Сильвестр матроид

В теории матроидов , A Сильвестер матроид является матроидом , в котором каждая пара элементов принадлежит к схеме три-элемента ( треугольник ) в матроиде. ^{[1] [2]}

Пример [ править ]

Линия -точка (т.е. равномерный матроид ранга 2 на элементах ) является матроидом Сильвестра, потому что каждая пара элементов является базисом, а каждая тройка - схемой.${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle U {} _ {n} ^ {2}}$

Матроид Сильвестра третьего ранга может быть образован из любой системы троек Штейнера , определяя линии матроида как тройки системы. Матроиды Сильвестра третьего ранга также могут быть образованы из конфигураций Сильвестра – Галлаи , конфигураций точек и прямых (в неевклидовых пространствах) без двухточечной прямой. Например, плоскость Фано и конфигурация Гессе порождают матроиды Сильвестра с семью и девятью элементами соответственно и могут интерпретироваться либо как системы троек Штейнера, либо как конфигурации Сильвестра – Галлаи.

Свойства [ править ]

Матроид Сильвестра с рангом должен иметь как минимум элементы; эта оценка точна только для проективных пространств над GF (2) , примером которых является плоскость Фано. ^[3]${\ displaystyle r}$${\ displaystyle 2 ^ {r} -1}$

В матроиде Сильвестра каждый независимый набор может быть дополнен еще одним элементом, чтобы сформировать цепь матроида. ^{[1] [4]}

Матроиды Сильвестра не могут быть представлены над действительными числами (это теорема Сильвестра – Галлаи ) и не могут быть ориентированы . ^[5]

История [ править ]

Матроиды Сильвестра были изучены и названы Мерти (1969) в честь Джеймса Джозефа Сильвестра , потому что они нарушают теорему Сильвестра-Галлаи (для точек и прямых на евклидовой плоскости или в многомерных евклидовых пространствах ), что для любого конечного множества точек существует это линия, содержащая только две точки.

Ссылки [ править ]