В математике два объекта, особенно системы аксиом или семантики для них, называются криптоморфными, если они эквивалентны, но не очевидно эквивалентны. Это слово является игрой многих морфизмов в математике, но «криптоморфизм» очень отдаленно связан с « изоморфизмом », « гомоморфизмом » или «морфизмами». Эквивалентность может быть в некотором неформальном смысле или может быть формализована в терминах взаимно однозначности или эквивалентности категорий между математическими объектами, определяемыми двумя системами криптоморфных аксиом.
Этимология [ править ]
Это слово было придумано Гарретом Биркгофом до 1967 года для использования в третьем издании его книги « Теория решеток» . Биркгоф не дал ему формального определения, хотя с тех пор другие, работающие в этой области, предприняли некоторые попытки.
Использование в теории матроидов [ править ]
Его неформальный смысл был популяризирован (и значительно расширен) Джан-Карло Рота в контексте теории матроидов : существуют десятки эквивалентных аксиоматических подходов к матроидам, но две разные системы аксиом часто выглядят очень по-разному.
В своей книге 1997 года Indiscrete Thinkts Рота описывает ситуацию следующим образом:
Как и многие другие великие идеи, теория матроидов была изобретена одним из великих американских пионеров Хасслером Уитни . Его статья, которая до сих пор остается лучшим входом в эту тему, грубо раскрывает уникальную особенность этой области, а именно исключительное разнообразие криптоморфных определений матроидов, до стыда не связанных друг с другом и демонстрирующих совершенно разные математические родословные. Это как если бы все направления современной математики сведены в единую конечную структуру - подвиг, который любой априори счел бы невозможным, если бы не факт существования матроидов.
Хотя в математике существует множество криптоморфных концепций, помимо теории матроидов и универсальной алгебры , это слово не прижилось среди математиков в целом. Однако он довольно широко используется исследователями теории матроидов.
См. Также [ править ]
- Комбинаторный класс , эквивалентность комбинаторных задач перечисления, намекающая на существование криптоморфизма
Ссылки [ править ]
- Биркгоф, Г .: Теория решеток , 3-е издание. Публикации коллоквиума Американского математического общества, Vol. XXV. 1967 г.
- Крапо, Х. и Рота, Г.-К .: Об основах комбинаторной теории: комбинаторные геометрии. MIT Press, Кембридж, Массачусетс, 1970.
- Элкинс, Джеймс: Глава « Криптоморфы» в книге « Почему наши картинки-головоломки?»: «О современных истоках сложности изобразительного искусства» , 1999 г.
- Рота, Г.-К .: Непредвиденные мысли , Birkhäuser Boston, Inc., Бостон, Массачусетс. 1997 г.
- Уайт, Н., редактор: Теория матроидов , Энциклопедия математики и ее приложений, 26. Cambridge University Press, Кембридж. 1986 г.
