В геометрии , то конфигурация Мебиуса-Кантор является конфигурация , состоящая из восьми точек и восемь линий, с тремя точками на каждой линии и три линии через каждую точку. Это невозможно сделать точки и линии , имеющие эту картину числа случаев в евклидовой плоскости , но это возможно в комплексной проективной плоскости .
Координаты
Август Фердинанд Мёбиус ( 1828 ) спросил, существует ли пара многоугольников с p сторонами каждый, обладающих тем свойством, что вершины одного многоугольника лежат на прямых, проходящих через края другого многоугольника, и наоборот. Если это так, то вершины и ребра этих многоугольников образуют проективную конфигурацию . Длянет решения в евклидовой плоскости , но Селигман Кантор ( 1882 ) нашел пары многоугольников этого типа для обобщения задачи, в которой точки и ребра принадлежат комплексной проективной плоскости . То есть в решении Кантора координаты вершин многоугольника - комплексные числа . Кантора для, пара вписанных друг в друга четырехугольников в комплексной проективной плоскости, называется конфигурацией Мёбиуса – Кантора.
Гарольд Скотт Макдональд Кокстер ( 1950 ) предоставляет следующие простые комплексные проективные координаты для восьми точек конфигурации Мёбиуса – Кантора:
- (1,0,0), (0,0,1), (ω, −1, 1), (−1, 0, 1),
- (−1, ω 2 , 1), (1, ω, 0), (0,1,0), (0, −1,1),
где ω обозначает комплексный кубический корень из 1 .
Это вершины сложного многоугольника 3 {3} 3 с 8 вершинами и 8 3-ребрами. [1] Кокстер назвал его многоугольником Мебиуса – Кантора .
Абстрактный образец заболеваемости
Более абстрактно конфигурацию Мебиуса – Кантора можно описать как систему из восьми точек и восьми троек, каждая из которых принадлежит ровно трем из троек. С дополнительными условиями (естественными для точек и прямых), что никакая пара точек не принадлежит более чем одной тройке и что никакие две тройки не имеют более одной точки на пересечении, любые две системы этого типа эквивалентны при некоторой перестановке точек . То есть конфигурация Мёбиуса – Кантора является единственной проективной конфигурацией типа (8 3 8 3 ).
Граф Мёбиуса-Кантора получил свое название от графа Леви конфигурации Мёбиуса-Кантора. Он имеет одну вершину на точку и одну вершину на тройку, причем ребро соединяет две вершины, если они соответствуют точке и тройке, содержащей эту точку.
Точки и линии конфигурации Мёбиуса – Кантора можно описать как матроид , элементы которого являются точками конфигурации, а нетривиальные плоскости - линиями конфигурации. В этом матроиде набор точек S независим тогда и только тогда, когда либоили S состоит из трех неколлинеарных точек. Как матроид, он был назван матроидом Маклейна после работы Сондерса Маклейна ( Saunders MacLane, 1936 ), доказывающей, что он не может быть ориентирован ; это один из нескольких известных минорно-минимальных неориентируемых матроидов. [2]
Связанные конфигурации
Также представляет интерес решение проблемы Мёбиуса о взаимно вписанных многоугольниках для значений p больше четырех. В частности, одно возможное решение дляпредставляет собой конфигурацию Дезарга , набор из десяти точек и десяти линий, по три точки на линию и три линии на точку, которая допускает евклидову реализацию. Конфигурация Мёбиуса является трехмерным аналогом конфигурации Мёбиусово-Kantor , состоящей из двух взаимно вписанных тетраэдров.
Конфигурацию Мёбиуса – Кантора можно дополнить, добавив четыре линии через четыре пары точек, которые еще не соединены линиями, и добавив девятую точку на четырех новых линиях. Результирующая конфигурация, конфигурация Гессе , разделяет с конфигурацией Мёбиуса – Кантора свойство реализуемости с комплексными координатами, но не с реальными координатами. [3] Удаление любой точки из конфигурации Гессе создает копию конфигурации Мёбиуса – Кантора. Обе конфигурации также могут быть описаны алгебраически в терминах абелевой группы с девятью элементами. В этой группе четыре подгруппы третьего порядка (подмножества элементов вида, , , а также соответственно), каждый из которых может использоваться для разделения девяти элементов группы на три смежных класса по три элемента в каждом смежном классе. Эти девять элементов и двенадцать смежных классов образуют конфигурацию Гессе. Удаление нулевого элемента и четырех смежных классов, содержащих ноль, приводит к конфигурации Мёбиуса – Кантора.
Заметки
- ^ HSM Coxeter и GC Shephard , Портреты семейства сложных многогранников , Леонардо, Vol. 25, No. 3/4, Visual Mathematics: Special Double Issue (1992), pp. 239-244. [1]
- Перейти ↑ Ziegler (1991) .
- ↑ Долгачев (2004) .
Рекомендации
- Косетер, HSM (1950), "Автодуальные конфигурации и регулярные графы", Бюллетень Американского математического общества , 56 (5): 413-455, DOI : 10,1090 / S0002-9904-1950-09407-5 , MR 0038078.
- Долгачев, Игорь В. (2004), "Абстрактные конфигурации в алгебраической геометрии", Конференция Фано , Турин: Туринский университет, стр. 423–462, arXiv : math.AG/0304258 , MR 2112585.
- Кантор, Seligmann (1882 г.), "Убер умереть Configurationen (3, 3) мит ден Индексы 8, 9 унд Ihren Zusammenhang мит ден Curven dritter Ordnung", Sitzungsberichte дер Mathematisch-Naturwissenschaftlichen Классе дер Kaiserlichen Akademie дер Wissenschaften, Wien , 84 (1) : 915–932.
- Маклейна, Saunders (1936), "Некоторые интерпретации Аннотация Линейная зависимость в терминах проективной геометрии", Американский журнал математики , 58 (1): 236-240, DOI : 10,2307 / 2371070 , MR 1507146.
- Мёбиус, Август Фердинанд (1828), «Kann von zwei dreiseitigen Pyramiden eine jede in Bezug auf die andere um- und eingeschrieben zugleich heissen?» (PDF) , Journal für die reine und angewandte Mathematik , 3 : 273–278. В Gesammelte Werke (1886), т. 1. С. 439–446.
- Циглера, Гюнтер М. (1991), "Некоторые минимальные неориентируемые матроиды ранга три", Geometriae Dedicata , 38 (3): 365-371, DOI : 10.1007 / BF00181199 , МР 1112674.
Внешние ссылки
- Вайсштейн, Эрик В. «Конфигурация Мёбиуса-Кантора» . MathWorld .