В геометрии конфигурация Гессе , введенная Колином Маклореном и изученная Гессе ( 1844 г. ) [1], представляет собой конфигурацию из 9 точек и 12 линий с тремя точками на линию и четырьмя линиями через каждую точку. Он может быть реализован в комплексной проективной плоскости как множество точек перегиба в качестве эллиптической кривой , но она не имеет реализации в евклидовой плоскости .
Описание
Конфигурация Гессе имеет те же отношения инцидентности, что и прямые и точки аффинной плоскости над полем из трех элементов . То есть точки конфигурации Гессе могут быть отождествлены с упорядоченными парами чисел по модулю 3, а линии конфигурации могут быть соответственно отождествлены с тройками точек ( x , y ), удовлетворяющими линейному уравнению ax + by = c ( мод 3) . В качестве альтернативы, точки конфигурации могут быть идентифицированы квадратами доски для игры в крестики-нолики , а линии могут быть идентифицированы линиями и пунктирными диагоналями доски.
Каждая точка принадлежит четырем линиям: в интерпретации конфигурации в стиле крестики-нолики одна линия является горизонтальной, одна вертикальной и две - диагоналями или ломаными диагоналями. Каждая строка содержит три точки, поэтому на языке конфигураций конфигурация Гессе имеет обозначение 9 4 12 3 .
Группа автоморфизмов конфигурации Гессе имеет порядок 216 и известна как группа Гессе .
Связанные конфигурации
Удаление любой одной точки и ее четырех падающих линий из конфигурации Гессе дает другую конфигурацию типа 8 3 8 3 , конфигурацию Мёбиуса – Кантора . [2] [3] [4]
В конфигурации Гессе 12 линий могут быть сгруппированы в четыре тройки параллельных (непересекающихся) линий. Удаление из конфигурации Гессе трех линий, принадлежащих одной тройке, дает конфигурацию типа 9 3 9 3 , конфигурацию Паппа . [3] [4]
Конфигурация Гессе, в свою очередь, может быть расширена путем добавления четырех точек, по одной для каждой тройки непересекающихся линий и одной линии, содержащей четыре новые точки, чтобы сформировать конфигурацию типа 13 4 13 4 , набор точек и линий проективная плоскость над полем из трех элементов.
Реализуемость
Конфигурации Hesse могут быть реализованы в комплексной проективной плоскости как 9 точек перегиба в качестве эллиптической кривой и 12 линий через троек точек перегиба. Если данный набор из девяти точек в комплексной плоскости является множество перегибов эллиптической кривой С , это также множество перегибов каждой кривой в карандаше кривых , генерируемых C и по гессенском кривой из C , в Hesse карандаш . [5]
Hessian многогранник является представлением конфигурации Гесса в комплексной плоскости.
Конфигурация Гессе разделяет с конфигурацией Мебиуса – Кантора свойство иметь комплексную реализацию, но не реализуемую точками и прямыми линиями на евклидовой плоскости . В конфигурации Гессе каждые две точки соединены линией конфигурации (определяющее свойство конфигураций Сильвестра – Галлаи ), и поэтому каждая линия, проходящая через две из ее точек, содержит третью точку. Но на евклидовой плоскости каждое конечное множество точек либо коллинеарно, либо включает пару точек, прямая которых не содержит никаких других точек этого множества; это теорема Сильвестра – Галлаи . Поскольку конфигурация Гессе не подчиняется теореме Сильвестра – Галлаи, она не имеет евклидовой реализации. Этот пример также показывает, что теорема Сильвестра – Галлаи не может быть обобщена на комплексную проективную плоскость. Однако в сложных пространствах конфигурация Гессе и все конфигурации Сильвестра – Галлаи должны лежать в двумерном плоском подпространстве. [6]
Рекомендации
- ↑ Hesse, O. (1844), «Uber die Elimination der Variabeln aus drei algebraischen Gleichungen vom zweiten Grade mit zwei Variabeln» (PDF) , Journal für die Reine und Angewandte Mathematik (на немецком языке), 28 : 68–96, doi : 10.1515 / crll.1844.28.68 , ISSN 0075-4102.
- ^ Долгачев, Игорь В. (2004), "Абстрактные конфигурации в алгебраической геометрии", Конференция Фано , Univ. Турин, Турин, стр. 423–462, arXiv : math.AG/0304258 , MR 2112585.
- ^ а б Косетер, HSM (1950), "Автодуальные конфигурации и регулярные графы", Бюллетень Американского математического общества , 56 (5): 413-455, DOI : 10,1090 / S0002-9904-1950-09407-5.
- ^ а б Cullinane, Стивен Х. (2011), Конфигурации и квадраты.
- ^ Артебани, Микела; Долгачев, Игорь (2009), " Пучок Гессе плоских кубических кривых", L'Enseignement Mathématique , 2e Série, 55 (3): 235–273, arXiv : math / 0611590 , doi : 10.4171 / lem / 55-3- 3 , Руководство по ремонту 2583779.
- ^ Элкис, Ноам ; Преториус, Лу М .; Свейнпол, Конрад Дж. (2006), «Теоремы Сильвестра – Галлаи для комплексных чисел и кватернионов», Дискретная и вычислительная геометрия , 35 (3): 361–373, arXiv : math / 0403023 , doi : 10.1007 / s00454-005-1226 -7 , Руководство по ремонту 2202107.