Сложный многогранник

В геометрии , А комплекс многогранник является обобщением многогранника в реальном пространстве с аналогичной структурой в комплексном гильбертовом пространстве , где каждое измерение в режиме реального сопровождается воображаемой один.

Сложный многогранник можно понимать как совокупность сложных точек, линий, плоскостей и т. Д., Где каждая точка является соединением множества линий, каждая линия - множества плоскостей и т. Д.

Точные определения существуют только для правильных сложных многогранников , которые являются конфигурациями . Регулярные сложные многогранники полностью охарактеризованы и могут быть описаны с помощью символической записи, разработанной Кокстером .

Также были описаны некоторые сложные многогранники, которые не являются полностью регулярными.

Определения и введение [ править ]

Комплекс линия имеет одно измерение с реальными координатами , а другой с воображаемыми координатами. Говорят, что применение реальных координат к обоим измерениям дает два измерения по сравнению с действительными числами. Реальная плоскость, на которой обозначена воображаемая ось, называется диаграммой Аргана . Из-за этого его иногда называют комплексной плоскостью. Сложное 2-пространство (также иногда называемое комплексной плоскостью), таким образом, представляет собой четырехмерное пространство над реалами и так далее в более высоких измерениях. $\mathbb {C} ^{1}$

Комплекс п -многогранник в комплексном п -пространстве является аналог реального п - многогранник в реальном п -пространстве.

Не существует естественного комплексного аналога упорядочения точек на вещественной прямой (или связанных комбинаторных свойств). Из-за этого сложный многогранник нельзя рассматривать как смежную поверхность, и он не ограничивает внутреннюю часть так, как это делает реальный многогранник.

В случае правильных многогранников точное определение можно дать, используя понятие симметрии. Для любого регулярного многогранника группа симметрии (здесь комплексная группа отражений , называемая группой Шепарда ) действует транзитивно на флаги , то есть на вложенные последовательности точки, содержащейся в прямой, содержащейся в плоскости, и так далее.

Более полно, скажем, что набор P аффинных подпространств (или квартир ) комплексного унитарного пространства V размерности n является правильным комплексным многогранником, если он удовлетворяет следующим условиям: ^[1]^[2]

для любого $-1 \leq i < j < k \leq n$ , если $F$ - квартира в P размерности i и $H$ - квартира в P размерности k такая, что $F \subset H,$ то в P есть по крайней мере две квартиры G размерности j такой, что $F$ $\subset$ $G$ $\subset$ $H$ ;
для любых $i$ $,$ $j$ таких, что $-1 \leq$ $i$ $<$ $j$ $- 2,$ $j$ $\leq$ $n$ , если $F$ $\subset$ $G$ - квартиры P размерности i , j , то множество квартир между F и G связно в том смысле, что можно перейти от любого члена этого множества к любому другому с помощью последовательности включений; и
подмножество унитарных преобразований V , фиксирующих P , транзитивно на флагах $F$ $0$ $\subset$ $F$ $1$ $\subset\dots \subset$ $F$ $n$ плоскостей P (с $F$ $i$ размерности i для всех i ).

(Здесь под плоскостью размерности −1 понимается пустое множество.) Таким образом, по определению, правильные комплексные многогранники представляют собой конфигурации в комплексном унитарном пространстве.

В обычных сложных многогранниках были обнаружены Шепардом (1952), и теория получила дальнейшее развитие Кокстера (1974).

Три вида *правильного сложного многоугольника* ₄ {4} ₂ ,
Этот комплекс многоугольник имеет 8 ребер (комплексные линии), помечены как в .. ч , и 16 вершин. Четыре вершины лежат в каждом ребре, и два ребра пересекаются в каждой вершине. На левом изображении выделенные квадраты не являются элементами многогранника, а включены просто для того, чтобы помочь идентифицировать вершины, лежащие в одной и той же сложной линии. Восьмиугольный периметр левого изображения не является элементом многогранника, но представляет собой многоугольник Петри . ^[3] На среднем изображении каждое ребро представлено как действительная линия, и четыре вершины в каждой линии могут быть более отчетливо видны.	Перспективный эскиз, представляющий 16 вершин в виде больших черных точек и 8 четырехугольников в виде ограниченных квадратов внутри каждого края. Зеленый путь представляет собой восьмиугольный периметр левого изображения.

Комплексный многогранник существует в комплексном пространстве эквивалентной размерности. Например, вершины сложного многоугольника - это точки на комплексной плоскости , а ребра - это сложные линии, существующие как (аффинные) подпространства плоскости и пересекающиеся в вершинах. Таким образом, ребру можно задать систему координат, состоящую из одного комплексного числа. ^[^{требуется разъяснение}^] $\mathbb {C} ^{2}$ $\mathbb {C} ^{1}$

В правильном комплексном многограннике вершины, падающие на ребро, расположены симметрично относительно их центроида , который часто используется в качестве начала системы координат ребра (в реальном случае центроид - это просто середина ребра). Симметрия возникает из-за сложного отражения относительно центра тяжести; это отражение оставит величину любой вершины неизменной, но изменит ее аргумент на фиксированную величину, перемещая его в координаты следующей вершины по порядку. Таким образом, мы можем предположить (после подходящего выбора масштаба), что вершины на ребре удовлетворяют уравнению где p $x^{p}-1=0$ - количество инцидентных вершин. Таким образом, на диаграмме Аргана ребра вершины лежат в вершинах правильного многоугольника с центром в начале координат.

Выше показаны три вещественные проекции правильного комплексного многоугольника 4 {4} 2 с ребрами a, b, c, d, e, f, g, h . У него 16 вершин, которые для наглядности отдельно не отмечены. Каждое ребро имеет четыре вершины, и каждая вершина лежит на двух ребрах, следовательно, каждое ребро пересекает четыре других ребра. На первой диаграмме каждое ребро представлено квадратом. Стороны квадрата не являются частями многоугольника, а нарисованы исключительно для того, чтобы помочь визуально связать четыре вершины. Края выкладываем симметрично. (Обратите внимание , что диаграмма выглядит аналогично B 4 Кокстера плоскость проекции на тессеракте , но структурно отличается).

На средней диаграмме отсутствует восьмиугольная симметрия в пользу ясности. Каждое ребро показано как реальная линия, а каждая точка встречи двух линий является вершиной. Связь между различными краями очевидна.

Последняя диаграмма дает представление о структуре, спроецированной в трех измерениях: два куба вершин на самом деле имеют одинаковый размер, но видны в перспективе на разных расстояниях в четвертом измерении.

Регулярные сложные одномерные многогранники [ править ]

Сложные 1-многогранники, представленные на плоскости Аргана в виде правильных многоугольников для p = 2, 3, 4, 5 и 6 с черными вершинами. Центроид p вершин показан красным цветом. Стороны многоугольников представляют одно приложение генератора симметрии, сопоставляя каждую вершину со следующей копией против часовой стрелки. Эти полигональные стороны не краевые элементы многогранника, как комплекс 1-многогранник может не иметь края (часто это сложный край) и содержит только элементы вершин.

Реальный одномерный многогранник существует как замкнутый сегмент реальной прямой , определяемый двумя его конечными точками или вершинами на прямой. Его символ Шлефли - {}. $\mathbb {R} ^{1}$

Аналогично, комплексный 1-многогранник существует как набор из p вершин на комплексной прямой . Их можно представить как набор точек на диаграмме Аргана ( x , y ) = x + iy . Регулярный комплекс 1-мерный многогранник _р {} имеет р ( р ≥ 2) точки вершин , выполненный с возможностью образуют выпуклый правильный многоугольник { р } в плоскости Аргана. ^[4] $\mathbb {C} ^{1}$

В отличие от точек на реальной прямой, точки на сложной прямой не имеют естественного порядка. Таким образом, в отличие от реальных многогранников, внутренняя часть не может быть определена. ^[5] Несмотря на это, сложные 1-многогранники часто рисуются как ограниченный правильный многоугольник на плоскости Аргана.

Настоящая кромка создается как линия между точкой и ее отражающим изображением в зеркале. Унитарный порядок отражения 2 можно рассматривать как поворот на 180 градусов вокруг центра. Кромка неактивна, если точка образующей находится на отражающей линии или в центре.

Регулярно вещественный 1-мерный многогранник представлен пустой символ Шлефл {}, или Кокстер-Дынкина . Точка или узел диаграммы Кокстера-Дынкина сама представляет собой генератор отражения, в то время как круг вокруг узла означает, что точка генератора не находится на отражении, поэтому его отражающее изображение является точкой, отличной от самой себя. По расширению, регулярный комплексный одномерный многогранник в имеет диаграмму Кокстера-Дынкина $\mathbb {C} ^{1}$ , для любого положительного целого числа p , 2 или больше, содержащего p вершин. p можно подавить, если оно равно 2. Он также может быть представлен пустым символом Шлефли _p {},} _p {, {} _p или _p {2} ₁ . 1 - это обозначение-заполнитель, представляющее несуществующее отражение или генератор идентичности периода 1. (0-многогранник, действительный или комплексный, представляет собой точку и обозначается как} {или ₁ {2} _1. )

Симметрия обозначается диаграммой Кокстера , и в качестве альтернативы может быть описан в нотации Кокстера как _p [], [] _p или] _p [, _p [2] ₁ или _p [1] _p . Симметрия изоморфна циклической группе порядка p . ^[6] Подгруппами _p [] являются любые целые дивизоры d , _d [], где d ≥2.

Унитарный оператор генераторрассматривается как поворот на 2π / p радиан против часовой стрелки , акрай создается последовательным применением одного унитарного отражения. Генератор унитарного отражения для 1-многогранника с p вершинами равен $e$ $2π$ $i$ $/$ $p$ $= cos (2π /$ $p$ $) +$ $i$ $sin (2π /$ $p$ $)$ . Когда p = 2, генератор e ^πⁱ = –1, то же самое, что и точечное отражение в реальной плоскости.

В более сложных многогранниках 1-многогранники образуют р- ребра. 2-ребро похоже на обычное вещественное ребро тем, что оно содержит две вершины, но не обязательно на действительной прямой.

Правильные сложные многоугольники [ править ]

В то время как 1-многогранники могут иметь неограниченное число p , конечные правильные комплексные многоугольники, за исключением многоугольников двойной призмы _p {4} ₂ , ограничены элементами с 5 ребрами (пятиугольными ребрами), а бесконечные правильные апейрогоны также включают 6 ребер (шестиугольные ребра) элементы.

Обозначения [ править ]

Модифицированная нотация Шлефли Шепарда [ править ]

Первоначально Шепард разработал модифицированную форму записи Шлефли для правильных многогранников. Для многоугольника, ограниченного p ₁ -ребрами, с p ₂ -множеством в качестве фигуры вершины и общей группой симметрии порядка g , мы обозначим многоугольник как p ₁ ( g ) p ₂ .

Тогда количество вершин V равно g / p _2, а количество ребер E равно g / p ₁ .

Сложный многоугольник, показанный выше, имеет восемь квадратных ребер ( p ₁ = 4) и шестнадцать вершин ( p ₂ = 2). Отсюда мы можем вычислить, что g = 32, что дает модифицированный символ Шлефли 4 (32) 2.

Пересмотренная модифицированная нотация Шлефли Кокстера [ править ]

Более современные обозначения _{р ₁} { д } _{р ₂} связано с Кокстером , ^[7] и основана на теории групп. Как группа симметрии, ее символ - _{p ₁} [ q ] _{p ₂} .

Группа симметрии _{p ₁} [ q ] _{p ₂} представлена двумя образующими R ₁ , R ₂ , где: R ₁^{p ₁} = R ₂^{p ₂} = I. Если q четно, (R ₂ R ₁ ) ^{q / 2} = (R ₁ R ₂ ) ^{д / 2} . Если q нечетное, (R ₂ R ₁ ) ^{(q-1) / 2} R ₂ = (R ₁ R ₂ ) ^{( q-1) / 2} R ₁ . Когда q нечетное, p ₁ = p ₂ .

Для ₄ [4] ₂ имеет R ₁⁴ = R ₂² = I, (R ₂ R ₁ ) ² = (R ₁ R ₂ ) ² .

Для ₃ [5] ₃ имеет R ₁³ = R ₂³ = I, (R ₂ R ₁ ) ² R ₂ = (R ₁ R ₂ ) ² R ₁ .

Диаграммы Кокстера-Дынкина [ править ]

Кокстер также обобщил использование диаграмм Кокстера-Дынкина на сложные многогранники, например, сложный многоугольник _p { q } _r представлен следующим образом:а эквивалентная группа симметрии _p [ q ] _r является диаграммой без колец. Узлы p и r представляют собой зеркала, создающие p- и r- изображения на плоскости. Узлы без меток на диаграмме имеют неявные 2 метки. Например, настоящий правильный многоугольник - это ₂ { q } ₂ или { q } или.

Одно ограничение: узлы, соединенные нечетными порядками ветвлений, должны иметь одинаковые порядки узлов. В противном случае группа создаст "звездные" многоугольники с перекрывающимися элементами. Так и обычные, в то время как звездный.

12 неприводимых групп шепардов [ править ]

12 неприводимых групп Шепарда с их отношениями индексов подгрупп. ^[8] Подгруппы индекса 2 связаны удалением реального отражения:
_p [2 q ] ₂ -> _p [ q ] _p , index 2.
_p [4] _q -> _p [ q ] _p , index q .

_p [4]₂ подгруппы: p = 2,3,4 ...
_p [4]₂ -> [ p ], индекс p
_p [4]₂ ->_p [] ×_p [], индекс 2

Кокстер перечислил этот список правильных сложных многоугольников в . Правильный комплексный многоугольник, _p { q } _r или $\mathbb {C} ^{2}$ , имеет p -ребра и r -угольные вершинные фигуры . _p { q } _r - конечный многогранник, если ( p + r ) q > pr ( q -2).

Его симметрия записывается как _p [ q ] _r , называемая группой Шепарда , аналогичной группе Кокстера , но допускающей также унитарные отражения .

Для нестзвездных групп порядок группы _p [ q ] _r может быть вычислен как . ^[9] $g=8/q\cdot (1/p+2/q+1/r-1)^{-2}$

Число Кокстера для _p [ q ] _r равно , поэтому порядок групп также может быть вычислен как . Правильный комплексный многоугольник можно нарисовать в ортогональной проекции с h -угольной симметрией. $h=2/(1/p+2/q+1/r-1)$ $g=2h^{2}/q$

Решения ранга 2, которые генерируют сложные многоугольники:

Группа	G ₃ = G ( q , 1,1)	G ₂ = G ( p , 1,2)	G ₄	G ₆	G ₅	G ₈	G ₁₄	G ₉	G ₁₀	G ₂₀	G ₁₆	G ₂₁	G ₁₇	G ₁₈
	₂ [ q ] ₂ , q = 3,4 ...	_p [4]₂ , p = 2,3 ...	₃ [3] ₃	₃ [6] ₂	₃ [4] ₃	₄ [3] ₄	₃ [8] ₂	₄ [6] ₂	₄ [4] ₃	₃ [5] ₃	₅ [3] ₅	₃ [10] ₂	₅ [6] ₂	₅ [4] ₃

Заказ	2 кв.	2 п ²	24	48	72	96	144	192	288	360	600	720	1200	1800
час	q	2 шт.	6	12			24			30		60

Исключенные решения с нечетным q и неравными p и r : ₆ [3] ₂ , ₆ [3] ₃ , ₉ [3] ₃ , ₁₂ [3] ₃ , ..., ₅ [5] ₂ , ₆ [5] ₂ , ₈ [5] ₂ , ₉ [5] ₂ , ₄ [7] ₂ , ₉ [5] ₂ , ₃ [9] ₂ и ₃ [11] ₂.

Остальные целые q с неравными p и r создают звездные группы с перекрывающимися фундаментальными доменами:, , , , , и .

Двойственный многоугольник _p { q } _r - это _r { q } _p . Многоугольник вида _p { q } _p самодвойственный. Группы вида _p [2 q ] ₂ обладают полусимметрией _p [ q ] _p , поэтому правильный многоугольник то же самое, что и квазирегулярный . Кроме того, правильный многоугольник с тем же порядком узлов,, имеют альтернативную конструкцию, позволяя смежным краям быть двух разных цветов. ^[10]

Порядок групп, g , используется для вычисления общего количества вершин и ребер. У него будет g / r вершин и g / p ребер. Когда p = r , количество вершин и ребер равно. Это условие требуется, когда q нечетное.

Генераторы матриц [ править ]

Группа p [ q ] r ,, может быть представлена двумя матрицами: ^[11]


Имя	R ₁	R ₂
Заказ	п	р
Матрица	$\left[{\begin{smallmatrix}e^{2\pi i/p}&0\\(e^{2\pi i/p}-1)k&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&(e^{2\pi i/r}-1)k\\0&e^{2\pi i/r}\\\end{smallmatrix}}\right]$

С

k =

{\sqrt {\frac {cos({\frac {\pi }{p}}-{\frac {\pi }{r}})+cos({\frac {2\pi }{q}})}{2\sin {\frac {\pi }{p}}\sin {\frac {\pi }{r}}}}}

Примеры


Имя	R ₁	R ₂
Заказ	п	q
Матрица	$\left[{\begin{smallmatrix}e^{2\pi i/p}&0\\0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0\\0&e^{2\pi i/q}\\\end{smallmatrix}}\right]$


Имя	R ₁	R ₂
Заказ	п	2
Матрица	$\left[{\begin{smallmatrix}e^{2\pi i/p}&0\\0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&1\\1&0\\\end{smallmatrix}}\right]$


Имя	R ₁	R ₂
Заказ	3	3
Матрица	$\left[{\begin{smallmatrix}{\frac {-1+{\sqrt {3}}i}{2}}&0\\{\frac {-3+{\sqrt {3}}i}{2}}&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&{\frac {-3+{\sqrt {3}}i}{2}}\\0&{\frac {-1+{\sqrt {3}}i}{2}}\\\end{smallmatrix}}\right]$


Имя	R ₁	R ₂
Заказ	4	4
Матрица	$\left[{\begin{smallmatrix}i&0\\0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0\\0&i\\\end{smallmatrix}}\right]$


Имя	R ₁	R ₂
Заказ	4	2
Матрица	$\left[{\begin{smallmatrix}i&0\\0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&1\\1&0\\\end{smallmatrix}}\right]$


Имя	R ₁	R ₂
Заказ	3	2
Матрица	$\left[{\begin{smallmatrix}{\frac {-1+{\sqrt {3}}i}{2}}&0\\{\frac {-3+{\sqrt {3}}i}{2}}&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&-2\\0&-1\\\end{smallmatrix}}\right]$

Перечисление правильных сложных многоугольников [ править ]

Кокстер перечислил сложные многоугольники в Таблице III регулярных сложных многогранников. ^[12]

Группа	Заказ	Число Кокстера	Многоугольник		Вершины	Края		Примечания
G (q, q, 2) ₂ [ q ] ₂ = [ q ] q = 2,3,4, ...	2 кв.	q	₂ { q } ₂		q	q	{}	Реальные правильные многоугольники То же, что и Такой же как если q даже

Группа	Заказ	Число Кокстера	Многоугольник		Вершины	Края		Примечания
G ( p , 1,2) _p [4] ₂ p = 2,3,4, ...	2 п ²	2 шт.	п (2 п ² ) 2	_п {4}₂	п ²	2 шт.	_p {}	то же, что _p {} × _p {} или $\mathbb {R} ^{4}$ представление как p - p дуопризма
G ( p , 1,2) _p [4] ₂ p = 2,3,4, ...	2 п ²	2 шт.	2 (2 п ² ) п	₂ {4} _п.	2 шт.	п ²	{}	$\mathbb {R} ^{4}$ представление как p - p дуопирамида
G (2,1,2) ₂ [4] ₂ = [4]	8	4		₂ {4} ₂ = {4}	4	4	{}	то же, что {} × {} или Реальный квадрат
G (3,1,2) ₃ [4] ₂	18	6	6 (18) 2	₃ {4} ₂	9	6	₃ {}	то же, что ₃ {} × ₃ {} или $\mathbb {R} ^{4}$ представление в виде 3-3 дуопризмы
G (3,1,2) ₃ [4] ₂	18	6	2 (18) 3	₂ {4} ₃	6	9	{}	$\mathbb {R} ^{4}$ представление как 3-3 дуопирамиды
G (4,1,2) ₄ [4] ₂	32	8	8 (32) 2	₄ {4} ₂	16	8	₄ {}	то же, что ₄ {} × ₄ {} или $\mathbb {R} ^{4}$ представление в виде 4-4 дуопризмы или {4,3,3}
G (4,1,2) ₄ [4] ₂	32	8	2 (32) 4	₂ {4} ₄	8	16	{}	$\mathbb {R} ^{4}$ представление как 4-4 дуопирамиды или {3,3,4}
G (5,1,2) ₅ [4] ₂	50	25	5 (50) 2	₅ {4} ₂	25	10	₅ {}	то же, что ₅ {} × ₅ {} или $\mathbb {R} ^{4}$ представление в виде 5-5 дуопризмы
G (5,1,2) ₅ [4] ₂	50	25	2 (50) 5	₂ {4} ₅	10	25	{}	$\mathbb {R} ^{4}$ представление как 5-5 дуопирамид
G (6,1,2) ₆ [4] ₂	72	36	6 (72) 2	₆ {4} ₂	36	12	₆ {}	то же, что ₆ {} × ₆ {} или $\mathbb {R} ^{4}$ представление в виде 6-6 дуопризмы
G (6,1,2) ₆ [4] ₂	72	36	2 (72) 6	₂ {4} ₆	12	36	{}	$\mathbb {R} ^{4}$ представление в виде 6-6 дуопирамиды
G ₄ = G (1,1,2) ₃ [3] ₃ <2,3,3>	24	6	3 (24) 3	3 {3} 3	8	8	₃ {}	Конфигурация Мёбиуса – Кантора самодуальная, так же, как $\mathbb {R} ^{4}$ представление как {3,3,4}
G ₆ ₃ [6] ₂	48	12	3 (48) 2	₃ {6} ₂	24	16	₃ {}	такой же как
				₃ {3} ₂	24	16	₃ {}	звездный многоугольник
			2 (48) 3	₂ {6} ₃	16	24	{}
				₂ {3} ₃	16	24	{}	звездный многоугольник
G ₅ ₃ [4] ₃	72	12	3 (72) 3	₃ {4} ₃	24	24	₃ {}	самодвойственный, как $\mathbb {R} ^{4}$ представление как {3,4,3}
G ₈ ₄ [3] ₄	96	12	4 (96) 4	₄ {3} ₄	24	24	₄ {}	самодвойственный, как $\mathbb {R} ^{4}$ представление как {3,4,3}
G ₁₄ ₃ [8] ₂	144	24	3 (144) 2	₃ {8} ₂	72	48	₃ {}	такой же как
				₃ {8/3} ₂	72	48	₃ {}	звездный многоугольник, такой же, как
			2 (144) 3	₂ {8} ₃	48	72	{}
				₂ {8/3} ₃	48	72	{}	звездный многоугольник
G ₉ ₄ [6] ₂	192	24	4 (192) 2	₄ {6} ₂	96	48	₄ {}	такой же как
			2 (192) 4	₂ {6} ₄	48	96	{}
				₄ {3} ₂	96	48	{}	звездный многоугольник
				₂ {3} ₄	48	96	{}	звездный многоугольник
G ₁₀ ₄ [4] ₃	288	24	4 (288) 3	₄ {4} ₃	96	72	₄ {}
		12		₄ {8/3} ₃	96	72	₄ {}	звездный многоугольник
		24	3 (288) 4	₃ {4} ₄	72	96	₃ {}
		12		₃ {8/3} ₄	72	96	₃ {}	звездный многоугольник
G ₂₀ ₃ [5] ₃	360	30	3 (360) 3	₃ {5} ₃	120	120	₃ {}	самодвойственный, как $\mathbb {R} ^{4}$ представление как {3,3,5}
G ₂₀ ₃ [5] ₃	360	30		₃ {5/2} ₃	120	120	₃ {}	самодвойственный звездный многоугольник
G ₁₆ ₅ [3] ₅	600	30	5 (600) 5	₅ {3} ₅	120	120	₅ {}	самодвойственный, как $\mathbb {R} ^{4}$ представление как {3,3,5}
G ₁₆ ₅ [3] ₅	600	10		₅ {5/2} ₅	120	120	₅ {}	самодвойственный звездный многоугольник
G ₂₁ ₃ [10] ₂	720	60	3 (720) 2	₃ {10} ₂	360	240	₃ {}	такой же как
				₃ {5} ₂				звездный многоугольник
				₃ {10/3} ₂				звездный многоугольник, такой же, как
				₃ {5/2} ₂				звездный многоугольник
			2 (720) 3	₂ {10} ₃	240	360	{}
				₂ {5} ₃				звездный многоугольник
				₂ {10/3} ₃				звездный многоугольник
				₂ {5/2} ₃				звездный многоугольник
G ₁₇ ₅ [6] ₂	1200	60	5 (1200) 2	₅ {6} ₂	600	240	₅ {}	такой же как
		20		₅ {5} ₂				звездный многоугольник
		20		₅ {10/3} ₂				звездный многоугольник
		60		₅ {3} ₂				звездный многоугольник
		60	2 (1200) 5	₂ {6} ₅	240	600	{}
		20		₂ {5} ₅				звездный многоугольник
		20		₂ {10/3} ₅				звездный многоугольник
		60		₂ {3} ₅				звездный многоугольник
G ₁₈ ₅ [4] ₃	1800	60	5 (1800) 3	₅ {4} ₃	600	360	₅ {}
		15		₅ {10/3} ₃				звездный многоугольник
		30		₅ {3} ₃				звездный многоугольник
		30		₅ {5/2} ₃				звездный многоугольник
		60	3 (1800) 5	₃ {4} ₅	360	600	₃ {}
		15		₃ {10/3} ₅				звездный многоугольник
		30		₃ {3} ₅				звездный многоугольник
		30		₃ {5/2} ₅				звездный многоугольник

Визуализации правильных сложных многоугольников [ править ]

Многоугольники вида _p {2 r } _q можно визуализировать с помощью q цветовых наборов p- ребра. Каждый p- ребро выглядит как правильный многоугольник без граней.

2D ортогональные проекции сложных многоугольников ₂ { r } _q

Многоугольники вида ₂ {4} _q называются обобщенными ортоплексами . У них общие вершины с 4D q - q дуопирамидами , вершины соединены 2-ребрами.

₂ {4} ₂ ,, с 4 вершинами и 4 ребрами
₂ {4} ₃ ,, с 6 вершинами и 9 ребрами ^[13]
₂ {4} ₄ ,, с 8 вершинами и 16 ребрами
₂ {4} ₅ ,, с 10 вершинами и 25 ребрами
₂ {4} ₆ ,, с 12 вершинами и 36 ребрами
₂ {4} ₇ ,, с 14 вершинами и 49 ребрами
₂ {4} ₈ ,, с 16 вершинами и 64 ребрами
₂ {4} ₉ ,, с 18 вершинами и 81 ребром
₂ {4} ₁₀ ,, с 20 вершинами и 100 ребрами

Сложные многоугольники _p {4} ₂

Многоугольники вида _p {4} ₂ называются обобщенными гиперкубами (квадраты для многоугольников). У них общие вершины с 4D p - p дуопризмами , вершины соединены p-ребрами. Вершины отображаются зеленым цветом, а р- ребра - красным и синим цветом. Перспектива немного искажена для нечетных размеров, чтобы переместить перекрывающиеся вершины от центра.

₂ {4} ₂ , или же , с 4 вершинами и 4 2-ребрами
₃ {4} ₂ , или же , с 9 вершинами и 6 (треугольными) 3-ребрами ^[14]
₄ {4} ₂ , или же , с 16 вершинами и 8 (квадратными) 4-ребрами
₅ {4} ₂ , или же , с 25 вершинами и 10 (пятиугольными) 5-гранями
₆ {4} ₂ , или же , с 36 вершинами и 12 (шестиугольными) 6-гранями
₇ {4} ₂ , или же , с 49 вершинами и 14 (семиугольными) 7-гранями
₈ {4} ₂ , или же , с 64 вершинами и 16 (восьмиугольными) 8-гранями
₉ {4} ₂ , или же , с 81 вершиной и 18 (эннеугольными) 9-гранями
₁₀ {4} ₂ , или же , со 100 вершинами и 20 (десятиугольными) 10-гранями

Трехмерные перспективные проекции сложных многоугольников _p {4} ₂ . Двойные ₂ {4} _п.: видны добавлением вершин внутри ребер и добавлением ребер вместо вершин.

₃ {4} ₂ , или же с 9 вершинами, 6 3-ребрами в 2 наборах цветов
₂ {4} ₃ , с 6 вершинами, 9 ребрами в 3 наборах
₄ {4} ₂ , или же с 16 вершинами, 8 4-ребрами в 2 наборах цветов и 4-гранными квадратами с заливкой
₅ {4} ₂ , или же с 25 вершинами, 10 5-гранями в 2 наборах цветов

Другие сложные многоугольники _p { r } ₂

₃ {6} ₂ , или же , с 24 вершинами в черном цвете и 16 3-гранями, раскрашенными в 2 наборах 3-кромок в красный и синий ^[15]
₃ {8} ₂ , или же , с 72 вершинами в черном цвете и 48 3-гранями, окрашенными в 2 набора 3-граней в красный и синий ^[16]

2D ортогональные проекции сложных многоугольников, _p { r } _p

Многоугольники вида _p { r } _p имеют одинаковое количество вершин и ребер. Они также самодвойственны.

3 {3} 3 , или же , с 8 вершинами в черном цвете и 8 3-гранями, раскрашенными в 2 наборах 3-граней в красный и синий ^[17]
₃ {4} ₃ , или же , с 24 вершинами и 24 3-ребрами, показанными в 3 наборах цветов, один набор заполнен ^[18]
₄ {3} ₄ , или же , с 24 вершинами и 24 4-ребрами, показанными 4 наборами цветов ^[19]
₃ {5} ₃ , или же , со 120 вершинами и 120 3-ребрами ^[20]
₅ {3} ₅ , или же , со 120 вершинами и 120 5-ребрами ^[21]

Правильные сложные многогранники [ править ]

В общем, правильный комплексный многогранник представлен Кокстером как _p { z ₁ } _q {z ₂ } _r {z ₃ } _s … или диаграмма Кокстера…, Имеющий симметрию _p [ z ₁ ] _q [ z ₂ ] _r [ z ₃ ] _s … или…. ^[22]

Есть бесконечные семейства правильных комплексных многогранников, которые встречаются во всех измерениях, обобщая гиперкубы и кросс-многогранники в реальном пространстве. «Обобщенный ортотоп» Шепарда обобщает гиперкуб; он имеет символ, заданный γ^п
_п= _p {4} ₂ {3} ₂ … ₂ {3} ₂ и диаграмма…. Его группа симметрии имеет диаграмму _p [4] ₂ [3] ₂ … ₂ [3] ₂ ; в классификации Шепарда – Тодда это группа G ( p , 1, n ), обобщающая матрицы перестановок со знаком. Его двойственный правильный многогранник, «обобщенный кросс-многогранник», обозначается символом β^п
_п= ₂ {3} ₂ {3} ₂ … ₂ {4} _p и диаграмма…. ^[23]

Одномерный регулярный комплексный многогранник в представлен в виде $\mathbb {C} ^{1}$ , имеющий p вершин, с его действительным представлением в виде правильного многоугольника { p }. Кокстер также дает ему символ γ^п
₁ или β^п
₁как одномерный обобщенный гиперкуб или кросс-многогранник. Его симметрия _p [] или, циклическая группа порядка p . В более высоком многограннике _p {} илипредставляет собой элемент p- кромки с 2-гранью, {} или, представляющий собой обычное реальное ребро между двумя вершинами. ^[24]

Двойственный комплекс многогранник строится путем обмена K и ( п -1- К ) -элементов из п -многогранника. Например, у двойного сложного многоугольника вершины центрируются на каждом ребре, а новые ребра центрируются в старых вершинах. V -листность вершина создает новый V -Станка и е -ребру стать й -листностями вершины. ^[25] Двойственный регулярный комплексный многогранник имеет обратный символ. Правильные комплексные многогранники с симметричными символами, т. Е. _P { q } _p , _p { q } _r {q } _p , _p { q } _r { s } _r { q } _p и т. д. самодуальны .

Перечисление правильных комплексных многогранников [ править ]

Некоторые ранжируют 3 группы Шепарда с их групповыми порядками и отношениями рефлексивных подгрупп.

Кокстер перечислил этот список нестандартных правильных сложных многогранников , включая 5 платоновых тел в . ^[26] $\mathbb {C} ^{3}$ $\mathbb {R} ^{3}$

Правильный комплексный многогранник, _p { n ₁ } _q { n ₂ } _r или, имеет лица края и фигуры вершин .

Комплексный правильный многогранник _p { n ₁ } _q { n ₂ } _r требует, чтобы как g ₁ = order ( _p [ n ₁ ] _q ), так и g ₂ = order ( _q [ n ₂ ] _r ) были конечными.

Для g = order ( _p [ n ₁ ] _q [ n ₂ ] _r ) количество вершин равно g / g ₂ , а количество граней равно g / g ₁ . Количество ребер г / пр .

Космос	Группа	Заказ	Число Кокстера	Многоугольник	Вершины	Края		Лица		Фигура вершины	Многоугольник Ван Осса	Примечания
$\mathbb {R} ^{3}$	G (1,1,3) ₂ [3] ₂ [3] ₂ = [3,3]	24	4	α ₃ = ₂ {3} ₂ {3} ₂ = {3,3}	4	6	{}	4	{3}	{3}	никто	Реальный тетраэдр То же, что и
$\mathbb {R} ^{3}$	G ₂₃ ₂ [3] ₂ [5] ₂ = [3,5]	120	10	₂ {3} ₂ {5} ₂ = {3,5}	12	30	{}	20	{3}	{5}	никто	Настоящий икосаэдр
$\mathbb {R} ^{3}$	G ₂₃ ₂ [3] ₂ [5] ₂ = [3,5]	120	10	₂ {5} ₂ {3} ₂ = {5,3}	20	30	{}	12	{5}	{3}	никто	Настоящий додекаэдр
$\mathbb {R} ^{3}$	G (2,1,3) ₂ [3] ₂ [4] ₂ = [3,4]	48	6	β² ₃= β ₃ = {3,4}	6	12	{}	8	{3}	{4}	{4}	Действительный октаэдр То же, что {} + {} + {}, порядок 8 То же, что, заказ 24
$\mathbb {R} ^{3}$	G (2,1,3) ₂ [3] ₂ [4] ₂ = [3,4]	48	6	γ² ₃= γ ₃ = {4,3}	8	12	{}	6	{4}	{3}	никто	Реальный куб То же, что {} × {} × {} или
$\mathbb {C} ^{3}$	G (p, 1,3) ₂ [3] ₂ [4] _p p = 2,3,4, ...	6 п. ³	3 п.	β^стр. ₃= ₂ {3} ₂ {4} _п.	3 п.	3 п ²	{}	стр.³	{3}	₂ {4} _п.	₂ {4} _п.	Обобщенный октаэдр То же, что _p {} + _p {} + _p {}, порядок p ³ То же, что, заказ 6 п ²
$\mathbb {C} ^{3}$	G (p, 1,3) ₂ [3] ₂ [4] _p p = 2,3,4, ...	6 п. ³	3 п.	γ^стр. ₃= _p {4} ₂ {3} ₂	стр.³	3 п ²	_p {}	3 п.	_п {4}₂	{3}	никто	Обобщенный куб То же, что _p {} × _p {} × _p {} или
$\mathbb {C} ^{3}$	G (3,1,3) ₂ [3] ₂ [4] ₃	162	9	β³ ₃= ₂ {3} ₂ {4} ₃	9	27	{}	27	{3}	₂ {4} ₃	₂ {4} ₃	То же, что ₃ {} + ₃ {} + ₃ {}, порядок 27 То же, что, заказ 54
$\mathbb {C} ^{3}$	G (3,1,3) ₂ [3] ₂ [4] ₃	162	9	γ³ ₃= ₃ {4} ₂ {3} ₂	27	27	₃ {}	9	₃ {4} ₂	{3}	никто	То же, что ₃ {} × ₃ {} × ₃ {} или
$\mathbb {C} ^{3}$	G (4,1,3) ₂ [3] ₂ [4] ₄	384	12	β⁴ ₃= ₂ {3} ₂ {4} ₄	12	48	{}	64	{3}	₂ {4} ₄	₂ {4} ₄	То же, что ₄ {} + ₄ {} + ₄ {}, порядок 64 То же, что, заказ 96
$\mathbb {C} ^{3}$	G (4,1,3) ₂ [3] ₂ [4] ₄	384	12	γ⁴ ₃= ₄ {4} ₂ {3} ₂	64	48	₄ {}	12	₄ {4} ₂	{3}	никто	То же, что ₄ {} × ₄ {} × ₄ {} или
$\mathbb {C} ^{3}$	G (5,1,3) ₂ [3] ₂ [4] ₅	750	15	β⁵ ₃= ₂ {3} ₂ {4} ₅	15	75	{}	125	{3}	₂ {4} ₅	₂ {4} ₅	То же, что ₅ {} + ₅ {} + ₅ {}, порядок 125 То же, что, заказ 150
$\mathbb {C} ^{3}$	G (5,1,3) ₂ [3] ₂ [4] ₅	750	15	γ⁵ ₃= ₅ {4} ₂ {3} ₂	125	75	₅ {}	15	₅ {4} ₂	{3}	никто	То же, что ₅ {} × ₅ {} × ₅ {} или
$\mathbb {C} ^{3}$	G (6,1,3) ₂ [3] ₂ [4] ₆	1296	18	β⁶ ₃= ₂ {3} ₂ {4} ₆	36	108	{}	216	{3}	₂ {4} ₆	₂ {4} ₆	То же, что ₆ {} + ₆ {} + ₆ {}, порядок 216 То же, что, заказ 216
$\mathbb {C} ^{3}$	G (6,1,3) ₂ [3] ₂ [4] ₆	1296	18	γ⁶ ₃= ₆ {4} ₂ {3} ₂	216	108	₆ {}	18	₆ {4} ₂	{3}	никто	То же, что ₆ {} × ₆ {} × ₆ {} или
$\mathbb {C} ^{3}$	G ₂₅ ₃ [3] ₃ [3] ₃	648	9	₃ {3} ₃ {3} ₃	27	72	₃ {}	27	₃ {3} ₃	₃ {3} ₃	₃ {4} ₂	Такой же как . представление в виде 2 21 многогранника Гессе $\mathbb {R} ^{6}$
	G ₂₆ ₂ [4] ₃ [3] ₃	1296	18	₂ {4} ₃ {3} ₃	54	216	{}	72	₂ {4} ₃	₃ {3} ₃	{6}
	G ₂₆ ₂ [4] ₃ [3] ₃	1296	18	₃ {3} ₃ {4} ₂	72	216	₃ {}	54	₃ {3} ₃	₃ {4} ₂	₃ {4} ₃	Такой же как ^[27] представление как 1 22 $\mathbb {R} ^{6}$

Визуализации правильных сложных многогранников [ править ]

2D ортогональные проекции комплексных многогранников, _p { s } _t { r } _r

Реальный {3,3} , или же имеет 4 вершины, 6 ребер и 4 грани
3 {3} 3 {3} 3 , или же , имеет 27 вершин, 72 3-ребра и 27 граней, причем одна грань выделена синим цветом. ^[28]
₂ {4} ₃ {3} ₃ ,имеет 54 вершины, 216 простых ребер и 72 грани, одна из которых выделена синим цветом. ^[29]
3 {3} 3 {4} 2 , или же , имеет 72 вершины, 216 3-ребер и 54 вершины, причем одна грань выделена синим цветом. ^[30]

Обобщенные октаэдры

Обобщенные октаэдры имеют правильную конструкцию как и квазирегулярная форма как . Все элементы симплексы .

Реальный {3,4} , или же , с 6 вершинами, 12 ребрами и 8 гранями
₂ {3} ₂ {4} ₃ , или же , с 9 вершинами, 27 ребрами и 27 гранями
₂ {3} ₂ {4} ₄ , или же , с 12 вершинами, 48 ребрами и 64 гранями
₂ {3} ₂ {4} ₅ , или же , с 15 вершинами, 75 ребрами и 125 гранями
₂ {3} ₂ {4} ₆ , или же , с 18 вершинами, 108 ребрами и 216 гранями
₂ {3} ₂ {4} ₇ , или же , с 21 вершиной, 147 ребрами и 343 гранями
₂ {3} ₂ {4} ₈ , или же , с 24 вершинами, 192 ребрами и 512 гранями
₂ {3} ₂ {4} ₉ , или же , с 27 вершинами, 243 ребрами и 729 гранями
₂ {3} ₂ {4} ₁₀ , или же , с 30 вершинами, 300 ребрами и 1000 гранями

Обобщенные кубы

Обобщенные кубы имеют правильную конструкцию как и призматическая конструкция как , произведение трех p -угольных 1-многогранников. Элементы - это обобщенные кубы более низкой размерности.

Реальный {4,3} , или же имеет 8 вершин, 12 ребер и 6 граней
₃ {4} ₂ {3} ₂ , или же имеет 27 вершин, 27 3-ребер и 9 граней ^[31]
₄ {4} ₂ {3} ₂ , или же , с 64 вершинами, 48 ребрами и 12 гранями
₅ {4} ₂ {3} ₂ , или же , со 125 вершинами, 75 ребрами и 15 гранями
₆ {4} ₂ {3} ₂ , или же , с 216 вершинами, 108 ребрами и 18 гранями
₇ {4} ₂ {3} ₂ , или же , с 343 вершинами, 147 ребрами и 21 гранью
₈ {4} ₂ {3} ₂ , или же , с 512 вершинами, 192 ребрами и 24 гранями
₉ {4} ₂ {3} ₂ , или же , с 729 вершинами, 243 ребрами и 27 гранями
₁₀ {4} ₂ {3} ₂ , или же , с 1000 вершинами, 300 ребрами и 30 гранями

Перечисление правильных комплексных 4-многогранников [ править ]

Кокстер перечислил этот список нестандартных правильных комплексных 4-многогранников в , включая 6 выпуклых правильных 4-многогранников в . ^[32] $\mathbb {C} ^{4}$ $\mathbb {R} ^{4}$

Космос	Группа	Заказ	Число Кокстера	Многогранник	Вершины	Края	Лица	Клетки	Многоугольник Ван Осса	Примечания
$\mathbb {R} ^{4}$	G (1,1,4) ₂ [3] ₂ [3] ₂ [3] ₂ = [3,3,3]	120	5	α ₄ = ₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂ = {3,3,3}	5	10 {}	10 {3}	5 {3,3}	никто	Реальный 5-элементный (симплекс)
$\mathbb {R} ^{4}$	G ₂₈ ₂ [3] ₂ [4] ₂ [3] ₂ = [3,4,3]	1152	12	₂ {3} ₂ {4} ₂ {3} ₂ = {3,4,3}	24	96 {}	96 {3}	24 {3,4}	{6}	Настоящая 24-ячеечная
	G ₃₀ ₂ [3] ₂ [3] ₂ [5] ₂ = [3,3,5]	14400	30	₂ {3} ₂ {3} ₂ {5} ₂ = {3,3,5}	120	720 {}	1200 {3}	600 {3,3}	{10}	Настоящая 600-ячеечная
	G ₃₀ ₂ [3] ₂ [3] ₂ [5] ₂ = [3,3,5]	14400	30	₂ {5} ₂ {3} ₂ {3} ₂ = {5,3,3}	600	1200 {}	720 {5}	120 {5,3}	{10}	Настоящая 120-ячеечная
$\mathbb {R} ^{4}$	G (2,1,4) ₂ [3] ₂ [3] ₂ [4] _p = [3,3,4]	384	8	β² ₄= β ₄ = {3,3,4}	8	24 {}	32 {3}	16 {3,3}	{4}	Реальный 16-элементный То же, что и, заказ 192
$\mathbb {R} ^{4}$	G (2,1,4) ₂ [3] ₂ [3] ₂ [4] _p = [3,3,4]	384	8	γ² ₄= γ ₄ = {4,3,3}	16	32 {}	24 {4}	8 {4,3}	никто	Реальный тессеракт То же, что {} ⁴ или, заказ 16
$\mathbb {C} ^{4}$	G (p, 1,4) ₂ [3] ₂ [3] ₂ [4] _p p = 2,3,4, ...	24 п. ⁴	4 шт.	β^стр ₄= ₂ {3} ₂ {3} ₂ {4} _п.	4 шт.	6 п. ² {}	4 п. ³ {3}	стр. ⁴ {3,3}	₂ {4} _п.	Обобщенный 4- ортоплекс То же, что и, заказ 24 п ³
$\mathbb {C} ^{4}$	G (p, 1,4) ₂ [3] ₂ [3] ₂ [4] _p p = 2,3,4, ...	24 п. ⁴	4 шт.	γ^стр ₄= _p {4} ₂ {3} ₂ {3} ₂	стр⁴	4 п. ³ _п. {}	6 п. ² _п. {4} ₂	4 р _р {4} ₂ {3} ₂	никто	Обобщенный тессеракт То же, что и _p {} ⁴ или, заказ p ⁴
$\mathbb {C} ^{4}$	G (3,1,4) ₂ [3] ₂ [3] ₂ [4] ₃	1944 г.	12	β³ ₄= ₂ {3} ₂ {3} ₂ {4} ₃	12	54 {}	108 {3}	81 {3,3}	₂ {4} ₃	Обобщенный 4- ортоплекс То же, что и, заказ 648
$\mathbb {C} ^{4}$	G (3,1,4) ₂ [3] ₂ [3] ₂ [4] ₃	1944 г.	12	γ³ ₄= ₃ {4} ₂ {3} ₂ {3} ₂	81 год	108 ₃ {}	54 ₃ {4} ₂	12 ₃ {4} ₂ {3} ₂	никто	То же, что и ₃ {} ⁴ или, заказ 81
$\mathbb {C} ^{4}$	G (4,1,4) ₂ [3] ₂ [3] ₂ [4] ₄	6144	16	β⁴ ₄= ₂ {3} ₂ {3} ₂ {4} ₄	16	96 {}	256 {3}	64 {3,3}	₂ {4} ₄	Такой же как , заказ 1536
$\mathbb {C} ^{4}$	G (4,1,4) ₂ [3] ₂ [3] ₂ [4] ₄	6144	16	γ⁴ ₄= ₄ {4} ₂ {3} ₂ {3} ₂	256	256 ₄ {}	96 ₄ {4} ₂	16 ₄ {4} ₂ {3} ₂	никто	То же, что ₄ {} ⁴ или, заказ 256
$\mathbb {C} ^{4}$	G (5,1,4) ₂ [3] ₂ [3] ₂ [4] ₅	15000	20	β⁵ ₄= ₂ {3} ₂ {3} ₂ {4} ₅	20	150 {}	500 {3}	625 {3,3}	₂ {4} ₅	Такой же как , заказ 3000
$\mathbb {C} ^{4}$	G (5,1,4) ₂ [3] ₂ [3] ₂ [4] ₅	15000	20	γ⁵ ₄= ₅ {4} ₂ {3} ₂ {3} ₂	625	500 ₅ {}	150 ₅ {4} ₂	20 ₅ {4} ₂ {3} ₂	никто	То же, что ₅ {} ⁴ или, заказ 625
$\mathbb {C} ^{4}$	G (6,1,4) ₂ [3] ₂ [3] ₂ [4] ₆	31104	24	β⁶ ₄= ₂ {3} ₂ {3} ₂ {4} ₆	24	216 {}	864 {3}	1296 {3,3}	₂ {4} ₆	Такой же как , заказ 5184
$\mathbb {C} ^{4}$	G (6,1,4) ₂ [3] ₂ [3] ₂ [4] ₆	31104	24	γ⁶ ₄= ₆ {4} ₂ {3} ₂ {3} ₂	1296	864 ₆ {}	216 ₆ {4} ₂	24 ₆ {4} ₂ {3} ₂	никто	То же, что и ₆ {} ⁴ или, заказ 1296
$\mathbb {C} ^{4}$	G ₃₂ ₃ [3] ₃ [3] ₃ [3] ₃	155520	30	₃ {3} ₃ {3} ₃ {3} ₃	240	2160 ₃ {}	2160 ₃ {3} ₃	240 ₃ {3} ₃ {3} ₃	₃ {4} ₃	Представление многогранника Виттинга в виде 4 21 $\mathbb {R} ^{8}$

Визуализации правильных сложных 4-многогранников [ править ]

Реальный {3,3,3} ,, имел 5 вершин, 10 ребер, 10 {3} граней и 5 {3,3} ячеек
Реальный {3,4,3} ,, имел 24 вершины, 96 ребер, 96 {3} граней и 24 {3,4} ячейки
Реальный {5,3,3} ,, имел 600 вершин, 1200 ребер, 720 {5} граней и 120 {5,3} ячеек.
Реальный {3,3,5} ,, имел 120 вершин, 720 ребер, 1200 {3} граней и 600 {3,3} ячеек.
Многогранник Виттинга ,, имеет 240 вершин, 2160 3-ребер, 2160 3 {3} 3 грани и 240 3 {3} 3 {3} 3 ячейки

Обобщенные 4-ортоплексы

Обобщенные 4-ортоплексы имеют правильную конструкцию: и квазирегулярная форма как . Все элементы симплексы .

Реальный {3,3,4} , или же , с 8 вершинами, 24 ребрами, 32 гранями и 16 ячейками
₂ {3} ₂ {3} ₂ {4} ₃ , или же , с 12 вершинами, 54 ребрами, 108 гранями и 81 ячейкой
₂ {3} ₂ {3} ₂ {4} ₄ , или же , с 16 вершинами, 96 ребрами, 256 гранями и 256 ячейками
₂ {3} ₂ {3} ₂ {4} ₅ , или же , с 20 вершинами, 150 ребрами, 500 гранями и 625 ячейками
₂ {3} ₂ {3} ₂ {4} ₆ , или же , с 24 вершинами, 216 ребрами, 864 гранями и 1296 ячейками
₂ {3} ₂ {3} ₂ {4} ₇ , или же , с 28 вершинами, 294 ребрами, 1372 гранями и 2401 ячейкой
₂ {3} ₂ {3} ₂ {4} ₈ , или же , с 32 вершинами, 384 ребрами, 2048 гранями и 4096 ячейками
₂ {3} ₂ {3} ₂ {4} ₉ , или же , с 36 вершинами, 486 ребрами, 2916 гранями и 6561 ячейкой
₂ {3} ₂ {3} ₂ {4} ₁₀ , или же , с 40 вершинами, 600 ребрами, 4000 граней и 10000 ячеек

Обобщенные 4-кубы

Обобщенные тессеракты имеют правильную конструкцию: и призматическая конструкция как , произведение четырех p -угольных 1-многогранников. Элементы - это обобщенные кубы более низкой размерности.

Реальный {4,3,3} , или же , с 16 вершинами, 32 ребрами, 24 гранями и 8 ячейками
₃ {4} ₂ {3} ₂ {3} ₂ , или же , с 81 вершиной, 108 ребрами, 54 гранями и 12 ячейками
₄ {4} ₂ {3} ₂ {3} ₂ , или же , с 256 вершинами, 96 ребрами, 96 гранями и 16 ячейками
₅ {4} ₂ {3} ₂ {3} ₂ , или же , с 625 вершинами, 500 ребрами, 150 гранями и 20 ячейками
₆ {4} ₂ {3} ₂ {3} ₂ , или же , с 1296 вершинами, 864 ребрами, 216 гранями и 24 ячейками
₇ {4} ₂ {3} ₂ {3} ₂ , или же , с 2401 вершиной, 1372 ребрами, 294 гранями и 28 ячейками
₈ {4} ₂ {3} ₂ {3} ₂ , или же , с 4096 вершинами, 2048 ребрами, 384 гранями и 32 ячейками
₉ {4} ₂ {3} ₂ {3} ₂ , или же , с 6561 вершиной, 2916 ребрами, 486 гранями и 36 ячейками
₁₀ {4} ₂ {3} ₂ {3} ₂ , или же , с 10000 вершинами, 4000 ребер, 600 граней и 40 ячеек

Перечисление правильных комплексных 5-многогранников [ править ]

Правильные комплексные 5-многогранники в или выше существуют в трех семействах: вещественных симплексах и обобщенном гиперкубе и ортоплексе . $\mathbb {C} ^{5}$

Космос	Группа	Заказ	Многогранник	Вершины	Края	Лица	Клетки	4-гранный	Многоугольник Ван Осса	Примечания
$\mathbb {R} ^{5}$	G (1,1,5) = [3,3,3,3]	720	α ₅ = {3,3,3,3}	6	15 {}	20 {3}	15 {3,3}	6 {3,3,3}	никто	Реальный 5-симплекс
$\mathbb {R} ^{5}$	G (2,1,5) = [3,3,3,4]	3840	β² ₅= β ₅ = {3,3,3,4}	10	40 {}	80 {3}	80 {3,3}	32 {3,3,3}	{4}	Реальный 5-ортоплекс То же, что и, заказ 1920
$\mathbb {R} ^{5}$	G (2,1,5) = [3,3,3,4]	3840	γ² ₅= γ ₅ = {4,3,3,3}	32	80 {}	80 {4}	40 {4,3}	10 {4,3,3}	никто	Реальный 5-кубик То же, что и {} ⁵ или, заказ 32
$\mathbb {C} ^{5}$	G (p, 1,5) ₂ [3] ₂ [3] ₂ [3] ₂ [4] _p	120 п. ⁵	β^стр. ₅= ₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {4} _п.	5 шт.	10 п. ² {}	10 п. ³ {3}	5 стр. ⁴ {3,3}	стр. ⁵ {3,3,3}	₂ {4} _п.	Обобщенный 5-ортоплекс То же, что и, заказ 120 п ⁴
$\mathbb {C} ^{5}$	G (p, 1,5) ₂ [3] ₂ [3] ₂ [3] ₂ [4] _p	120 п. ⁵	γ^стр. ₅= _p {4} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂	стр.⁵	5 п. ⁴ _п. {}	10 п. ³ _п. {4} ₂	10 п. ² _п. {4} ₂ {3} ₂	5 р _р {4} ₂ {3} ₂ {3} ₂	никто	Обобщенный 5-куб То же, что и _p {} ⁵ или, заказ p ⁵
$\mathbb {C} ^{5}$	G (3,1,5) ₂ [3] ₂ [3] ₂ [3] ₂ [4] ₃	29160	β³ ₅= ₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {4} ₃	15	90 {}	270 {3}	405 {3,3}	243 {3,3,3}	₂ {4} ₃	Такой же как , заказ 9720
$\mathbb {C} ^{5}$	G (3,1,5) ₂ [3] ₂ [3] ₂ [3] ₂ [4] ₃	29160	γ³ ₅= ₃ {4} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂	243	405 ₃ {}	270 ₃ {4} ₂	90 ₃ {4} ₂ {3} ₂	15 ₃ {4} ₂ {3} ₂ {3} ₂	никто	То же, что и ₃ {} ⁵ или, заказ 243
$\mathbb {C} ^{5}$	G (4,1,5) ₂ [3] ₂ [3] ₂ [3] ₂ [4] ₄	122880	β⁴ ₅= ₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {4} ₄	20	160 {}	640 {3}	1280 {3,3}	1024 {3,3,3}	₂ {4} ₄	Такой же как , заказ 30720
$\mathbb {C} ^{5}$	G (4,1,5) ₂ [3] ₂ [3] ₂ [3] ₂ [4] ₄	122880	γ⁴ ₅= ₄ {4} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂	1024	1280 ₄ {}	640 ₄ {4} ₂	160 ₄ {4} ₂ {3} ₂	20 ₄ {4} ₂ {3} ₂ {3} ₂	никто	То же, что ₄ {} ⁵ или, заказ 1024
$\mathbb {C} ^{5}$	G (5,1,5) ₂ [3] ₂ [3] ₂ [3] ₂ [4] ₅	375000	β⁵ ₅= ₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {5} ₅	25	250 {}	1250 {3}	3125 {3,3}	3125 {3,3,3}	₂ {5} ₅	Такой же как , заказ 75000
$\mathbb {C} ^{5}$	G (5,1,5) ₂ [3] ₂ [3] ₂ [3] ₂ [4] ₅	375000	γ⁵ ₅= ₅ {4} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂	3125	3125 ₅ {}	1250 ₅ {5} ₂	250 ₅ {5} ₂ {3} ₂	25 ₅ {4} ₂ {3} ₂ {3} ₂	никто	То же, что ₅ {} ⁵ или, заказ 3125
$\mathbb {C} ^{5}$	G (6,1,5) ₂ [3] ₂ [3] ₂ [3] ₂ [4] ₆	933210	β⁶ ₅= ₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {4} ₆	30	360 {}	2160 {3}	6480 {3,3}	7776 {3,3,3}	₂ {4} ₆	Такой же как , заказ 155520
$\mathbb {C} ^{5}$	G (6,1,5) ₂ [3] ₂ [3] ₂ [3] ₂ [4] ₆	933210	γ⁶ ₅= ₆ {4} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂	7776	6480 ₆ {}	2160 ₆ {4} ₂	360 ₆ {4} ₂ {3} ₂	30 ₆ {4} ₂ {3} ₂ {3} ₂	никто	То же, что и ₆ {} ⁵ или, заказ 7776

Визуализации правильных сложных 5-многогранников [ править ]

Обобщенные 5-ортоплексы

Обобщенные 5-ортоплексы имеют правильную конструкцию: и квазирегулярная форма как . Все элементы симплексы .

Реальный {3,3,3,4} ,, с 10 вершинами, 40 ребрами, 80 гранями, 80 ячейками и 32 4-гранями
₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {4} ₃ ,, с 15 вершинами, 90 ребрами, 270 гранями, 405 ячейками и 243 4-гранями
₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {4} ₄ ,, с 20 вершинами, 160 ребрами, 640 гранями, 1280 ячейками и 1024 4-гранями
₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {4} ₅ ,, с 25 вершинами, 250 ребрами, 1250 гранями, 3125 ячейками и 3125 4-гранями
₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {4} ₆ ,, с 30 вершинами, 360 ребрами, 2160 гранями, 6480 ячейками, 7776 4-гранями
₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {4} ₇ ,, с 35 вершинами, 490 ребрами, 3430 гранями, 12005 ячеек, 16807 4-гранями
₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {4} ₈ ,, с 40 вершинами, 640 ребрами, 5120 гранями, 20480 ячеек, 32768 4-гранями
₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {4} ₉ ,, с 45 вершинами, 810 ребрами, 7290 гранями, 32805 ячейками, 59049 4-гранями
₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {4} ₁₀ ,, с 50 вершинами, 1000 ребер, 10000 граней, 50000 ячеек, 100000 4-граней

Обобщенные 5-кубы

Обобщенные 5-кубы имеют правильную конструкцию: и призматическая конструкция как , произведение пяти p -угольных 1-многогранников. Элементы - это обобщенные кубы более низкой размерности.

Реальный {4,3,3,3} ,, с 32 вершинами, 80 ребрами, 80 гранями, 40 ячейками и 10 4-гранями
₃ {4} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂ ,, с 243 вершинами, 405 ребрами, 270 гранями, 90 ячейками и 15 4-гранями
₄ {4} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂ ,, с 1024 вершинами, 1280 ребрами, 640 гранями, 160 ячейками и 20 4-гранями
₅ {4} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂ ,, с 3125 вершинами, 3125 ребрами, 1250 гранями, 250 ячейками и 25 4-гранями
₆ {4} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂ ,, с 7776 вершинами, 6480 ребрами, 2160 гранями, 360 ячейками и 30 4-гранями

Перечисление правильных комплексных 6-многогранников [ править ]

Космос	Группа	Заказ	Многогранник	Вершины	Края	Лица	Клетки	4-гранный	5 лиц	Многоугольник Ван Осса	Примечания
$\mathbb {R} ^{6}$	G (1,1,6) = [3,3,3,3,3]	720	α ₆ = {3,3,3,3,3}	7	21 {}	35 {3}	35 {3,3}	21 {3,3,3}	7 {3,3,3,3}	никто	Реальный 6-симплекс
$\mathbb {R} ^{6}$	G (2,1,6) [3,3,3,4]	46080	β² ₆= β ₆ = {3,3,3,4}	12	60 {}	160 {3}	240 {3,3}	192 {3,3,3}	64 {3,3,3,3}	{4}	Реальный 6-ортоплекс То же, что и, заказ 23040
$\mathbb {R} ^{6}$	G (2,1,6) [3,3,3,4]	46080	γ² ₆= γ ₆ = {4,3,3,3}	64	192 {}	240 {4}	160 {4,3}	60 {4,3,3}	12 {4,3,3,3}	никто	Реальный 6-кубик То же, что и {} ⁶ или, заказ 64
$\mathbb {C} ^{6}$	G (p, 1,6) ₂ [3] ₂ [3] ₂ [3] ₂ [4] _p	720 стр. ⁶	β^стр. ₆= ₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {4} _п.	6 п.	15 п. ² {}	20 п. ³ {3}	15 п. ⁴ {3,3}	6 стр. ⁵ {3,3,3}	стр. ⁶ {3,3,3,3}	₂ {4} _п.	Обобщенный 6-ортоплекс То же, что и, заказ 720 п ⁵
$\mathbb {C} ^{6}$	G (p, 1,6) ₂ [3] ₂ [3] ₂ [3] ₂ [4] _p	720 стр. ⁶	γ^стр. ₆= _p {4} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂	стр.⁶	6 п. ⁵ _п. {}	15 п. ⁴ _п. {4} ₂	20 п. ³ _п. {4} ₂ {3} ₂	15 п. ² _п. {4} ₂ {3} ₂ {3} ₂	6 р _р {4} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂	никто	Обобщенный 6-куб То же, что и _p {} ⁶ или, заказ p ⁶

Визуализации правильных сложных 6-многогранников [ править ]

Обобщенные 6-ортоплексы

Обобщенные 6-ортоплексы имеют правильную конструкцию: и квазирегулярная форма как . Все элементы симплексы .

Реальный {3,3,3,3,4} ,, с 12 вершинами, 60 ребрами, 160 гранями, 240 ячейками, 192 4-гранями и 64 5-гранями
₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {4} ₃ ,, с 18 вершинами, 135 ребрами, 540 гранями, 1215 ячейками, 1458 4-гранями и 729 5-гранями
₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {4} ₄ ,, с 24 вершинами, 240 гранями, 1280 гранями, 3840 ячейками, 6144 4-гранями и 4096 5-гранями
₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {4} ₅ ,, с 30 вершинами, 375 ребрами, 2500 гранями, 9375 ячейками, 18750 4-гранями и 15625 5-гранями
₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {4} ₆ ,, с 36 вершинами, 540 ребрами, 4320 гранями, 19440 ячейками, 46656 4-гранями и 46656 5-гранями
₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {4} ₇ ,, с 42 вершинами, 735 ребрами, 6860 гранями, 36015 ячеек, 100842 4-гранями, 117649 5-гранями
₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {4} ₈ ,, с 48 вершинами, 960 ребрами, 10240 гранями, 61440 ячеек, 196608 4-гранями, 262144 5-гранями
₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {4} ₉ ,, с 54 вершинами, 1215 ребрами, 14580 граней, 98415 ячеек, 354294 4-гранями, 531441 5-гранями
₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {4} ₁₀ ,, с 60 вершинами, 1500 ребер, 20000 граней, 150000 ячеек, 600000 4-граней, 1000000 5-граней

Обобщенные 6-кубы

Обобщенные 6-кубы имеют правильную конструкцию: и призматическая конструкция как , произведение шести p -угольных 1-многогранников. Элементы - это обобщенные кубы более низкой размерности.

Реальный {3,3,3,3,3,4} ,, с 64 вершинами, 192 ребрами, 240 гранями, 160 ячейками, 60 4-гранями и 12 5-гранями
₃ {4} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂ ,, с 729 вершинами, 1458 ребрами, 1215 гранями, 540 ячейками, 135 4-гранями и 18 5-гранями
₄ {4} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂ ,, с 4096 вершинами, 6144 ребрами, 3840 гранями, 1280 ячейками, 240 4-гранями и 24 5-гранями
₅ {4} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂ ,, с 15625 вершинами, 18750 ребрами, 9375 гранями, 2500 ячейками, 375 4-гранями и 30 5-гранями

Перечисление регулярных сложных апейротопов [ править ]

Коксетер перечислил этот список нестандартных регулярных сложных апейротопов или сот. ^[33]

Для каждого измерения есть 12 апейотопов, обозначенных как δ^{п , г}
_{п + 1}существует в любых измерениях , или если p = q = 2. Кокстер называет эти обобщенные кубические соты для n > 2. ^[34] $\mathbb {C} ^{n}$ $\mathbb {R} ^{n}$

У каждого есть пропорциональное количество элементов, указанное как:

k-faces = , где и n ! обозначает факториал числа n .

{n \choose k}p^{n-k}r^{k}

{n \choose m}={\frac {n!}{m!\,(n-m)!}}

Правильные комплексные 1-многогранники [ править ]

Единственный правильный комплексный 1-многогранник - это _∞ {}, или. Его реальное представление - апейрогон , {∞} или.

Регулярные сложные апейрогоны [ править ]

Некоторые подгруппы апейрогональных пастушьих групп

11 сложных апейрогонов _p { q } _r с внутренними краями, окрашенными в голубой цвет, а края вокруг одной вершины окрашены индивидуально. Вершины показаны в виде маленьких черных квадратов. Ребра выглядят как правильные многоугольники со сторонами p, а фигуры вершин r -угольные.

Квазирегулярный апейрогон

представляет собой смесь двух обычных апейрогонов

и

здесь видно с синими и розовыми краями.

имеет только один цвет ребер, потому что q нечетное, что делает его двойным покрытием.

Комплексные апейрогоны ранга 2 обладают симметрией _p [ q ] _r , где 1 / p + 2 / q + 1 / r = 1. Кокстер выражает их как δ^{п , г}
₂где q ограничено, чтобы удовлетворять $q = 2 / (1 - (p + r) / pr)$ . ^[35]

Есть 8 решений:

₂ [∞] ₂	₃ [12] ₂	₄ [8] ₂	₆ [6] ₂	₃ [6] ₃	₆ [4] ₃	₄ [4] ₄	₆ [3] ₆

Есть два исключенных решения: нечетное q и неравное p и r : ₁₀ [5] ₂ и ₁₂ [3] ₄ , или и .

Правильный комплексный апейрогон _p { q } _r имеет p -ребра и r -угольные фигуры вершин. Двойственный апейрогон к _p { q } _r - это _r { q } _p . Апейрогон вида _p { q } _p самодвойственен. Группы вида _p [2 q ] ₂ обладают полусимметрией _p [ q ] _p , поэтому правильный апейрогон то же самое, что и квазирегулярный . ^[36]

Апейрогоны могут быть представлены на плоскости Аргана и имеют четыре различных расположения вершин. Апейрогоны вида ₂ { q } _r имеют расположение вершин как { q / 2, p }. Форма _p { q } ₂ имеет расположение вершин как r { p , q / 2}. Апейрогоны вида _p {4} _r имеют расположение вершин { p , r }.

Включая аффинные узлы и , есть еще 3 бесконечных решения: _∞ [2] _∞ , _∞ [4] ₂ , _∞ [3] ₃ и $\mathbb {C} ^{2}$ , , и . Первая - это подгруппа индекса 2 второй. Вершины этих апейрогонов существуют в . $\mathbb {C} ^{1}$

2 ранг
Космос	Группа	Апейрогон	Край	$\mathbb {R} ^{2}$ респ. ^[37]	Примечания
$\mathbb {R} ^{1}$	₂ [∞] ₂ = [∞]	δ^2,2 ₂ = {∞}	{}		Настоящий апейрогон То же, что и
$\mathbb {C} ^{2}$ / $\mathbb {C} ^{1}$	_∞ [4] ₂	_∞ {4} ₂	_∞ {}	{4,4}	Такой же как
$\mathbb {C} ^{1}$	_∞ [3] ₃	_∞ {3} ₃	_∞ {}	{3,6}	Такой же как
$\mathbb {C} ^{1}$	_p [ q ]_r	δ^{п, г} ₂= _p { q } _r	_p {}
$\mathbb {C} ^{1}$	₃ [12] ₂	δ^3,2 ₂= ₃ {12} ₂	₃ {}	г {3,6}	Такой же как
$\mathbb {C} ^{1}$	₃ [12] ₂	δ^2,3 ₂= ₂ {12} ₃	{}	{6,3}
$\mathbb {C} ^{1}$	₃ [6] ₃	δ^3,3 ₂= ₃ {6} ₃	₃ {}	{3,6}	Такой же как
$\mathbb {C} ^{1}$	₄ [8] ₂	δ^4,2 ₂= ₄ {8} ₂	₄ {}	{4,4}	Такой же как
$\mathbb {C} ^{1}$	₄ [8] ₂	δ^2,4 ₂= ₂ {8} ₄	{}	{4,4}
$\mathbb {C} ^{1}$	₄ [4] ₄	δ^4,4 ₂= ₄ {4} ₄	₄ {}	{4,4}	Такой же как
$\mathbb {C} ^{1}$	₆ [6] ₂	δ^6,2 ₂= ₆ {6} ₂	₆ {}	г {3,6}	Такой же как
$\mathbb {C} ^{1}$	₆ [6] ₂	δ^2,6 ₂= ₂ {6} ₆	{}	{3,6}
$\mathbb {C} ^{1}$	₆ [4] ₃	δ^6,3 ₂= ₆ {4} ₃	₆ {}	{6,3}
$\mathbb {C} ^{1}$	₆ [4] ₃	δ^3,6 ₂= ₃ {4} ₆	₃ {}	{3,6}
$\mathbb {C} ^{1}$	₆ [3] ₆	δ^6,6 ₂= ₆ {3} ₆	₆ {}	{3,6}	Такой же как

Правильные комплексные апейроэдры [ править ]

Существует 22 правильных комплексных апейроэдра вида _p { a } _q { b } _r . 8 самодвойственны ( p = r и a = b ), а 14 существуют как пары двойственных многогранников. Три полностью реальны ( p = q = r = 2).

Кокстер символизирует 12 из них как δ^{п , г}
₃или _p {4} ₂ {4} _r - регулярная форма произведения апейротопа δ^{п , г}
₂ × δ^{п , г}
₂или _p { q } _r × _p { q } _r , где q определяется из p и r .

такой же как , а также , для p , r = 2,3,4,6. Также знак равно . ^[38]

Ранг 3
Космос	Группа	Апейроэдр	Вершина	Край		Лицо		ван Осс апейрогон	Примечания
$\mathbb {C} ^{3}$	₂ [3] ₂ [4] _∞	_∞ {4} ₂ {3} ₂			_∞ {}		_∞ {4} ₂		То же, что _∞ {} × _∞ {} × _∞ {} или Реальное представление {4,3,4}
$\mathbb {C} ^{2}$	_p [4]₂ [4]_r	_p {4}₂ {4}_r	п ²	2 шт.	_p {}	r ²	_п {4}₂	₂ { q } _г	Такой же как , р , г = 2,3,4,6
$\mathbb {R} ^{2}$	[4,4]	δ^2,2 ₃ = {4,4}	4	8	{}	4	{4}	{∞}	Реальная квадратная мозаика Как или же или же
$\mathbb {C} ^{2}$	₃ [4] ₂ [4] ₂ ₃ [4] ₂ [4] ₃ ₄ [4] ₂ [4] ₂ ₄ [4] ₂ [4] ₄ ₆ [4] ₂ [4] ₂ ₆ [4] ₂ [4] ₃ ₆ [4] ₂ [4] ₆	₃ {4} ₂ {4} ₂ ₂ {4} ₂ {4} ₃ ₃ {4} ₂ {4} ₃ ₄ {4} ₂ {4} ₂ ₂ {4} ₂ {4} ₄ ₄ {4} ₂ {4} ₄ ₆ {4} ₂ {4} ₂ ₂ {4} ₂ {4} ₆ ₆ {4} ₂ {4} ₃ ₃ {4} ₂ {4} ₆ ₆ {4} ₂ {4} ₆	9 4 9 16 4 16 36 4 36 9 36	12 12 18 16 16 32 24 24 36 36 72	₃ {} {} ₃ {} ₄ {} {} ₄ {} ₆ {} {} ₆ {} ₃ {} ₆ {}	4 9 9 4 16 16 4 36 9 36 36	₃{4}₂ {4} ₃{4}₂ ₄{4}₂ {4} ₄{4}₂ ₆{4}₂ {4} ₆{4}₂ ₃{4}₂ ₆{4}₂	_p{q}_r	Same as or or Same as Same as Same as or or Same as Same as Same as or or Same as Same as Same as Same as

Space	Group	Apeirohedron	Vertex	Edge		Face		van Oss apeirogon	Notes
$\mathbb {C} ^{2}$	₂[4]_r[4]₂	₂{4}_r{4}₂	2		{}	2	_p{4}_2'	₂{4}_r	Same as and , r=2,3,4,6
$\mathbb {R} ^{2}$	[4,4]	{4,4}	2	4	{}	2	{4}	{∞}	Same as and
$\mathbb {C} ^{2}$	₂[4]₃[4]₂ ₂[4]₄[4]₂ ₂[4]₆[4]₂	₂{4}₃{4}₂ ₂{4}₄{4}₂ ₂{4}₆{4}₂	2	9 16 36	{}	2	₂{4}₃ ₂{4}₄ ₂{4}₆	₂{q}_r	Same as and Same as and Same as and ^[39]

Space	Group	Apeirohedron	Vertex	Edge		Face		van Oss apeirogon	Notes
$\mathbb {R} ^{2}$	₂[6]₂[3]₂ = [6,3]	{3,6}	1	3	{}	2	{3}	{∞}	Real triangular tiling
$\mathbb {R} ^{2}$	₂[6]₂[3]₂ = [6,3]	{6,3}	2	3	{}	1	{6}	none	Real hexagonal tiling
$\mathbb {C} ^{2}$	₃[4]₃[3]₃	₃{3}₃{4}₃	1	8	₃{}	3	₃{3}₃	₃{4}₆	Same as
$\mathbb {C} ^{2}$	₃[4]₃[3]₃	₃{4}₃{3}₃	3	8	₃{}	2	₃{4}₃	₃{12}₂
$\mathbb {C} ^{2}$	₄[3]₄[3]₄	₄{3}₄{3}₄	1	6	₄{}	1	₄{3}₄	₄{4}₄	Self-dual, same as
$\mathbb {C} ^{2}$	₄[3]₄[4]₂	₄{3}₄{4}₂	1	12	₄{}	3	₄{3}₄	₂{8}₄	Same as
$\mathbb {C} ^{2}$	₄[3]₄[4]₂	₂{4}₄{3}₄	3	12	{}	1	₂{4}₄	₄{4}₄

Regular complex 3-apeirotopes[edit]

There are 16 regular complex apeirotopes in $\mathbb {C} ^{3}$ . Coxeter expresses 12 of them by δ^p,r
₃ where q is constrained to satisfy $q = 2/(1 - (p + r)/ pr)$ . These can also be decomposed as product apeirotopes: = . The first case is the $\mathbb {R} ^{3}$ cubic honeycomb.

Rank 4
Space	Group	3-apeirotope	Edge	Face	Cell	van Oss apeirogon	Notes
$\mathbb {C} ^{3}$	_p[4]₂[3]₂[4]_r	δ^p,r ₃ = _p{4}₂{3}₂{4}_r	_p{}	_p{4}₂	_p{4}₂{3}₂	_p{q}_r	Same as
$\mathbb {R} ^{3}$	₂[4]₂[3]₂[4]₂ =[4,3,4]	δ^2,2 ₃ = ₂{4}₂{3}₂{4}₂	{}	{4}	{4,3}		Cubic honeycomb Same as or or
$\mathbb {C} ^{3}$	₃[4]₂[3]₂[4]₂	δ^3,2 ₃ = ₃{4}₂{3}₂{4}₂	₃{}	₃{4}₂	₃{4}₂{3}₂		Same as or or
$\mathbb {C} ^{3}$	₃[4]₂[3]₂[4]₂	δ^2,3 ₃ = ₂{4}₂{3}₂{4}₃	{}	{4}	{4,3}		Same as
$\mathbb {C} ^{3}$	₃[4]₂[3]₂[4]₃	δ^3,3 ₃ = ₃{4}₂{3}₂{4}₃	₃{}	₃{4}₂	₃{4}₂{3}₂		Same as
$\mathbb {C} ^{3}$	₄[4]₂[3]₂[4]₂	δ^4,2 ₃ = ₄{4}₂{3}₂{4}₂	₄{}	₄{4}₂	₄{4}₂{3}₂		Same as or or
$\mathbb {C} ^{3}$	₄[4]₂[3]₂[4]₂	δ^2,4 ₃ = ₂{4}₂{3}₂{4}₄	{}	{4}	{4,3}		Same as
$\mathbb {C} ^{3}$	₄[4]₂[3]₂[4]₄	δ^4,4 ₃ = ₄{4}₂{3}₂{4}₄	₄{}	₄{4}₂	₄{4}₂{3}₂		Same as
$\mathbb {C} ^{3}$	₆[4]₂[3]₂[4]₂	δ^6,2 ₃ = ₆{4}₂{3}₂{4}₂	₆{}	₆{4}₂	₆{4}₂{3}₂		Same as or or
$\mathbb {C} ^{3}$	₆[4]₂[3]₂[4]₂	δ^2,6 ₃ = ₂{4}₂{3}₂{4}₆	{}	{4}	{4,3}		Same as
$\mathbb {C} ^{3}$	₆[4]₂[3]₂[4]₃	δ^6,3 ₃ = ₆{4}₂{3}₂{4}₃	₆{}	₆{4}₂	₆{4}₂{3}₂		Same as
$\mathbb {C} ^{3}$	₆[4]₂[3]₂[4]₃	δ^3,6 ₃ = ₃{4}₂{3}₂{4}₆	₃{}	₃{4}₂	₃{4}₂{3}₂		Same as
$\mathbb {C} ^{3}$	₆[4]₂[3]₂[4]₆	δ^6,6 ₃ = ₆{4}₂{3}₂{4}₆	₆{}	₆{4}₂	₆{4}₂{3}₂		Same as

Rank 4, exceptional cases
Space	Group	3-apeirotope	Vertex	Edge	Face	Cell	van Oss apeirogon	Notes
$\mathbb {C} ^{3}$	₂[4]₃[3]₃[3]₃	₃{3}₃{3}₃{4}₂	1	24 ₃{}	27 ₃{3}₃	2 ₃{3}₃{3}₃	₃{4}₆	Same as
$\mathbb {C} ^{3}$	₂[4]₃[3]₃[3]₃	₂{4}₃{3}₃{3}₃	2	27 {}	24 ₂{4}₃	1 ₂{4}₃{3}₃	₂{12}₃
$\mathbb {C} ^{3}$	₂[3]₂[4]₃[3]₃	₂{3}₂{4}₃{3}₃	1	27 {}	72 ₂{3}₂	8 ₂{3}₂{4}₃	₂{6}₆
$\mathbb {C} ^{3}$	₂[3]₂[4]₃[3]₃	₃{3}₃{4}₂{3}₂	8	72 ₃{}	27 ₃{3}₃	1 ₃{3}₃{4}₂	₃{6}₃	Same as or

Regular complex 4-apeirotopes[edit]

There are 15 regular complex apeirotopes in $\mathbb {C} ^{4}$ . Coxeter expresses 12 of them by δ^p,r
₄ where q is constrained to satisfy $q = 2/(1 - (p + r)/ pr)$ . These can also be decomposed as product apeirotopes: = . The first case is the $\mathbb {R} ^{4}$ tesseractic honeycomb. The 16-cell honeycomb and 24-cell honeycomb are real solutions. The last solution is generated has Witting polytope elements.

Rank 5
Space	Group	4-apeirotope	Vertex	Edge	Face	Cell	4-face	van Oss apeirogon	Notes
$\mathbb {C} ^{4}$	_p[4]₂[3]₂[3]₂[4]_r	δ^p,r ₄ = _p{4}₂{3}₂{3}₂{4}_r		_p{}	_p{4}₂	_p{4}₂{3}₂	_p{4}₂{3}₂{3}₂	_p{q}_r	Same as
$\mathbb {R} ^{4}$	₂[4]₂[3]₂[3]₂[4]₂	δ^2,2 ₄ = {4,3,3,3}		{}	{4}	{4,3}	{4,3,3}	{∞}	Tesseractic honeycomb Same as
$\mathbb {R} ^{4}$	₂[3]₂[4]₂[3]₂[3]₂ =[3,4,3,3]	{3,3,4,3}	1	12 {}	32 {3}	24 {3,3}	3 {3,3,4}		Real 16-cell honeycomb Same as
$\mathbb {R} ^{4}$	₂[3]₂[4]₂[3]₂[3]₂ =[3,4,3,3]	{3,4,3,3}	3	24 {}	32 {3}	12 {3,4}	1 {3,4,3}		Real 24-cell honeycomb Same as or
$\mathbb {C} ^{4}$	₃[3]₃[3]₃[3]₃[3]₃	₃{3}₃{3}₃{3}₃{3}₃	1	80 ₃{}	270 ₃{3}₃	80 ₃{3}₃{3}₃	1 ₃{3}₃{3}₃{3}₃	₃{4}₆	$\mathbb {R} ^{8}$ representation 521

Regular complex 5-apeirotopes and higher[edit]

There are only 12 regular complex apeirotopes in $\mathbb {C} ^{5}$ or higher,^[40] expressed δ^p,r
_n where q is constrained to satisfy $q = 2/(1 - (p + r)/ pr)$ . These can also be decomposed a product of n apeirogons: ... = ... . The first case is the real $\mathbb {R} ^{n}$ hypercube honeycomb.

Rank 6
Space	Group	5-apeirotopes	Vertices	Edge	Face	Cell	4-face	5-face	van Oss apeirogon	Notes
$\mathbb {C} ^{5}$	_p[4]₂[3]₂[3]₂[3]₂[4]_r	δ^p,r ₅ = _p{4}₂{3}₂{3}₂{3}₂{4}_r		_p{}	_p{4}₂	_p{4}₂{3}₂	_p{4}₂{3}₂{3}₂	_p{4}₂{3}₂{3}₂{3}₂	_p{q}_r	Same as
$\mathbb {R} ^{5}$	₂[4]₂[3]₂[3]₂[3]₂[4]₂ =[4,3,3,3,4]	δ^2,2 ₅ = {4,3,3,3,4}		{}	{4}	{4,3}	{4,3,3}	{4,3,3,3}	{∞}	5-cubic honeycomb Same as

van Oss polygon[edit]

A red square van Oss polygon in the plane of an edge and center of a regular octahedron.

A van Oss polygon is a regular polygon in the plane (real plane $\mathbb {R} ^{2}$ , or unitary plane $\mathbb {C} ^{2}$ ) in which both an edge and the centroid of a regular polytope lie, and formed of elements of the polytope. Not all regular polytopes have Van Oss polygons.

For example, the van Oss polygons of a real octahedron are the three squares whose planes pass through its center. In contrast a cube does not have a van Oss polygon because the edge-to-center plane cuts diagonally across two square faces and the two edges of the cube which lie in the plane do not form a polygon.

Infinite honeycombs also have van Oss apeirogons. For example, the real square tiling and triangular tiling have apeirogons {∞} van Oss apeirogons.^[41]

If it exists, the van Oss polygon of regular complex polytope of the form _p{q}_r{s}_t... has p-edges.

Non-regular complex polytopes[edit]

Product complex polytopes[edit]

Example product complex polytope
Complex product polygon or {}×₅{} has 10 vertices connected by 5 2-edges and 2 5-edges, with its real representation as a 3-dimensional pentagonal prism.	The dual polygon,{}+₅{} has 7 vertices centered on the edges of the original, connected by 10 edges. Its real representation is a pentagonal bipyramid.

Some complex polytopes can be represented as Cartesian products. These product polytopes are not strictly regular since they'll have more than one facet type, but some can represent lower symmetry of regular forms if all the orthogonal polytopes are identical. For example, the product _p{}×_p{} or of two 1-dimensional polytopes is the same as the regular _p{4}₂ or . More general products, like _p{}×_q{} have real representations as the 4-dimensional p-q duoprisms. The dual of a product polytope can be written as a sum _p{}+_q{} and have real representations as the 4-dimensional p-q duopyramid. The _p{}+_p{} can have its symmetry doubled as a regular complex polytope ₂{4}_p or .

Similarly, a $\mathbb {C} ^{3}$ complex polyhedron can be constructed as a triple product: _p{}×_p{}×_p{} or is the same as the regular generalized cube, _p{4}₂{3}₂ or , as well as product _p{4}₂×_p{} or .^[42]

Quasiregular polygons[edit]

A quasiregular polygon is a truncation of a regular polygon. A quasiregular polygon contains alternate edges of the regular polygons and . The quasiregular polygon has p vertices on the p-edges of the regular form.

Example quasiregular polygons
_p[q]_r	₂[4]₂	₃[4]₂	₄[4]₂	₅[4]₂	₆[4]₂	₇[4]₂	₈[4]₂	₃[3]₃	₃[4]₃
Regular	4 2-edges	9 3-edges	16 4-edges	25 5-edges	36 6-edges	49 8-edges	64 8-edges
Quasiregular	= 4+4 2-edges	6 2-edges 9 3-edges	8 2-edges 16 4-edges	10 2-edges 25 5-edges	12 2-edges 36 6-edges	14 2-edges 49 7-edges	16 2-edges 64 8-edges	=	=
Regular	4 2-edges	6 2-edges	8 2-edges	10 2-edges	12 2-edges	14 2-edges	16 2-edges

Quasiregular apeirogons[edit]

There are 7 quasiregular complex apeirogons which alternate edges of a regular apeirogon and its regular dual. The vertex arrangements of these apeirogon have real representations with the regular and uniform tilings of the Euclidean plane. The last column for the 6{3}6 apeirogon is not only self-dual, but the dual coincides with itself with overlapping hexagonal edges, thus their quasiregular form also has overlapping hexagonal edges, so it can't be drawn with two alternating colors like the others. The symmetry of the self-dual families can be doubled, so creating an identical geometry as the regular forms: =

_p[q]_r	₄[4]₄	₃[6]₃	₆[3]₆
Regular or _p{q}_r
Quasiregular	=	=	=
Regular dual or _r{q}_p

Quasiregular polyhedra[edit]

Example truncation of 3-generalized octahedron, ₂{3}₂{4}₃,

, to its rectified limit, showing outlined-green triangles faces at the start, and blue ₂{4}₃,

, vertex figures expanding as new faces.

Like real polytopes, a complex quasiregular polyhedron can be constructed as a rectification (a complete truncation) of a regular polyhedron. Vertices are created mid-edge of the regular polyhedron and faces of the regular polyhedron and its dual are positioned alternating across common edges.

For example, a p-generalized cube, , has p³ vertices, 3p² edges, and 3p p-generalized square faces, while the p-generalized octahedron, , has 3p vertices, 3p² edges and p³ triangular faces. The middle quasiregular form p-generalized cuboctahedron, , has 3p² vertices, 3p³ edges, and 3p+p³ faces.

Also the rectification of the Hessian polyhedron , is , a quasiregular form sharing the geometry of the regular complex polyhedron .

Quasiregular examples
Generalized cube/octahedra						Hessian polyhedron
	p=2 (real)	p=3	p=4	p=5	p=6	Hessian polyhedron
Generalized cubes (regular)	Cube , 8 vertices, 12 2-edges, and 6 faces.	, 27 vertices, 27 3-edges, and 9 faces, with one face blue and red	, 64 vertices, 48 4-edges, and 12 faces.	, 125 vertices, 75 5-edges, and 15 faces.	, 216 vertices, 108 6-edges, and 18 faces.	, 27 vertices, 72 6-edges, and 27 faces.
Generalized cuboctahedra (quasiregular)	Cuboctahedron , 12 vertices, 24 2-edges, and 6+8 faces.	, 27 vertices, 81 2-edges, and 9+27 faces, with one face blue	, 48 vertices, 192 2-edges, and 12+64 faces, with one face blue	, 75 vertices, 375 2-edges, and 15+125 faces.	, 108 vertices, 648 2-edges, and 18+216 faces.	= , 72 vertices, 216 3-edges, and 54 faces.
Generalized octahedra (regular)	Octahedron , 6 vertices, 12 2-edges, and 8 {3} faces.	, 9 vertices, 27 2-edges, and 27 {3} faces.	, 12 vertices, 48 2-edges, and 64 {3} faces.	, 15 vertices, 75 2-edges, and 125 {3} faces.	, 18 vertices, 108 2-edges, and 216 {3} faces.	, 27 vertices, 72 6-edges, and 27 faces.

Other complex polytopes with unitary reflections of period two[edit]

Other nonregular complex polytopes can be constructed within unitary reflection groups that don't make linear Coxeter graphs. In Coxeter diagrams with loops Coxeter marks a special period interior, like or symbol (1₁ 1 1)³, and group [1 1 1]³.^[43]^[44] These complex polytopes have not been systematically explored beyond a few cases.

The group is defined by 3 unitary reflections, R₁, R₂, R₃, all order 2: R₁² = R₁² = R₃² = (R₁R₂)³ = (R₂R₃)³ = (R₃R₁)³ = (R₁R₂R₃R₁)^p = 1. The period p can be seen as a double rotation in real $\mathbb {R} ^{4}$ .

As with all Wythoff constructions, polytopes generated by reflections, the number of vertices of a single-ringed Coxeter diagram polytope is equal to the order of the group divided by the order of the subgroup where the ringed node is removed. For example, a real cube has Coxeter diagram , with octahedral symmetry order 48, and subgroup dihedral symmetry order 6, so the number of vertices of a cube is 48/6=8. Facets are constructed by removing one node furthest from the ringed node, for example for the cube. Vertex figures are generated by removing a ringed node and ringing one or more connected nodes, and for the cube.

Coxeter represents these groups by the following symbols. Some groups have the same order, but a different structure, defining the same vertex arrangement in complex polytopes, but different edges and higher elements, like and with p≠3.^[45]

Groups generated by unitary reflections
Coxeter diagram	Order	Symbol or Position in Table VII of Shephard and Todd (1954)
, ( and ), , ...	p^{n − 1} n!, p ≥ 3	G(p, p, n), [p], [1 1 1]^p, [1 1 (n−2)^p]³
,	72·6!, 108·9!	Nos. 33, 34, [1 2 2]³, [1 2 3]³
, ( and ), ( and )	14·4!, 3·6!, 64·5!	Nos. 24, 27, 29

Coxeter calls some of these complex polyhedra almost regular because they have regular facets and vertex figures. The first is a lower symmetry form of the generalized cross-polytope in $\mathbb {C} ^{3}$ . The second is a fractional generalized cube, reducing p-edges into single vertices leaving ordinary 2-edges. Three of them are related to the finite regular skew polyhedron in $\mathbb {R} ^{4}$ .

Some almost regular complex polyhedra^[46]
Space	Group	Order	Coxeter symbols	Vertices	Edges	Faces	Vertex figure	Notes
$\mathbb {C} ^{3}$	[1 1 1^p]³ p=2,3,4...	6p²	(1 1 1₁^p)³	3p	3p²	{3}	{2p}	Shephard symbol (1 1; 1₁)^p same as β^p ₃ =
$\mathbb {C} ^{3}$	[1 1 1^p]³ p=2,3,4...	6p²	(1₁ 1 1^p)³	p²		{3}	{6}	Shephard symbol (1₁ 1; 1)^p 1/p γ^p ₃
$\mathbb {R} ^{3}$	[1 1 1²]³	24	(1 1 1₁²)³	6	12	8 {3}	{4}	Same as β² ₃ = = real octahedron
$\mathbb {R} ^{3}$	[1 1 1²]³	24	(1₁ 1 1²)³	4	6	4 {3}	{3}	1/2 γ² ₃ = = α₃ = real tetrahedron
$\mathbb {C} ^{3}$	[1 1 1]³	54	(1 1 1₁)³	9	27	{3}	{6}	Shephard symbol (1 1; 1₁)³ same as β³ ₃ =
$\mathbb {C} ^{3}$	[1 1 1]³	54	(1₁ 1 1)³	9	27	{3}	{6}	Shephard symbol (1₁ 1; 1)³ 1/3 γ³ ₃ = β³ ₃
$\mathbb {C} ^{3}$	[1 1 1⁴]³	96	(1 1 1₁⁴)³	12	48	{3}	{8}	Shephard symbol (1 1; 1₁)⁴ same as β⁴ ₃ =
$\mathbb {C} ^{3}$	[1 1 1⁴]³	96	(1₁ 1 1⁴)³	16		{3}	{6}	Shephard symbol (1₁ 1; 1)⁴ 1/4 γ⁴ ₃
$\mathbb {C} ^{3}$	[1 1 1⁵]³	150	(1 1 1₁⁵)³	15	75	{3}	{10}	Shephard symbol (1 1; 1₁)⁵ same as β⁵ ₃ =
$\mathbb {C} ^{3}$	[1 1 1⁵]³	150	(1₁ 1 1⁵)³	25		{3}	{6}	Shephard symbol (1₁ 1; 1)⁵ 1/5 γ⁵ ₃
$\mathbb {C} ^{3}$	[1 1 1⁶]³	216	(1 1 1₁⁶)³	18	216	{3}	{12}	Shephard symbol (1 1; 1₁)⁶ same as β⁶ ₃ =
$\mathbb {C} ^{3}$	[1 1 1⁶]³	216	(1₁ 1 1⁶)³	36		{3}	{6}	Shephard symbol (1₁ 1; 1)⁶ 1/6 γ⁶ ₃
$\mathbb {C} ^{3}$	[1 1 1⁴]⁴	336	(1 1 1₁⁴)⁴	42	168	112 {3}	{8}	$\mathbb {R} ^{4}$ representation {3,8\|,4} = {3,8}₈
$\mathbb {C} ^{3}$	[1 1 1⁴]⁴	336	(1₁ 1 1⁴)⁴	56		{3}	{6}
$\mathbb {C} ^{3}$	[1 1 1⁵]⁴	2160	(1 1 1₁⁵)⁴	216	1080	720 {3}	{10}	$\mathbb {R} ^{4}$ representation {3,10\|,4} = {3,10}₈
$\mathbb {C} ^{3}$	[1 1 1⁵]⁴		(1₁ 1 1⁵)⁴	360		{3}	{6}
$\mathbb {C} ^{3}$	[1 1 1⁴]⁵		(1 1 1₁⁴)⁵	270	1080	720 {3}	{8}	$\mathbb {R} ^{4}$ representation {3,8\|,5} = {3,8}₁₀
$\mathbb {C} ^{3}$	[1 1 1⁴]⁵		(1₁ 1 1⁴)⁵	360		{3}	{6}

Coxeter defines other groups with anti-unitary constructions, for example these three. The first was discovered and drawn by Peter McMullen in 1966.^[47]

More almost regular complex polyhedra^[48]
Space	Group	Order	Coxeter symbols	Vertices	Edges	Faces	Vertex figure	Notes
$\mathbb {C} ^{3}$	[1 1⁴ 1⁴]⁽³⁾	336	(1₁ 1⁴ 1⁴)⁽³⁾	56	168	84 {4}	{6}	$\mathbb {R} ^{4}$ representation {4,6\|,3} = {4,6}₆
$\mathbb {C} ^{3}$	[1⁵ 1⁴ 1⁴]⁽³⁾	2160	(1₁⁵ 1⁴ 1⁴)⁽³⁾	216	1080	540 {4}	{10}	$\mathbb {R} ^{4}$ representation {4,10\|,3} = {4,10}₆
$\mathbb {C} ^{3}$	[1⁴ 1⁵ 1⁵]⁽³⁾	2160	(1₁⁴ 1⁵ 1⁵)⁽³⁾	270	1080	432 {5}	{8}	$\mathbb {R} ^{4}$ representation {5,8\|,3} = {5,8}₆

Some complex 4-polytopes^[49]
Space	Group	Order	Coxeter symbols	Vertices	Other elements	Cells	Notes
$\mathbb {C} ^{4}$	[1 1 2^p]³ p=2,3,4...	24p³	(1 1 2₂^p)³	4p			Shephard (2₂ 1; 1)^p same as β^p ₄ =
$\mathbb {C} ^{4}$	[1 1 2^p]³ p=2,3,4...	24p³	(1₁ 1 2^p )³	p³			Shephard (2 1; 1₁)^p 1/p γ^p ₄
$\mathbb {R} ^{4}$	[1 1 2²]³ =[3^1,1,1]	192	(1 1 2₂²)³	8	24 edges 32 faces	16	β² ₄ = , real 16-cell
$\mathbb {R} ^{4}$	[1 1 2²]³ =[3^1,1,1]	192	(1₁ 1 2² )³	8	24 edges 32 faces	16	1/2 γ² ₄ = = β² ₄, real 16-cell
$\mathbb {C} ^{4}$	[1 1 2]³	648	(1 1 2₂)³	12			Shephard (2₂ 1; 1)³ same as β³ ₄ =
$\mathbb {C} ^{4}$	[1 1 2]³	648	(1₁ 1 2³)³	27			Shephard (2 1; 1₁)³ 1/3 γ³ ₄
$\mathbb {C} ^{4}$	[1 1 2⁴]³	1536	(1 1 2₂⁴)³	16			Shephard (2₂ 1; 1)⁴ same as β⁴ ₄ =
$\mathbb {C} ^{4}$	[1 1 2⁴]³	1536	(1₁ 1 2⁴ )³	64			Shephard (2 1; 1₁)⁴ 1/4 γ⁴ ₄
$\mathbb {C} ^{4}$	[1⁴ 1 2]³	7680	(2₂ 1⁴ 1)³	80			Shephard (2₂ 1; 1)⁴
			(1₁⁴ 1 2)³	160			Shephard (2 1; 1₁)⁴
			(1₁ 1⁴ 2)³	320			Shephard (2 1₁; 1)⁴
$\mathbb {C} ^{4}$	[1 1 2]⁴		(1 1 2₂)⁴	80	640 edges 1280 triangles	640
$\mathbb {C} ^{4}$	[1 1 2]⁴		(1₁ 1 2)⁴	320

Some complex 5-polytopes^[50]
Space	Group	Order	Coxeter symbols	Vertices	Notes
$\mathbb {C} ^{5}$	[1 1 3^p]³ p=2,3,4...	120p⁴	(1 1 3₃^p)³	5p	Shephard (3₃ 1; 1)^p same as β^p ₅ =
$\mathbb {C} ^{5}$	[1 1 3^p]³ p=2,3,4...	120p⁴	(1₁ 1 3^p)³	p⁴	Shephard (3 1; 1₁)^p 1/p γ^p ₅
$\mathbb {C} ^{5}$	[2 2 1]³	51840	(2 1 2₂)³	80	Shephard (2 1; 2₂)³
$\mathbb {C} ^{5}$	[2 2 1]³	51840	(2 1₁ 2)³	432	Shephard (2 1₁; 2)³

Some complex 6-polytopes^[51]
Space	Group	Order	Coxeter symbols	Vertices	Notes
$\mathbb {C} ^{6}$	[1 1 4^p]³ p=2,3,4...	720p⁵	(1 1 4₄^p)³	6p	Shephard (4₄ 1; 1)^p same as β^p ₆ =
$\mathbb {C} ^{6}$	[1 1 4^p]³ p=2,3,4...	720p⁵	(1₁ 1 4^p)³	p⁵	Shephard (4 1; 1₁)^p 1/p γ^p ₆
$\mathbb {C} ^{6}$	[1 2 3]³	39191040	(2 1 3₃)³	756	Shephard (2 1; 3₃)³
			(2₂ 1 3)³	4032	Shephard (2₂ 1; 3)³
			(2 1₁ 3)³	54432	Shephard (2 1₁; 3)³

Visualizations[edit]

(1 1 1₁⁴)⁴, has 42 vertices, 168 edges and 112 triangular faces, seen in this 14-gonal projection.
(1⁴ 1⁴ 1₁)⁽³⁾, has 56 vertices, 168 edges and 84 square faces, seen in this 14-gonal projection.
(1 1 2₂)⁴, has 80 vertices, 640 edges, 1280 triangular faces and 640 tetrahedral cells, seen in this 20-gonal projection.^[52]

Notes[edit]

^ Peter Orlik, Victor Reiner, Anne V. Shepler. The sign representation for Shephard groups. Mathematische Annalen. March 2002, Volume 322, Issue 3, pp 477–492. DOI:10.1007/s002080200001 [1]
^ Coxeter, Regular Complex Polytopes, p. 115
^ Coxeter, Regular Complex Polytopes, 11.3 Petrie Polygon, a simple h-gon formed by the orbit of the flag (O₀,O₀O₁) for the product of the two generating reflections of any nonstarry regular complex polygon, p₁{q}p₂.
^ Complex Regular Polytopes,11.1 Regular complex polygons p.103
^ Shephard, 1952; "It is from considerations such as these that we derive the notion of the interior of a polytope, and it will be seen that in unitary space where the numbers cannot be so ordered such a concept of interior is impossible. [Para break] Hence ... we have to consider unitary polytopes as configurations."
^ Coxeter, Regular Complex polytopes, p. 96
^ Coxeter, Regular Complex Polytopes, p. xiv
^ Coxeter, Complex Regular Polytopes, p. 177, Table III
^ Lehrer & Taylor 2009, p.87
^ Coxeter, Regular Complex Polytopes, Table IV. The regular polygons. pp. 178–179
^ Complex Polytopes, 8.9 The Two-Dimensional Case, p.88
^ Regular Complex Polytopes, Coxeter, pp.177-179
^ Coxeter, Regular Complex Polytopes, p. 108
^ Coxeter, Regular Complex Polytopes, p. 108
^ Coxeter, Regular Complex Polytopes, p. 109
^ Coxeter, Regular Complex Polytopes, p. 111
^ Coxeter, Regular Complex Polytopes, p. 30 diagram and p. 47 indices for 8 3-edges
^ Coxeter, Regular Complex Polytopes, p. 110
^ Coxeter, Regular Complex Polytopes, p. 110
^ Coxeter, Regular Complex Polytopes, p. 48
^ Coxeter, Regular Complex Polytopes, p. 49
^ Coxeter, Regular Complex Polytopes, pp. 116–140.
^ Coxeter, Regular Complex Polytopes, pp. 118–119.
^ Coxeter, Regular Complex Polytopes, pp. 118-119
^ Complex Regular Polytopes, p.29
^ Coxeter, Regular Complex Polytopes, Table V. The nonstarry regular polyhedra and 4-polytopes. p. 180.
^ Coxeter, Kaleidoscopes — Selected Writings of H.S.M. Coxeter, Paper 25 Surprising relationships among unitary reflection groups, p. 431.
^ Coxeter, Regular Complex Polytopes, p. 131
^ Coxeter, Regular Complex Polytopes, p. 126
^ Coxeter, Regular Complex Polytopes, p. 125
^ Coxeter, Regular Complex Polytopes, p. 131
^ Coxeter, Regular Complex Polytopes, Table V. The nonstarry regular polyhedra and 4-polytopes. p. 180.
^ Coxeter, Regular Complex Polytopes, Table VI. The regular honeycombs. p. 180.
^ Complex regular polytope, p.174
^ Coxeter, Regular Complex Polytopes, Table VI. The regular honeycombs. p. 111, 136.
^ Coxeter, Regular Complex Polytopes, Table IV. The regular polygons. pp. 178–179
^ Coxeter, Regular Complex Polytopes, 11.6 Apeirogons, pp. 111-112
^ Coxeter, Complex Regular Polytopes, p.140
^ Coxeter, Regular Complex Polytopes, pp. 139-140
^ Complex Regular Polytopes, p.146
^ Complex Regular Polytopes, p.141
^ Coxeter, Regular Complex Polytopes, pp. 118–119, 138.
^ Coxeter, Regular Complex Polytopes, Chapter 14, Almost regular polytopes, pp. 156–174.
^ Coxeter, Groups Generated by Unitary Reflections of Period Two, 1956
^ Coxeter, Finite Groups Generated by Unitary Reflections, 1966, 4. The Graphical Notation, Table of n-dimensional groups generated by n Unitary Reflections. pp. 422-423
^ Coxeter, Groups generated by Unitary Reflections of Period Two (1956), Table III: Some Complex Polytopes, p.413
^ Coxeter, Complex Regular Polytopes, (1991), 14.6 McMullen's two polyhedral with 84 square faces, pp.166-171
^ Coxeter, Groups generated by Unitary Reflections of Period Two (1956), Table III: Some Complex Polytopes, p.413
^ Coxeter, Groups generated by Unitary Reflections of Period Two (1956), Table III: Some Complex Polytopes, p.413
^ Coxeter, Groups generated by Unitary Reflections of Period Two (1956), Table III: Some Complex Polytopes, p.413
^ Coxeter, Groups generated by Unitary Reflections of Period Two (1956), Table III: Some Complex Polytopes, p.413
^ Coxeter, Complex Regular Polytopes, pp.172-173

References[edit]

Coxeter, H. S. M. and Moser, W. O. J.; Generators and Relations for Discrete Groups (1965), esp pp 67–80.
Coxeter, H.S.M. (1991), Regular Complex Polytopes, Cambridge University Press, ISBN 0-521-39490-2
Coxeter, H. S. M. and Shephard, G.C.; Portraits of a family of complex polytopes, Leonardo Vol 25, No 3/4, (1992), pp 239–244,
Shephard, G.C.; Regular complex polytopes, Proc. London math. Soc. Series 3, Vol 2, (1952), pp 82–97.
G. C. Shephard, J. A. Todd, Finite unitary reflection groups, Canadian Journal of Mathematics. 6(1954), 274-304 [2]^{[permanent dead link]}
Gustav I. Lehrer and Donald E. Taylor, Unitary Reflection Groups, Cambridge University Press 2009