В математике сизигетический пучок или карандаш Гессе , названный в честь Отто Гессе , представляет собой пучок (одномерное семейство) кубических плоских эллиптических кривых в комплексной проективной плоскости , определяемый уравнением
Каждая кривая в семействе определяется парой значений параметров () (не оба равны нулю) и состоит из точек на плоскости, однородные координаты которых удовлетворяют уравнению для этих параметров. Умножение обоих а также одним и тем же скаляром не изменяет кривую, поэтому есть только одна степень свободы при выборе кривой из пучка, но двухпараметрическая форма, приведенная выше, позволяет либо или же (но не оба), чтобы они были установлены в ноль.
Каждая кривая в пучке проходит через девять точек комплексной проективной плоскости , однородные координаты которых представляют собой некоторую перестановку 0, –1 и кубический корень из единицы . Есть три корня из единицы и шесть перестановок на корень, что дает 18 вариантов для однородных координат каждой точки, но они эквивалентны в парах, дающих только девять точек. Семейство кубиков через эти девять точек образует карандаш Гессе. В более общем смысле, можно заменить комплексные числа любым полем, содержащим кубический корень из единицы, и определить пучок Гессе над этим полем как семейство кубик, проходящих через эти девять точек.
Девять общих точек карандаша Гессе - это точки перегиба каждой кубики в карандаше. Любая линия, которая проходит как минимум через две из этих девяти точек, проходит ровно через три из них; девять точек и двенадцать линий через тройки точек образуют конфигурацию Гессе .
Всякая эллиптическая кривая бирационально эквивалентна кривой пучка Гессе; это гессенская форма эллиптической кривой . Однако параметры () гессеновой формы может принадлежать полю расширения поля определения исходной кривой.
Рекомендации
- Артебани, Микела; Долгачев, Игорь (2009), " Пучок Гессе плоских кубических кривых", L'Enseignement Mathématique , 2e Série, 55 (3): 235–273, arXiv : math / 0611590 , doi : 10.4171 / lem / 55-3- 3 , ISSN 0013-8584 , MR 2583779
- Гроув, Чарльз Клейтон (1906), Сизигетический карандаш кубиков с новым геометрическим развитием его Гессенской группы , Балтимор, штат Мэриленд.