Этот зазор также придает коду определенную устойчивость к тепловым ошибкам, позволяя почти наверняка исправить это в течение определенного критического времени. На этот раз увеличивается с, но поскольку произвольное увеличение этой связи нереально, защита, обеспечиваемая гамильтонианом, все еще имеет свои пределы.
Часто рассматриваются способы превратить торический или планарный код в полностью самокорректирующуюся квантовую память. Самокоррекция означает, что гамильтониан естественным образом подавляет ошибки на неопределенное время, что приводит к времени жизни, которое расходится в термодинамическом пределе. Было обнаружено, что в торическом коде это возможно только при наличии дальнодействующих взаимодействий между энионами. [15] [16] Были сделаны предложения по их реализации в лаборатории [17] Другой подход - это обобщение модели на более высокие измерения с возможностью самокоррекции в 4D только с квазилокальными взаимодействиями. [18]
Аньон модель
Как упоминалось выше, так называемые а также квазичастицы ассоциируются с вершинами и плакетками модели соответственно. Эти квазичастицы можно описать как энионы из-за нетривиального эффекта их сплетения. В частности, хотя оба вида энионов являются бозонными по отношению к себе, плетение двухили не действует, полная монодромия и даст фазу . Такой результат не согласуется ни с бозонной, ни с фермионной статистикой и, следовательно, является анионным.
Анионная взаимная статистика квазичастиц демонстрирует логические операции, выполняемые топологически нетривиальными петлями. Рассмотрим создание парыAnyons с последующим перемещением одного по топологически нетривиальной петле, такой как та, которая показана на торе синим цветом на рисунке выше, прежде чем пара будет реаннилирована. Состояние возвращается в пространство стабилизатора, но цикл реализует логическую операцию над одним из сохраненных кубитов. ЕслиAnyons аналогичным образом перемещаются через красный цикл над логической операцией. Фазарезультат при плетении анионов показывает, что эти операции не коммутируют, а скорее антикоммутируют. Поэтому их можно интерпретировать как логические а также Операторы Паули на одном из хранимых кубитов. Соответствующие логические Паули на другом кубите соответствуют Anyon после синей петли и Anyon, следующий за красным. Плетение не происходит, когда а также проходят параллельными путями, фаза поэтому не возникает и соответствующие логические операции коммутируют. Этого и следовало ожидать, поскольку эти операции образуют операции, действующие на разные кубиты.
В связи с тем, что оба а также энионы могут быть созданы парами, ясно видно, что обе эти квазичастицы являются своими собственными античастицами. Составная частица, состоящая из двухТаким образом, анионы эквивалентны вакууму, поскольку вакуум может дать такую пару, и такая пара аннигилирует с вакуумом. Соответственно, эти композиты обладают бозонной статистикой, поскольку их плетение всегда совершенно тривиально. Сочетание двухanion аналогично эквивалентен вакууму. Создание таких композитов известно как слияние анионов, и результаты могут быть записаны в терминах правил слияния. В этом случае они принимают вид
Где обозначает вакуум. Композиция из и нетривиально. Таким образом, это составляет еще одну квазичастицу в модели, иногда обозначаемую, с правилом слияния,
Из статистики плетения энионов мы видим, что, поскольку любой обмен двумя будет включать полную монодромию составляющих а также , фаза приведет к. Отсюда следует фермионная автостатистика дляс.
Обобщения
Для формирования кода исправления ошибок использование тора не требуется. Могут использоваться и другие поверхности, топологические свойства которых определяют вырождение пространства стабилизатора. В общем, коды с квантовой коррекцией ошибок, определенные на двумерных спиновых решетках в соответствии с указанными выше принципами, известны как поверхностные коды. [19]
Также возможно определить подобные коды, используя спины более высокой размерности. Это квантовые двойные модели [20] и струнно-сетевые модели [21], которые допускают большее разнообразие в поведении энионов и поэтому могут использоваться для более продвинутых квантовых вычислений и предложений по исправлению ошибок. [22] Сюда входят не только модели с абелевыми энионами, но и модели с неабелевой статистикой. [23] [24]
Экспериментальный прогресс
Наиболее явной демонстрацией свойств торического кода были подходы, основанные на состоянии. Вместо того, чтобы пытаться реализовать гамильтониан, они просто подготавливают код в пространстве стабилизатора. Используя эту технику, эксперименты смогли продемонстрировать создание, перенос и статистику энионов. [25] [26] Более поздние эксперименты также смогли продемонстрировать свойства кода исправления ошибок. [27]
Для реализации торического кода и его обобщений с помощью гамильтониана был достигнут большой прогресс с использованием джозефсоновских контактов . Теория реализации гамильтонианов разработана для широкого класса топологических кодов. [28] Также был проведен эксперимент, реализующий гамильтониан торического кода для небольшой решетки и демонстрирующий квантовую память, обеспечиваемую ее вырожденным основным состоянием. [29]
Другие теоретические и экспериментальные работы, направленные на реализацию, основаны на холодных атомах. Набор методов, которые могут быть использованы для реализации топологических кодов с оптическими решетками, был исследован [30], как и эксперименты, касающиеся минимальных экземпляров топологического порядка. [31] Такие минимальные примеры торического кода были экспериментально реализованы в изолированных квадратных плакетках. [32] Также наблюдается прогресс в моделировании торической модели с ридберговскими атомами , в которой можно продемонстрировать гамильтониан и эффекты диссипативного шума. [33]
Рекомендации
- ^ А.Ю. Китаев, Труды 3-й Международной конференции по квантовой связи и измерениям, Под ред. О. Хирота, А. С. Холево и С. М. Пещеры (Нью-Йорк, Пленум, 1997).
- ↑ Китаев, Алексей (2006). «Аньоны в точно решенной модели и не только». Летопись физики . Elsevier BV. 321 (1): 2–111. arXiv : cond-mat / 0506438 . DOI : 10.1016 / j.aop.2005.10.005 . ISSN 0003-4916 .
- ^ Читать, N .; Сачдев, Субир (1 марта 1991 г.). «Большое расширение для фрустрированных квантовых антиферромагнетиков». Письма с физическим обзором . Американское физическое общество (APS). 66 (13): 1773–1776. Bibcode : 1991PhRvL..66.1773R . DOI : 10.1103 / physrevlett.66.1773 . ISSN 0031-9007 . PMID 10043303 .
- ^ Вэнь, XG (1 июля 1991 г.). "Теория среднего поля состояний спиновой жидкости с конечной запрещенной зоной и топологическими порядками". Physical Review B . Американское физическое общество (APS). 44 (6): 2664–2672. Bibcode : 1991PhRvB..44.2664W . DOI : 10.1103 / Physrevb.44.2664 . ISSN 0163-1829 . PMID 9999836 .
- ^ Фрадкин, Эдуардо; Шенкер, Стивен Х. (15 июня 1979 г.). «Фазовые диаграммы решеточных калибровочных теорий с полями Хиггса». Physical Review D . Американское физическое общество (APS). 19 (12): 3682–3697. Bibcode : 1979PhRvD..19.3682F . DOI : 10.1103 / physrevd.19.3682 . ISSN 0556-2821 .
- ^ Деннис, Эрик; Китаев, Алексей; Ландаль, Эндрю; Прескилл, Джон (2002). «Топологическая квантовая память». Журнал математической физики . Издательство AIP. 43 (9): 4452–4505. arXiv : квант-ph / 0110143 . Bibcode : 2002JMP .... 43.4452D . DOI : 10.1063 / 1.1499754 . ISSN 0022-2488 .
- ^ Рётлисбергер, Бит; Вуттон, Джеймс Р .; Хит, Роберт М .; Pachos, Jiannis K .; Потеря, Дэниел (13 февраля 2012 г.). «Некогерентная динамика в торическом коде, подверженном беспорядку». Physical Review . Американское физическое общество (APS). 85 (2): 022313. arXiv : 1112.1613 . DOI : 10.1103 / physreva.85.022313 . ISSN 1050-2947 .
- ^ Bombin, H .; Андрист, Рубен С .; Озэки, Масаюки; Katzgraber, Helmut G .; Мартин-Дельгадо, Массачусетс (30 апреля 2012 г.). «Сильная устойчивость топологических кодов к деполяризации» . Physical Review X . Американское физическое общество (APS). 2 (2): 021004. DOI : 10,1103 / physrevx.2.021004 . ISSN 2160-3308 .
- ^ Эдмондс, Джек (1965). «Дорожки, деревья и цветы». Канадский математический журнал . Канадское математическое общество. 17 : 449–467. DOI : 10,4153 / CJM-1965-045-4 . ISSN 0008-414X .
- ^ Раусендорф, Роберт; Харрингтон, Джим (11 мая 2007 г.). «Отказоустойчивые квантовые вычисления с высоким порогом в двух измерениях». Письма с физическим обзором . Американское физическое общество (APS). 98 (19): 190504. Arxiv : колич-фот / 0610082 . Bibcode : 2007PhRvL..98s0504R . DOI : 10.1103 / physrevlett.98.190504 . ISSN 0031-9007 . PMID 17677613 .
- ^ Raussendorf, R; Харрингтон, Дж; Гоял, К. (29 июня 2007 г.). «Топологическая отказоустойчивость при квантовом вычислении состояния кластера» . Новый журнал физики . IOP Publishing. 9 (6): 199–199. Bibcode : 2007NJPh .... 9..199R . DOI : 10,1088 / 1367-2630 / 9/6/199 . ISSN 1367-2630 .
- ^ Бравый, Сергей; Гастингс, Мэтью Б .; Михалакис, Спиридон (2010). «Топологический квантовый порядок: устойчивость к локальным возмущениям». Журнал математической физики . Издательство AIP. 51 (9): 093512. arXiv : 1001.0344 . DOI : 10.1063 / 1.3490195 . ISSN 0022-2488 .
- ^ Ф. Паставски; А. Кей; Н. Щуч; Дж. И. Чирак (2010). «Ограничения пассивной защиты квантовой информации». Квантовая информация и вычисления . Ринтон Пресс. 10 (7 и 8): 580. arXiv : 0911.3843 . DOI : 10.26421 / qic10.7-8 . ISSN 1533-7146 .
- ^ Фриман, К. Дэниэл; Хердман, CM; Горман, диджей; Уэйли, КБ (7 октября 2014 г.). «Релаксационная динамика торического кода в контакте с тепловым резервуаром: конечномерное масштабирование в низкотемпературном режиме». Physical Review B . Американское физическое общество (APS). 90 (13): 134302. arXiv : 1405.2315 . DOI : 10.1103 / Physrevb.90.134302 . ISSN 1098-0121 .
- ^ Хамма, Алиосия; Кастельново, Клаудио; Чамон, Клаудио (18 июня 2009 г.). «Модель торического бозона: к топологической квантовой памяти при конечной температуре». Physical Review B . Американское физическое общество (APS). 79 (24): 245122. DOI : 10,1103 / physrevb.79.245122 . hdl : 1721,1 / 51820 . ISSN 1098-0121 .
- ^ Чези, Стефано; Рётлисбергер, Бит; Потеря, Дэниел (6 августа 2010 г.). «Самокорректирующаяся квантовая память в тепловой среде». Physical Review . Американское физическое общество (APS). 82 (2): 022305. arXiv : 0908.4264 . DOI : 10.1103 / physreva.82.022305 . ISSN 1050-2947 .
- ^ Pedrocchi, Fabio L .; Чези, Стефано; Потеря, Дэниел (10 марта 2011 г.). «Квантовая память, связанная с модами резонатора». Physical Review B . Американское физическое общество (APS). 83 (11): 115415. arXiv : 1011.3762 . DOI : 10.1103 / Physrevb.83.115415 . ISSN 1098-0121 .
- ^ Alicki, R .; Городецкий, М .; Городецкий, П .; Городецкий Р. (2010). «О термической устойчивости топологического кубита в 4-мерной модели Китаева». Открытые системы и информационная динамика . World Scientific Pub Co Pte Lt. 17 (01): 1-20. arXiv : 0811.0033 . DOI : 10.1142 / s1230161210000023 . ISSN 1230-1612 .
- ^ Гош, Джойдип; Фаулер, Остин Дж .; Геллер, Майкл Р. (19 декабря 2012 г.). «Поверхностный код с декогеренцией: анализ трех сверхпроводящих архитектур». Physical Review . Американское физическое общество (APS). 86 (6): 062318. arXiv : 1210.5799 . DOI : 10.1103 / physreva.86.062318 . ISSN 1050-2947 .
- ^ Баллок, Стивен С; Бреннен, Гэвин К. (14 марта 2007 г.). «Поверхностные коды Кудита и калибровочная теория с конечными циклическими группами». Журнал физики A: математический и теоретический . IOP Publishing. 40 (13): 3481–3505. arXiv : квант-ph / 0609070 . DOI : 10.1088 / 1751-8113 / 40/13/013 . ISSN 1751-8113 .
- ^ Левин, Майкл А. и Сяо-Ган Вэнь (12 января 2005 г.). «Конденсация струнной сети: физический механизм топологических фаз». Physical Review B . 71 (45110): 21. arXiv : cond-mat / 0404617 . Bibcode : 2005PhRvB..71d5110L . DOI : 10.1103 / PhysRevB.71.045110 .
- ^ Вуттон, Джеймс Р .; Лахтинен, Вилле; Дукот, Бенуа; Пачос, Джианнис К. (2011). «Разработка сложных топологических воспоминаний из простых абелевых моделей». Летопись физики . Elsevier BV. 326 (9): 2307–2314. arXiv : 0908.0708 . DOI : 10.1016 / j.aop.2011.05.008 . ISSN 0003-4916 .
- ^ Агуадо, М .; Бреннен, Г.К .; Verstraete, F .; Cirac, JI (22 декабря 2008 г.). «Создание, манипулирование и обнаружение абелевых и неабелевых анионов в оптических решетках». Письма с физическим обзором . Американское физическое общество (APS). 101 (26): 260501. DOI : 10,1103 / physrevlett.101.260501 . hdl : 1854 / LU-8589252 . ISSN 0031-9007 .
- ^ Бреннен, Г.К .; Агуадо, М; Cirac, JI (22 мая 2009 г.). «Моделирование квантовых двойных моделей» . Новый журнал физики . IOP Publishing. 11 (5): 053009. DOI : 10,1088 / 1367-2630 / 11/5/053009 . ISSN 1367-2630 .
- ^ Pachos, JK; Wieczorek, W; Шмид, К; Кизель, Н; Pohlner, R; Weinfurter, H (12 августа 2009 г.). «Выявление анионных особенностей в квантовом моделировании торического кода» . Новый журнал физики . IOP Publishing. 11 (8): 083010. DOI : 10,1088 / 1367-2630 / 11/8/083010 . ISSN 1367-2630 .
- ^ C.-Y. Лу и др., Phys. Rev. Lett. 102 , 030502 (2009).
- ^ Яо, Син-Цань; Ван, Тянь-Сюн; Чен, Хао-Цзэ; Гао, Вэй-Бо; Фаулер, Остин Дж .; Раусендорф, Роберт; Чен, Цзэн-Бин; Лю, Най-Ле; Лу, Чао-Ян; Дэн, Ю-Джин; Чен Ю-Ао; Пан, Цзянь-Вэй (22 февраля 2012 г.). «Экспериментальная демонстрация топологической коррекции ошибок». Природа . Springer Nature. 482 (7386): 489–494. arXiv : 0905.1542 . Bibcode : 2012Natur.482..489Y . DOI : 10,1038 / природа10770 . ISSN 0028-0836 . PMID 22358838 .
- ^ Дусо, Бенуа; Иоффе, Лев Б .; Видаль, Жюльен (3 июня 2004 г.). "Дискретные неабелевы калибровочные теории в массивах джозефсоновских контактов и квантовых вычислениях". Physical Review B . Американское физическое общество (APS). 69 (21): 214501. arXiv : cond-mat / 0302104 . DOI : 10.1103 / Physrevb.69.214501 . ISSN 1098-0121 .
- ^ Гладченко, Сергей; Олайя, Дэвид; Дюпон-Ферье, Ева; Дусо, Бенуа; Иоффе, Лев Б .; Гершенсон, Майкл Э. (30 ноября 2008 г.). «Сверхпроводящие наноцепи для топологически защищенных кубитов». Физика природы . ООО "Спрингер Сайенс энд Бизнес Медиа". 5 (1): 48–53. arXiv : 0802.2295 . DOI : 10.1038 / nphys1151 . ISSN 1745-2473 .
- ^ Micheli, A .; Бреннен, Г.К .; Золлер, П. (30 апреля 2006 г.). «Набор инструментов для моделей спина решетки с полярными молекулами». Физика природы . Springer Nature. 2 (5): 341–347. arXiv : квант-ph / 0512222 . DOI : 10.1038 / nphys287 . ISSN 1745-2473 .
- ^ Паредес, Белен; Блох, Иммануил (1 января 2008 г.). «Минимальные экземпляры топологической материи на оптической табличке». Physical Review . Американское физическое общество (APS). 77 (2): 023603. arXiv : 0711.3796 . DOI : 10.1103 / physreva.77.023603 . ISSN 1050-2947 .
- ^ Дай, Ханнинг; Ян, Бинг; Рейнгрубер, Андреас; Сунь, Хуэй; Сюй, Сяо-Фань; Чен Ю-Ао; Юань, Чжэнь-Шэн; Пан, Цзянь-Вэй (28 августа 2017 г.). "Четырехчастные кольцевые обменные взаимодействия и энионная статистика в минимальном гамильтониане торического кода". Физика природы . Springer Nature. 13 (2): 1195. arXiv : 1602.05709 . DOI : 10.1038 / NPHYS4243 . ISSN 1745-2473 .
- ^ Веймер, Хендрик; Мюллер, Маркус; Лесановский, Игорь; Золлер, Питер; Бюхлер, Ханс Петер (14 марта 2010 г.). «Квантовый симулятор Ридберга». Физика природы . ООО "Спрингер Сайенс энд Бизнес Медиа". 6 (5): 382–388. arXiv : 0907.1657 . DOI : 10.1038 / nphys1614 . ISSN 1745-2473 .
Внешние ссылки
- https://skepsisfera.blogspot.com/2010/04/kitaevs-toric-code.html