В геометрии , то конфигурация Мёбиуса или Мёбиус тетрада определенная конфигурация в евклидове пространства или проективного пространстве, состоящая из двух взаимно вписанных тетраэдров : каждая вершина одного тетраэдра лежит на плоскости грани другого тетраэдра , и наоборот. Таким образом, для полученной системы из восьми точек и восьми плоскостей каждая точка лежит на четырех плоскостях (три плоскости определяют ее как вершину тетраэдра, а четвертая плоскость - от другого тетраэдра, на котором она лежит), и каждая плоскость содержит четыре плоскости. точек (три вершины тетраэдра его грани и вершина другого тетраэдра, лежащего на нем).
Теорема Мебиуса
Конфигурация названа в честь Августа Фердинанда Мёбиуса , который в 1828 году доказал, что если два тетраэдра обладают тем свойством, что семь их вершин лежат на соответствующих плоскостях граней другого тетраэдра, то восьмая вершина также лежит на плоскости соответствующей грани, формируя конфигурацию этого типа. Эта теорема инцидентности верна в более общем смысле в трехмерном проективном пространстве тогда и только тогда, когда теорема Паппа верна для этого пространства ( Райдемейстер , Шёнхардт ), и она верна для трехмерного пространства, смоделированного на теле, тогда и только тогда, когда кольцо удовлетворяет коммутативному закону и, следовательно, является полем (Аль-Захир). По проективной двойственности результат Мёбиуса эквивалентен утверждению, что если семь из восьми плоскостей граней двух тетраэдров содержат соответствующие вершины другого тетраэдра, то восьмая плоскость граней также содержит ту же вершину.
Строительство
Кокстер (1950) описывает простую конструкцию конфигурации. Начиная с произвольной точки p в евклидовом пространстве, пусть A , B , C и D будут четырьмя плоскостями, проходящими через p , никакие три из которых не имеют общей линии пересечения, и поместим шесть точек q , r , s , t , u , и v на шести прямых, образованных попарным пересечением этих плоскостей таким образом, что никакие четыре из этих точек не компланарны. Для каждой из плоскостей A , B , C и D четыре из семи точек p , q , r , s , t , u и v лежат на этой плоскости, а три не пересекаются с ней; образуют плоскости A ' , B' , C ' и D' через тройки точек, не пересекающихся с A , B , C и D соответственно. Тогда по двойственной форме теоремы Мёбиуса эти четыре новые плоскости пересекаются в одной точке w . Восемь точек p , q , r , s , t , u , v и w и восемь плоскостей A , B , C , D , A ' , B' , C ' и D' образуют пример конфигурации Мебиуса. .
Связанные конструкции
Гильберт и Кон-Фоссен (1952) утверждают (без ссылок), что существует пять конфигураций с восемью точками и восемью плоскостями с четырьмя точками на каждой плоскости и четырьмя плоскостями через каждую точку, которые могут быть реализованы в трехмерном евклидовом пространстве: такие конфигурации имеют стенографическая запись. Они должны были почерпнуть свою информацию из статьи Эрнста Стейница ( 1910 ). Фактически это утверждает, в зависимости от результатов П. Мута ( 1892 г. ), Г. Бауэра ( 1897 г. ) и В. Мартинетти ( 1897 г. ), что существует пятьконфигурации, обладающие тем свойством, что не более двух плоскостей имеют две общие точки, и вдвойне не более двух точек являются общими для двух плоскостей. (Это условие означает, что каждые три точки могут быть неколлинеарными и, соответственно, три плоскости могут не иметь общей линии.) Однако есть еще десять других.конфигурации, которые не имеют этого условия, и все пятнадцать конфигураций могут быть реализованы в реальном трехмерном пространстве. Представляют интерес конфигурации с двумя тетраэдрами, каждый вписывающий и описывающий другой, и именно они удовлетворяют вышеуказанному свойству. Таким образом, имеется пять конфигураций с тетраэдрами, и они соответствуют пяти классам сопряженности симметрической группы. Можно получить перестановку из четырех точек одного тетраэдра S = ABCD в себя следующим образом: каждая точка P из S находится на плоскости, содержащей три точки второго тетраэдра T. Это оставляет другую точку T, которая находится в трех точках. плоскости S, оставляя другую точку Q из S, и, таким образом, перестановка отображает P → Q. Пять классов сопряженности имеют представителей e, (12) (34), (12), (123), (1234) и, из них конфигурация Мебиуса соответствует классу сопряженности e. Его можно было обозначить как Ке. Стейниц утверждает, что если два дополнительных тетраэдра Ke являются, а также тогда восемь плоскостей даются с участием нечетные, в то время как четные суммы и их дополнения соответствуют всем парам дополнительных тетраэдров, которые входят и описываются в модели Ke.
Также утверждается, что Стейниц, что единственный то есть геометрическая теорема - это конфигурация Мёбиуса. Однако это оспаривается: Glynn (2010) показывает с помощью компьютерного поиска и доказывает, что существует ровно дваэто на самом деле «теоремы»: конфигурация Мёбиуса и еще одна. Последнее (которое соответствует классу сопряженности (12) (34) выше) также является теоремой для всех трехмерных проективных пространств над полем , но не над общим телом . Между этими двумя конфигурациями есть и другие близкие сходства, в том числе тот факт, что обе являются самодуальными в соответствии с двойственностью Matroid . Говоря абстрактно, последняя конфигурация имеет «точки» 0, ..., 7 и «плоскости» 0125 + i, (i = 0, ..., 7), где эти целые числа равны восьми по модулю. Эту конфигурацию, как и Мебиуса, можно также представить в виде двух тетраэдров, взаимно вписанных и описанных: в целочисленном представлении тетраэдры могут быть 0347 и 1256. Однако эти дваконфигурации неизоморфны, так как Мёбиус имеет четыре пары непересекающихся плоскостей, в то время как последняя не имеет непересекающихся плоскостей. По той же причине (и поскольку пары плоскостей являются вырожденными квадратичными поверхностями) конфигурация Мёбиуса находится на более квадратичных поверхностях трехмерного пространства, чем последняя конфигурация.
Граф Леви конфигурации Мебиуса имеет 16 вершин, по одной для каждой точки или плоскости конфигурации, с ребром для каждой падающей пары точка-плоскость. Он изоморфен графу гиперкуба Q 4 с 16 вершинами . Тесно связанная конфигурация, конфигурация Мебиуса – Кантора, образованная двумя взаимно вписанными четырехугольниками, имеет граф Мебиуса – Кантора , подграф Q 4 , в качестве графа Леви.
Рекомендации
- Аль-Захир, М.В. (1956), «Класс конфигураций и коммутативность умножения», The Mathematical Gazette , The Mathematical Association, 40 (334): 241–245, DOI : 10.2307 / 3609605 , JSTOR 3609605.
- Бауэр, Густав (1897), "Фон цвай Tetraëdern, Welche einander zugleich eingeschrieben унд umschrieben Синд" , Sitzungsberichte дер Königlich Bayerischen Akademie дер Wissenschaften, Математический-Physikalischen Классе (на немецком языке ), 27 (2): 359-366.
- Косетер, HSM (1950), "Автодуальные конфигурации и регулярные графы", Бюллетень Американского математического общества , 56 (5): 413-455, DOI : 10,1090 / S0002-9904-1950-09407-5 , MR 0038078.
- Глинн, DG (2010), «Теоремы точек и плоскостей в трехмерном проективном пространстве», журнал Австралийского математического общества , 88 : 75-92, DOI : 10,1017 / S1446788708080981.
- Гильберт, Дэвид ; Кон-Фоссен, Стефан (1952), Геометрия и воображение (2-е изд.), Челси, стр. 184, ISBN 0-8284-1087-9.
- Мартинетти, В. (1897), «Конфигурация (8 4 , 8 4 ) di punti e piani» , Giornale di Matematiche di Battaglini (на итальянском языке), 35 : 81–100.
- Мебиус, AF (1828), "Kann von zwei dreiseitigen Pyramiden eine jede in Bezug auf die andere um- und eingeschrieben zugleich heißen?" , Journal für die reine und angewandte Mathematik (на немецком языке), 3 : 273–278. В Gesammelte Werke (1886), т. 1. С. 439–446.
- Мут, П. (1892), «Ueber Tetraederpaare» , Zeitschrift für Mathematik und Physik (на немецком языке), 37 : 117–122.
- Рейдемейстер, К. (1929), "Zur Axiomatik der 3-Dimensional projektive Geometrie" , Aufgaben und Lösungen, Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung (на немецком языке), 38 : 71.
- Reidemeister, K. (1931), "Aufgabe 63 (gestellt in Jahresbericht DMV 38 (1929), 71 курс). Lösung von E. Schönhardt" , Aufgaben und Lösungen, Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung , 40 : 48–50.
- Стейниц, Эрнст (1910), "Konfigurationen der projektiven Geometrie. 6. Konfigurationen von Punkten und Ebenen", Enzyklopädie der Mathematischen Wissenschaften , 3-1-1 AB 5a: 492–494, doi : 10.1007 / 978-3-663-16027 -4_7.