В комбинаторике филиал математики , в матроиде / м eɪ т г ɔɪ г / является структура , которая рефераты и обобщает понятие линейной независимости в векторных пространствах . Есть много эквивалентных способов аксиоматического определения матроида , наиболее значимые из которых: независимые множества; базы или схемы; ранговые функции; операторы закрытия; и закрытые наборы или квартиры. На языке частично упорядоченных множеств конечный матроид эквивалентен геометрической решетке .
Теория матроидов широко заимствует терминологию линейной алгебры и теории графов , в основном потому, что это абстракция различных понятий, имеющих центральное значение в этих областях. Матроиды нашли применение в геометрии , топологии , комбинаторной оптимизации , теории сетей и теории кодирования . [1] [2]
Определение
Существует множество эквивалентных ( криптоморфных ) способов определения (конечного) матроида. [3]
Независимые наборы
С точки зрения независимости конечный матроид пара , где является конечным набором (называемым основным набором ) иэто семейство из подмножеств в(называемые независимыми множествами ) со следующими свойствами: [4]
- (I1) Пустое множество является независимым, т. Е. . В качестве альтернативы, как минимум одно подмножество является независимым, т. е. .
- (I2) Каждое подмножество независимого набора является независимым, т. Е. Для каждого , если тогда . Иногда это называют наследственным свойством или свойством , закрытым вниз .
- (I3) Если а также являются двумя независимыми наборами (т. е. каждый набор независим) и имеет больше элементов, чем , то существует такой, что в . Иногда это называют свойством увеличения или свойством обмена независимыми наборами .
Первые два свойства определяют комбинаторную структуру, известную как система независимости (или абстрактный симплициальный комплекс ).
Базы и схемы
Подмножество основного набора то, что не является независимым, называется зависимым . Максимальный независимый набор, то есть независимый набор, который становится зависимым от добавления любого элемента- называется основой матроида. Цепи в матроиду является минимальным зависимым подмножеством - то есть зависимый набор, все собственные подмножества которого независимы. Терминология возникает из-за того, что схемы графических матроидов являются циклами в соответствующих графах. [4]
Зависимые множества, основы или схемы матроида полностью характеризуют матроид: набор является независимым тогда и только тогда, когда он не зависим, тогда и только тогда, когда он является подмножеством базиса, и тогда и только тогда, когда он не содержать схемы. Наборы зависимых множеств, баз и схем имеют простые свойства, которые могут быть приняты как аксиомы для матроида. Например, можно определить матроид быть парой , где по-прежнему является конечным множеством и представляет собой набор подмножеств , называемые «базами», со следующими свойствами: [4]
- (B1) непусто.
- (B2) Если а также являются отдельными членами а также , то существует элемент такой, что . Это свойство называется базисным свойством обмена .
Из базиса обмена собственности следует, что ни один член может быть правильным подмножеством другого.
Ранговые функции
Основной результат теории матроидов, прямо аналогичный аналогичной теореме о базисах в линейной алгебре , состоит в том , что любые два базиса матроидаимеют одинаковое количество элементов. Это число называется рангом из . Если это матроид на , а также это подмножество , затем матроид на можно определить, рассматривая подмножество быть независимым тогда и только тогда, когда он независим в . Это позволяет нам говорить о субматроидах и о ранге любого подмножества. Ранг подмножествазадается ранговой функцией матроида, обладающего следующими свойствами: [4]
- Значение функции ранга всегда является неотрицательным целым числом .
- Для любого подмножества , у нас есть .
- Для любых двух подмножеств , у нас есть: . То есть ранг - это субмодулярная функция .
- Для любого набора и элемент , у нас есть: . Из первого неравенства в более общем виде следует, что если, тогда . То есть ранг - это монотонная функция .
Эти свойства можно использовать как одно из альтернативных определений конечного матроида: если удовлетворяет этим свойствам, то независимые множества матроида над можно определить как эти подмножества из с участием . На языке частично упорядоченных множеств такая структура матроида эквивалентна геометрической решетке , элементами которой являются подмножества, частично заказан включением.
Различия называется нулевым подмножеством. Это минимальное количество элементов, которые необходимо удалить изчтобы получить независимый набор. Недействительность в называется ничтожностью . Различияиногда называют корангом подмножества.
Операторы закрытия
Позволять быть матроидом на конечном множестве , с функцией ранга как указано выше. Замыкание (или диапазон ) подмножества из это набор
- .
Это определяет оператор закрытия где обозначает набор мощности со следующими свойствами:
- Для всех подмножеств из , .
- Для всех подмножеств из , .
- Для всех подмножеств а также из с участием , .
- Для всех элементов , а также из и все подмножества из , если тогда .
Первые три из этих свойств являются определяющими свойствами оператора замыкания. Четвертый иногда называют собственностью обмена Мак-Лейна - Стейница . Эти свойства можно рассматривать как еще одно определение матроида: каждая функциякоторый подчиняется этим свойствам, определяет матроид. [4]
Квартиры
Множество, замыкание которого равно самому себе, называется замкнутым , либо плоским, либо подпространством матроида. [5] Набор является замкнутым, если он максимален для своего ранга, что означает, что добавление любого другого элемента к набору увеличит ранг. Замкнутые множества матроида характеризуются свойством покрывающего разбиения:
- Весь набор точек закрыто.
- Если а также квартиры, то это квартира.
- Если является квартирой, то каждый элемент находится ровно в одной из квартир эта обложка (означающий, что правильно содержит но нет квартиры между а также ).
Класс всех квартир, частично упорядоченных включением множества, образует решетку матроидов . Наоборот, каждая решетка матроидов образует матроид над своим множеством из атомов при следующем операторе замыкания: для набора атомов с соединением ,
- .
Плоскости этого матроида однозначно соответствуют элементам решетки; квартира, соответствующая элементу решетки это набор
- .
Таким образом, решетка плоскостей этого матроида естественно изоморфна решетке .
Гиперплоскости
В матроиде ранга , квартира ранга называется гиперплоскостью . ( Гиперплоскости также называют коатомами или копоинтами .) Это максимальные правильные плоскости; то есть единственное надмножество гиперплоскости, которое также является плоским, - это множествовсех элементов матроида. Эквивалентное определение состоит в том, что коатом - это подмножество E, которое не охватывает M , но такое, что добавление к нему любого другого элемента создает охватывающий набор. [6]
Семья гиперплоскостей матроида обладает следующими свойствами, которые можно принять как еще одну аксиоматизацию матроидов: [6]
- Не существует отдельных наборов а также в с участием . То есть гиперплоскости образуют семейство Спернеров .
- Для каждого и отчетливый с участием , Существует с участием .
Графоиды
Минти (1966) определила графоид как тройной в котором а также - классы непустых подмножеств такой, что
- нет элемента (называемый «контуром») содержит еще один,
- нет элемента (называемый "коконной цепью") содержит еще один,
- не установлено в и установить в пересекаются ровно в одном элементе, и
- в любое время представляется как несвязное объединение подмножеств с участием (одноэлементный набор), то либо существует такое, что или существует такое, что
Он доказал, что существует матроид, для которого это класс схем и класс кокосхем. Наоборот, если а также - классы схем и кокцепов матроида с набором земли , тогда это графоид. Таким образом, графоиды дают самодуальную криптоморфную аксиоматизацию матроидов.
Примеры
Бесплатный матроид
Позволять - конечное множество. Множество всех подмножествудовлетворяет определению матроида. Это называется бесплатным матроидом над.
Однородные матроиды
Позволять - конечное множество и натуральное число . Матроид можно определить на принимая каждый -элементное подмножество быть основой. Это известно как равномерный матроид ранга. Унифицированный матроид с рангом и с элементы обозначены . Все равномерные матроиды ранга не ниже 2 простые (см. § Дополнительная терминология ). Равномерный матроид 2-го ранга на точек называется - точечная линия . Матроид является однородным тогда и только тогда, когда у него нет цепей размером меньше единицы плюс ранг матроида. Прямые суммы однородных матроидов называются матроидами разбиений .
В униформе матроида , каждый элемент представляет собой цикл (элемент, не принадлежащий ни одному независимому набору), а в однородном матроиде , каждый элемент представляет собой колуп (элемент, принадлежащий всем базам). Прямая сумма матроидов этих двух типов представляет собой матроид разбиения, в котором каждый элемент является петлей или кольцом; он называется дискретным матроидом . Эквивалентным определением дискретного матроида является матроид, в котором каждое собственное непустое подмножество основного набора является разделителем.
Матроиды из линейной алгебры
Теория матроидов развивалась в основном на основе глубокого исследования свойств независимости и размерности векторных пространств. Есть два способа представить определенные таким образом матроиды:
- Если любое конечное подмножество векторного пространства , то мы можем определить матроид на взяв независимые наборы быть линейно независимыми подмножествами. Справедливость аксиом независимого множества для этого матроида следует из леммы об обмене Стейница . Если является матроидом, который можно определить таким образом, мы говорим, что множество представляет . Такие матроиды называются векторными матроидами . Важным примером определяемого таким образом матроида является матроид Фано, матроид третьего ранга, полученный из плоскости Фано , конечная геометрия с семью точками (семью элементами матроида) и семью линиями (собственно нетривиальные плоскости плоскости Фано ). матроид). Это линейный матроид, элементы которого можно описать как семь ненулевых точек в трехмерном векторном пространстве над конечным полем GF (2) . Однако невозможно обеспечить аналогичное представление матроида Фано с использованием вещественных чисел вместо GF (2).
- матрица с записями в поле порождает матроидна его множестве столбцов. Зависимые наборы столбцов в матроиде являются линейно зависимыми как векторы. Это Матроид называется колонна матроидом из, а также Говорят, что представляет . Например, матроид Фано может быть представлен таким образом как 3 × 7 (0,1) -матрица . Матроиды столбцов - это просто векторные матроиды под другим названием, но часто есть причины в пользу матричного представления. (Есть одно техническое различие: матроид столбца может иметь отдельные элементы, которые являются одним и тем же вектором, но векторный матроид, как определено выше, не может. Обычно это различие несущественно и может быть проигнорировано, но если разрешить- мультимножество векторов, одно приводит к полному согласию этих двух определений.)
Матроид, который эквивалентен векторному матроиду, хотя он может быть представлен по-другому, называется представимым или линейным . Еслиэквивалентен векторному матроиду над полем , тогда мы говорим это представимо над ; в частности,является вещественно представимым, если оно представимо над действительными числами. Например, хотя графический матроид (см. Ниже) представлен в виде графика, он также может быть представлен векторами над любым полем. Основная проблема в теории матроидов состоит в том, чтобы охарактеризовать матроиды, которые могут быть представлены в заданном поле.; Гипотеза Роты описывает возможную характеризацию каждого конечного поля . Основными результатами на данный момент являются характеристики бинарных матроидов (представимых над GF (2)) благодаря Тутте (1950-е годы), тройных матроидов (представимых над трехэлементным полем) благодаря Рейду и Биксби и отдельно Сеймуру (1970-е годы). ) и четвертичных матроидов (представимых над 4-элементным полем) Гилен, Джерардс и Капур (2000). Это очень открытая площадка. [ требуется обновление? ]
Регулярный матроидом является матроидом , что представимо над всеми возможными полями. Матроидом Vámos является простейшим примером матроиду , который не представима над любым полем.
Матроиды из теории графов
Второй первоисточник теории матроидов - теория графов .
Каждый конечный граф (или мультиграф ) рождает матроид следующим образом: принять как набор всех ребер в и считаем набор ребер независимым тогда и только тогда, когда это лес ; то есть, если он не содержит простого цикла . потомназывается циклическим матроидом . Полученные таким образом матроиды являются графическими матроидами . Не каждый матроид является графическим, но все матроиды на трех элементах являются графическими. [7] Каждый графический матроид обычный.
Впоследствии были обнаружены и другие матроиды на графах:
- Двоякокруговой матроид графа определяется путем вызова множества ребер независимого , если каждое связное подмножество содержит не более одного цикла.
- В любом ориентированном или неориентированном графе позволять а также - два выделенных набора вершин. В наборе, определите подмножество быть независимым, если есть || вершинно-непересекающиеся пути из на . Это определяет матроид наназывается gammoid : [8] строгое gammoid один , для которых множество это весь набор вершин . [9]
- В двудольном графе , можно сформировать матроид, в котором элементы являются вершинами с одной стороны двудольности, а независимые подмножества - это множества конечных точек паросочетаний графа. Это называется трансверсально матроидом , [10] [11] , и это особый случай gammoid. [8] Трансверсальные матроиды - это матроиды, двойственные к строгим гаммоидам. [9]
- Графические матроиды были обобщены на матроиды из подписанных графиков , графиков усиления и смещенных графиков . График с выделенным линейным классом циклов, известный как "смещенный график" , Имеет два матроид, известные как кадр матроид и подъем матроид из смещенного графа. Если каждый цикл принадлежит выделенному классу, то эти матроиды совпадают с матроидом циклов. Если цикл не выделяется, матроид каркаса является двукруглым матроидом. Граф со знаком, ребра которого помечены знаками, и граф усиления, который является графом, чьи ребра помечены ориентируемым образом от группы, порождают смещенный граф и, следовательно, имеют матроиды каркаса и подъема.
- На графиках Laman образуют основы двумерный жесткости матроиды , матроида , определенную в теории структурной жесткости .
- Позволять быть связным графом и быть его набором ребер. Позволять быть набором подмножеств из такой, что все еще подключен. потом, набор элементов которого и с как его класс независимых множеств, является матроидом, называемым матроидом связи. Ранговая функция- цикломатический номер подграфа, индуцированного на подмножестве ребер, равное количеству ребер вне максимального леса этого подграфа, а также количеству независимых циклов в нем.
Матроиды из полевых расширений
Третий первоисточник теории матроидов - теория поля .
Расширение поля приводит к матроиду. Предполагать а также поля с содержащий . Позволять любое конечное подмножество . Определить подмножество из быть алгебраически независимым, если поле расширенияимеет степень трансцендентности, равную. [12]
Матроид, эквивалентный матроиду такого типа, называется алгебраическим матроидом . [13] Проблема описания алгебраических матроидов чрезвычайно сложна; об этом мало что известно. Матроидом Vámos дает пример матроиду , который не является алгебраическим.
Основные конструкции
Есть несколько стандартных способов сделать новых матроидов из старых.
Двойственность
Если M является конечным матроидом, мы можем определить ортогональный или двойной матроид M *, взяв тот же базовый набор и вызов набора на основе в М * тогда и только тогда , когда его дополнение является базисом в М . Это не трудно проверить , что M * является матроидом и двойственными М * являются М . [14]
Дуал можно описать одинаково хорошо с точки зрения других способов определения матроида. Например:
- Набор независим в М * тогда и только тогда , когда его дополнение пролетов М .
- Набор является схемой М * тогда и только тогда , когда его дополнением является coatom в М .
- Ранговая функция двойника равна .
Согласно матроидной версии теоремы Куратовски , двойник графического матроида M является графическим матроидом тогда и только тогда, когда M - матроид плоского графа . В этом случае двойственного М является матроидом из двойственного графа из G . [15] Сопряженный вектор матроид представимы над определенным полем Р является также представим над F . Двойник поперечного матроида - это строгий гаммоид, и наоборот.
Пример
Матроид цикла графа - это двойственный матроид связанного матроида.
Несовершеннолетние
Если М является матроидом с элементом множества Е , и S представляет собой подмножество Е , с ограничением на М до S , добавленные M | S , является матроидом на множестве S , чьи независимых множества являются независимым множеством М , которые содержатся в S . Его схемы являются схемы M , которые содержатся в S и его ранг функции является то , что M ограничивается подмножеств S . В линейной алгебре, это соответствует ограничению на подпространство , порожденное векторами в S . Эквивалентно , если Т = М - S это можно назвать удаление из Т , написанный М \ Т или М - Т . Субматроиды M - это как раз результат последовательности удалений: порядок не имеет значения. [16] [17]
Двойная операция ограничения - это сжатие. [18] Если Т является подмножеством Е , на сжатие из М с помощью Т , написанный М / Т , является матроид на основном множестве Е - Т , ранг функция[19] В линейной алгебре, это соответствует глядя на факторепространствепомощью линейного пространствапорожденных векторов в Т , вместе с образами векторов в Е - Т .
Матроид Н , который получается из M последовательностью операций ограничения и сжатия называется минор из М . [17] [20] Мы говорим, что M содержит N как минор . Многие важные семейства матроидов могут быть охарактеризованы матроидами минор-минимал , не принадлежащими к семейству; их называют запрещенными или исключенными несовершеннолетними . [21]
Суммы и союзы
Пусть М будет матроидом с основным набором элементов Е , и пусть N будет другой матроид на базовом наборе F . Прямая сумма матроидов М и N является матроидом которого основное множество является объединением непересекающихся из Е и F , и чьи независимые множества являются непересекающимися объединения независимого множества М с независимым набором N .
Объединение из М и N является матроидом, базовым набором является объединением (не пересекается объединение) E и F , и чьи независимые множества являются те , которые являются подмножествами объединения независимого множества в М и один в N . Обычно термин «объединение» применяется, когда E = F , но это предположение не является существенным. Если E и F не пересекаются, объединение является прямой суммой.
Дополнительная терминология
Пусть М будет матроидом с основным набором элементами Е .
- E можно назвать наземный набор из M . Его элементы можно назвать точки из М .
- Подмножество Е охватывает М , если его замыкание Е . Набор называется охватить замкнутое множество K , если его замыкание K .
- Распорка из матроиды является размером наималейшей цепи или зависимого набора.
- Элемент, образующий одноэлементную схему M , называется петлей . Эквивалентно, элемент является циклом, если он не принадлежит ни одной основе. [7] [22]
- Элемент , который не принадлежит ни цепи называется coloop или перешейка . Эквивалентно элемент является кольцом, если он принадлежит каждой основе. Петля и петля взаимно двойственны. [22]
- Если два элемента множества { F, G } является схема М , то е и г являются параллельными в М . [7]
- Матроид называется простым, если в нем нет схем, состоящих из 1 или 2 элементов. То есть в нем нет ни петель, ни параллельных элементов. Также используется термин комбинаторная геометрия . [7] Простой матроид , полученные из других матроидов M , удалив все петлю и удаляя один элемент из каждой схемы 2-элемента , пока нет 2-элементных схем остаются называются упрощением из М . [23] Матроид является таким же простым, если его двойственный матроид прост. [24]
- Объединение схем иногда называют цикл из М . Таким образом, цикл является дополнением к плоскости двойственного матроида. (Это использование противоречит общепринятому значению термина «цикл» в теории графов.)
- Сепаратор из М представляет собой подмножество S из Й таких , что. Собственно или нетривиальный сепаратор представляет собой сепаратор , который не является ни Е , ни пустое множество. [25] неприводимым сепаратор представляет собой сепаратор , который не содержит никакого другого непустого сепаратора. Неприводимыми разделители разбивают землю множество E .
- Матроид, который не может быть записан как прямая сумма двух непустых матроидов или, что то же самое, не имеет подходящих разделителей, называется связным или неприводимым . Матроид связан тогда и только тогда, когда его дуал связан. [26]
- Максимальный неприводимый подматроид из М называется компонентом из М . Компонент - это ограничение M на неприводимый разделитель, и наоборот, ограничение M на неприводимый разделитель является компонентом. Разделитель - это объединение компонентов. [25]
- Матроид M называется каркасным матроидом, если он или содержащий его матроид имеет такую основу, что все точки M содержатся в линиях, соединяющих пары базисных элементов. [27]
- Матроид называется матроидом для мощения, если все его цепи имеют размер, по крайней мере, равный его рангу. [28]
- Матроидом многогранник является выпуклой оболочкой из индикаторных векторов фундаментов.
Алгоритмы
Жадный алгоритм
Взвешенный матроид является матроидом вместе с функцией от ее элементов к неотрицательным действительным числам . Вес подмножества элементов определяется как сумма весов элементов в подмножестве. Жадный алгоритм может быть использован , чтобы найти максимальный вес основу матроиды, исходя из пустого множества и неоднократно добавления одного элемента за один раз, на каждый шаге выбор максимального веса элемента среди элементов, добавление бы сохранить независимость расширенного набора. [29] Этому алгоритму не нужно ничего знать о деталях определения матроида, если у него есть доступ к матроиду через оракул независимости , подпрограмму для проверки, является ли набор независимым.
Этот алгоритм оптимизации можно использовать для характеристики матроидов: если семейство множеств F , замкнутое относительно взятия подмножеств, обладает тем свойством, что независимо от того, как наборы взвешиваются, жадный алгоритм находит набор с максимальным весом в семействе, тогда F должно быть семейством независимых наборов матроида. [30]
Понятие матроида было обобщено, чтобы учесть другие типы множеств, на которых жадный алгоритм дает оптимальные решения; см greedoid и матроиды вложения для получения дополнительной информации.
Разбиение Matroid
Задача разбиения матроида состоит в том, чтобы разделить элементы матроида на как можно меньшее количество независимых множеств, а проблема упаковки матроида состоит в том, чтобы найти как можно больше непересекающихся остовных множеств. Оба могут быть решены за полиномиальное время и могут быть обобщены на задачу вычисления ранга или нахождения независимого множества в матроидной сумме.
Пересечение матроидов
Пересечение двух или более матроидов этого семейство множеств, которые одновременно независимы в каждом из матроидов. Задача нахождения наибольшего набора или максимального взвешенного набора на пересечении двух матроидов может быть найдена за полиномиальное время и обеспечивает решение многих других важных задач комбинаторной оптимизации. Например, максимальное соответствие в двудольных графах может быть выражено как проблема пересечения двух матроидов разбиения . Однако нахождение наибольшего множества на пересечении трех или более матроидов является NP-полным .
Программное обеспечение Matroid
Две автономные системы для расчетов с матроидами - это Kingan's Oid и Hlineny's Macek . Оба они представляют собой пакеты с открытым исходным кодом. «Oid» - это интерактивная расширяемая программная система для экспериментов с матроидами. "Macek" - это специализированная программная система с инструментами и процедурами для достаточно эффективных комбинаторных вычислений с представимыми матроидами.
Обе математические программные системы с открытым исходным кодом SAGE и Macaulay2 содержат пакеты matroid.
Полиномиальные инварианты
С конечным матроидом M на основном множестве E связаны два особо значимых многочлена . Каждый из них является инвариантом матроидов , что означает, что изоморфные матроиды имеют один и тот же многочлен.
Характеристический полином
Характеристический полином из М (который иногда называют хроматическим многочленом , [31] , хотя это не считается красителей), определяется как
или эквивалентно (пока пустое множество замкнуто в M ) как
где μ обозначает функцию Мёбиуса от геометрической решетки в матроиде и сумма берется по всем квартирам А матроиды. [32]
Когда M - циклический матроид M ( G ) графа G , характеристический многочлен представляет собой небольшое преобразование хроматического многочлена , которое задается формулой χ G (λ) = λ c p M ( G ) (λ), где c это число компонент связности G .
Когда М представляет связь матроид M * ( G ) графа G , характеристический полином равен полином потока из G .
Когда M - матроид M ( A ) конфигурации A линейных гиперплоскостей в R n (или F n, где F - любое поле), характеристический многочлен этой конфигурации задается формулой p A (λ) = λ n - r ( M ) p M ( A ) (λ).
Бета-инвариант
Бета - инвариантный из матроиды, введенный Крапо (1967), может быть выражен в терминах характеристического полинома р в качестве оценки производной [33]
или прямо как [34]
Бета-инвариант неотрицателен и равен нулю тогда и только тогда, когда M отключен, или пуст, или цикл. В противном случае это зависит только от решетки квартир М . Если в M нет петель и колуп, то β ( M ) = β ( M ∗ ). [34]
Полином Тутте
Тутта многочлен из матроиды, Т М ( х , у ), обобщает характеристический полином для двух переменных. Это дает ему больше комбинаторных интерпретаций, а также придает ему свойство двойственности.
что влечет за собой ряд двойственности между свойствами M и свойствами M *. Одно определение полинома Тутте:
Это выражает полином Тутте как оценку нулевого коранга или порождающего полинома ранга , [35]
Из этого определения легко увидеть, что характеристический многочлен с точностью до простого множителя является оценкой T M , а именно:
Другое определение дано в терминах внутренней и внешней деятельности и суммы по базам, что отражает тот факт, что T (1,1) - это количество баз. [36] Это, суммирующее меньшее количество подмножеств, но с более сложными терминами, было первоначальным определением Тутте.
Существует еще одно определение рекурсии путем удаления и сокращения. [37] Идентичность удаления-сокращения
- когда не является ни петлей, ни колупом.
Инвариант матроидов (т. Е. Функция, которая принимает одно и то же значение на изоморфных матроидах), удовлетворяющий этой рекурсии и мультипликативному условию
называется инвариантом Тутте-Гротендика . [35] Полином Тутте является наиболее общим таким инвариантом; то есть многочлен Тутте является инвариантом Тутте-Гротендика, и каждый такой инвариант является вычислением многочлена Тутте. [31]
Тутта многочлен Т G графа является Тутта многочлен Т М ( G ) его матроиды цикла.
Бесконечные матроиды
Теория бесконечных матроидов намного сложнее, чем теория конечных матроидов, и составляет отдельную тему. В течение долгого времени одна из трудностей заключалась в том, что существовало множество разумных и полезных определений, ни одно из которых не отражало все важные аспекты теории конечных матроидов. Например, казалось трудным объединить основы, схемы и двойственность в одном понятии бесконечных матроидов.
Самым простым определением бесконечного матроида является требование конечного ранга ; то есть ранг E конечен. Эта теория похожа на теорию конечных матроидов, за исключением отказа двойственности из-за того факта, что двойственный к бесконечному матроиду конечного ранга не имеет конечного ранга. Матроиды конечного ранга включают любые подмножества конечномерных векторных пространств и полевых расширений конечной степени трансцендентности .
Следующее простейшее бесконечное обобщение - финитарные матроиды. Матроид финитен, если он обладает свойством
Эквивалентно, каждый зависимый набор содержит конечный зависимый набор. Примерами являются линейная зависимость произвольных подмножеств бесконечномерных векторных пространств (но не бесконечные зависимости, как в гильбертовом и банаховом пространствах ) и алгебраическая зависимость в произвольных подмножествах полевых расширений с возможно бесконечной степенью трансцендентности. Опять же, класс финитарного матроида не самодвойственный, потому что двойственный к финитарному матроиду не финитен. Конечные бесконечные матроиды изучаются в теории моделей , ветви математической логики, тесно связанной с алгеброй .
В конце 1960-х теоретики матроидов попросили дать более общее понятие, которое разделяет различные аспекты конечных матроидов и обобщает их двойственность. В ответ на этот вызов было определено множество понятий бесконечных матроидов, но вопрос остался открытым. Один из подходов, рассмотренных Д.А. Хиггсом, стал известен как B-матроиды и изучался Хиггсом, Оксли и другими в 1960-х и 1970-х годах. Согласно недавнему результату Bruhn, Diestel, Kriesell et al. ( 2013 ), это решает проблему: приходя к одному и тому же понятию независимо, они предоставили пять эквивалентных систем аксиом - с точки зрения независимости, базисов, схем, замыкания и ранга. Двойственность B-матроидов обобщает двойственности, наблюдаемые в бесконечных графах.
Аксиомы независимости следующие:
- Пустой набор независим.
- Каждое подмножество независимого набора является независимым.
- Для каждого немаксимального (при включении множества) независимого множества I и максимального независимого множества J существует такой, что независим.
- Для каждого подмножества X базового пространства, каждое независимое подмножество I из X может быть расширен до максимального независимого подмножества X .
Согласно этим аксиомам, у каждого матроида есть двойник.
История
Теория матроидов была введена Хасслером Уитни ( 1935 ). Его также независимо открыл Такео Накасава , работа которого была забыта на долгие годы ( Nishimura & Kuroda 2009 ).
В своей основополагающей статье Уитни представил две аксиомы независимости и определил любую структуру, придерживающуюся этих аксиом, как «матроиды». (Хотя это, возможно, подразумевалось, он не включил аксиому, требующую, чтобы хотя бы одно подмножество было независимым.) Его ключевое наблюдение заключалось в том, что эти аксиомы обеспечивают абстракцию «независимости», которая является общей для графов и матриц. Из-за этого многие термины, используемые в теории матроидов, напоминают термины для их аналогичных понятий в линейной алгебре или теории графов .
Почти сразу после того, как Уитни впервые написал о матроидах, Сондерс Мак Лейн ( 1936 ) написал важную статью о связи матроидов с проективной геометрией . Годом позже Б.Л. ван дер Варден ( 1937 ) отметил сходство между алгебраической и линейной зависимостью в своем классическом учебнике по современной алгебре.
В 1940-х Ричард Радо развил дальнейшую теорию под названием «системы независимости» с прицелом на трансверсальную теорию , где его название предмета до сих пор иногда используется.
В 1950-х У. Т. Тутте стал ведущей фигурой в теории матроидов, и эту позицию он удерживал на протяжении многих лет. Его вклады были многочисленны, в том числе описание бинарных , обычных и графических матроидов исключенными несовершеннолетними ; теорема о представимости регулярного матроида; теория цепных групп и их матроидов; и инструменты, которые он использовал для доказательства многих своих результатов, «Теорема о пути» и « Теорема о гомотопии Тутте » (см., например, Tutte 1965 ), которые настолько сложны, что более поздние теоретики приложили немало усилий, чтобы исключить необходимость использования их в доказательствах. (Прекрасным примером является короткое доказательство ( 1989 ), которое дал Тютте характеристике обычных матроидов AMH Gerards .)
Генри Крапо ( 1969 ) и Томас Брылавски ( 1972 ) обобщили на матроиды «дихромат» Тутте, графический многочлен, теперь известный как многочлен Тутте (названный Крапо). За их работой в последнее время (особенно в 2000-х) последовал поток статей - хотя и не так много, как о полиноме Тутте графа.
В 1976 году Доминик Уэлш опубликовал первую всеобъемлющую книгу по теории матроидов.
Теорема Пола Сеймура о разложении для обычных матроидов ( 1980 ) была самой значительной и влиятельной работой конца 1970-х и 1980-х годов. Другой фундаментальный вклад, сделанный Каном и Кунгом (1982) , показал, почему проективная геометрия и геометрия Даулинга играют такую важную роль в теории матроидов.
К этому времени появилось много других важных участников, но не следует упускать из виду расширение Джеффа Уиттла на тернарные матроиды описания Тутте бинарных матроидов, представимых над рациональными числами ( Whittle, 1995 ), что, возможно, является самым большим вкладом 1990-х годов. . В текущий период (примерно с 2000 г.) проект Matroid Minors Project Джима Гилена , Джерардса , Уиттла и других, который пытается дублировать для матроидов, которые могут быть представлены в конечном поле, успех проекта Robertson – Seymour Graph Minors (см. Robertson –Теорема Сеймура ), внесла существенный прогресс в структурную теорию матроидов. Многие другие также внесли свой вклад в ту часть теории матроидов, которая (в первом и втором десятилетии 21 века) процветает.
Исследователи
Среди математиков , пионеров в изучении матроидов, - Такео Накасава , [38] Сондерс Мак Лейн , Ричард Радо , В. Т. Тутте , Б.Л. ван дер Варден и Хасслер Уитни . Среди других основных участников - Джек Эдмондс , Джим Гилен , Юджин Лоулер , Ласло Ловас , Джан-Карло Рота , PD Сеймур и Доминик Уэлш .
Смотрите также
- Антиматроид
- Матроид Кокстера
- Ориентированный матроид
- Предгеометрия (теория моделей)
- Полиматроид
- Жадоид
Заметки
- ^ Нил, Дэвид Л .; Нойдауэр, Нэнси Энн (2009). «Матроиды, которые вы знали» (PDF) . Математический журнал . 82 (1): 26–41. DOI : 10.4169 / 193009809x469020 . Проверено 4 октября 2014 года .
- ^ Кашьяп, Навин; Солянин, Эмина; Вонтобель, Паскаль. "Приложения теории матроидов и комбинаторной оптимизации к теории информации и кодирования" (PDF) . www.birs.ca . Проверено 4 октября 2014 года .
- ^ Стандартным источником основных определений и результатов о матроидах является Oxley (1992). Более старый стандартный источник - валлийский (1976). См. Приложение Брылавски в книге White (1986), pp. 298–302, где приведен список эквивалентных систем аксиом.
- ^ a b c d e Валлийский (1976) , раздел 1.2, "Системы аксиом для матроида", стр. 7–9.
- ↑ Welsh (1976) , раздел 1.8, «Замкнутые множества = квартиры = подпространства», стр. 21–22.
- ^ a b Валлийский (1976) , раздел 2.2, «Гиперплоскости матроида», стр. 38–39.
- ^ а б в г Оксли 1992 , стр. 13
- ^ a b Оксли 1992 , стр. 115
- ^ a b Оксли 1992 , стр. 100
- Перейти ↑ Oxley, 1992 , pp. 46–48
- ^ 1987
- Перейти ↑ Oxley 1992 , p. 215
- Перейти ↑ Oxley 1992 , p. 216
- Перейти ↑ White 1986 , p. 32
- Перейти ↑ White 1986 , p. 105
- Перейти ↑ White 1986 , p. 131
- ^ а б Уайт 1986 , стр. 224
- Перейти ↑ White 1986 , p. 139
- Перейти ↑ White 1986 , p. 140
- Перейти ↑ White 1986 , p. 150
- ^ White 1986 , стр. 146-147
- ^ а б Уайт 1986 , стр. 130
- Перейти ↑ Oxley 1992 , p. 52
- Перейти ↑ Oxley 1992 , p. 347
- ^ a b Оксли 1992 , стр. 128
- Перейти ↑ White 1986 , p. 110
- ^ Заславский, Томас (1994). «Матроиды фреймов и смещенные графы». Евро. J. Comb . 15 (3): 303–307. DOI : 10.1006 / eujc.1994.1034 . ISSN 0195-6698 . Zbl 0797.05027 .
- Перейти ↑ Oxley 1992 , p. 26 год
- Перейти ↑ Oxley 1992 , p. 63
- Перейти ↑ Oxley 1992 , p. 64
- ^ a b Белый 1987 , стр. 127
- Перейти ↑ White 1987 , p. 120
- Перейти ↑ White 1987 , p. 123
- ^ a b Белый 1987 , стр. 124
- ^ a b Белый 1987 , стр. 126
- Перейти ↑ White 1992 , p. 188
- Перейти ↑ White 1986 , p. 260
- Перейти ↑ Nishimura & Kuroda (2009) .
Рекомендации
- Брун, Хеннинг; Дистель, Рейнхард; Кризелл, Матиас; Пендавинг, Руди; Воллан, Paul (2013), "Аксиома для бесконечных матроидов", Успехи математических наук , 239 : 18-46, Arxiv : 1003,3919 , DOI : 10.1016 / j.aim.2013.01.011 , MR 3045140 , S2CID 10436077.
- Брайант, Виктор; Совершенный, Хейзел (1980), Теория независимости в комбинаторике , Лондон и Нью-Йорк: Чепмен и Холл, ISBN 978-0-412-22430-0.
- Brylawski, Томас Х. (1972), "Разложение по комбинаторной геометрии", Труды Американского математического общества , 171 : 235-282, DOI : 10,2307 / 1996381 , JSTOR 1996381.
- Крапо, Генри Х. (1969), "О Tutte Полином", Aequationes Mathematicae , 3 (3): 211-229, DOI : 10.1007 / BF01817442 , S2CID 119602825.
- Крапо, Генри Х .; Рота, Джан-Карло (1970), Об основах комбинаторной теории: комбинаторные геометрии , Кембридж, Массачусетс: MIT Press, ISBN 978-0-262-53016-3, Руководство по ремонту 0290980.
- Гилен, Джим; Джерардс, AMH; Уиттл, Джефф (2007), "К теории структуры матроидов-минор", у Гримметта, Джеффри; и другие. (ред.), Комбинаторика, сложность и шанс: дань уважения Доминику Уэлшу , Оксфордская серия лекций по математике и ее приложениям, 34 , Oxford: Oxford University Press, стр. 72–82.
- Gerards, АМГ (1989), "Короткое доказательство характеристики TUTTE о совершенно унимодулярными матриц", Линейная алгебра и ее применения , 114/115: 207-212, DOI : 10.1016 / 0024-3795 (89) 90461-8.
- Кан, Джефф; Кунг, Джозеф PS (1982), "Разновидности комбинаторной геометрии", Труды Американского математического общества , 271 (2): 485-499, DOI : 10,2307 / 1998894 , JSTOR 1998894.
- Кинган, Роберт; Кинган, Сандра (2005), "Программная система для матроидов", Графы и открытие , Серия DIMACS по дискретной математике и теоретической информатике, стр. 287–296.
- Кунг, Джозеф П.С., изд. (1986), Справочник по теории матроидов , Бостон: Birkhäuser, DOI : 10.1007 / 978-1-4684-9199-9 , ISBN 978-0-8176-3173-4, Руководство по ремонту 0890330.
- Mac Lane, Saunders (1936), "Некоторые интерпретации абстрактной линейной зависимости с точки зрения проективной геометрии", Американский журнал математики , 58 (1): 236-240, DOI : 10,2307 / 2371070 , JSTOR 2371070.
- Минти, Джордж Дж. (1966), «Об аксиоматических основах теорий ориентированных линейных графов, электрических сетей и сетевого программирования», Журнал математики и механики , 15 : 485–520, MR 0188102.
- Нисимура, Хирокадзу; Курода, Сусуму, ред. (2009), Пропавший математик, Такео Накасава. Забытый отец теории матроидов , Базель: Birkhäuser Verlag, doi : 10.1007 / 978-3-7643-8573-6 , ISBN 978-3-7643-8572-9, Руководство по ремонту 2516551 , Zbl 1163.01001.
- Оксли, Джеймс (1992), Теория матроидов , Оксфорд: Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853563-8, Руководство по ремонту 1207587 , Zbl 0784.05002.
- Рекски, Андраш (1989), Теория матроидов и ее приложения в теории электрических сетей и в статике , алгоритмах и комбинаторике, 6 , Берлин и Будапешт: Springer-Verlag and Akademiai Kiado, doi : 10.1007 / 978-3-662-22143-3 , ISBN 978-3-540-15285-9, MR 1027839.
- Сапоженко, А.А. (2001) [1994], "Матроид" , Энциклопедия математики , EMS Press
- Seymour, Пол Д. (1980), "Разложение регулярных матроидов", Журнал комбинаторной теории, серии B , 28 (3): 305-359, DOI : 10,1016 / 0095-8956 (80) 90075-1 , ЛВП : 10338 .dmlcz / 101946 , Zbl 0443.05027.
- Truemper, Клаус (1992), Разложение Matroid , Бостон: Academic Press, ISBN 978-0-12-701225-4, Руководство по ремонту 1170126.
- Tutte, WT (1959), "Матроиды и графики", Труды Американского математического общества , 90 (3): 527-552, DOI : 10,2307 / 1993185 , JSTOR 1993185 , MR 0101527.
- Тутт, У. Т. (1965), «Лекции по матроидам», Журнал исследований Национального бюро стандартов, секция B , 69 : 1–47.
- Тутт, У. Т. (1971), Введение в теорию матроидов , Современные аналитические и вычислительные методы в науке и математике, 37 , Нью-Йорк: American Elsevier Publishing Company, Zbl 0231.05027.
- Vámos, Питер (1978), "Отсутствующий аксиомой теории матроидов теряется навсегда", журнал Лондонского математического общества , 18 (3): 403-408, DOI : 10.1112 / jlms / s2-18.3.403.
- ван дер Варден, Б. Л. (1937), Современная алгебра.
- Валлийский, DJA (1976), Теория матроидов , Монографии LMS, 8 , Academic Press, ISBN 978-0-12-744050-7, Zbl 0343,05002.
- Уайт, Нил, изд. (1986), Теория матроидов , Энциклопедия математики и ее приложений, 26 , Кембридж: Издательство Кембриджского университета, ISBN 978-0-521-30937-0, Zbl 0579,00001.
- Уайт, Нил, изд. (1987), комбинаторные геометрии , Энциклопедия математики и ее приложений, 29 , Кембридж: Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-33339-9, Zbl 0626,00007
- Уайт, Нил, изд. (1992), Приложения Matroid , Энциклопедия математики и ее приложений, 40 , Кембридж: Издательство Кембриджского университета, ISBN 978-0-521-38165-9, Zbl 0742,00052.
- Уитни, Хесслер (1935), "О абстрактных свойств линейной зависимости", Американский журнал математики , 57 (3): 509-533, DOI : 10,2307 / 2371182 , ЛВП : 10338.dmlcz / 100694 , JSTOR 2371182 , МР 1507091. Перепечатано в Kung (1986) , стр. 55–79.
- Уиттл, Джефф (1995), «Характеристика матроидов, представимых над GF (3), и рациональные числа» (PDF) , Журнал комбинаторной теории, серия B , 65 (2): 222–261, doi : 10.1006 / jctb. 1995.1052[ постоянная мертвая ссылка ] .
Внешние ссылки
- "Matroid" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
- Кинган, Сандра: Теория матроидов . Большая библиография статей о матроидах, программного обеспечения матроидов и ссылок.
- Локк, СК: Жадные алгоритмы .
- Пагано, Стивен Р.: Матроиды и подписанные графы .
- Марк Хубенталь: Краткий обзор Matroids ( PDF ) (содержат доказательства утверждений этой статьи)
- Джеймс Оксли: Что такое матроид? (PDF)
- Нил Уайт: Приложения для Matroid