Уравнения телеграфа

Уравнения телеграфа (или просто уравнения телеграфа ) представляют собой пару связанных линейных дифференциальных уравнений в частных производных, которые описывают напряжение и ток в линии электропередачи в зависимости от расстояния и времени . Уравнения взяты у Оливера Хевисайда, который разработал модель линии передачи, начиная с августовской статьи 1876 года « О дополнительном токе» . ^{[1] : 66–67} Модель демонстрирует, что электромагнитные волны могут отражаться на проводе, и вдоль линии могут образовываться волновые узоры.

Теория применима к линиям передачи всех частот, включая постоянный ток и высокую частоту . Первоначально разработанная для описания телеграфных проводов, теория может быть также применена к радиочастотным проводникам , звуковой частоте (например, телефонные линии ), низкой частоте (например, линии электропередачи), и импульсам постоянного тока . Его также можно использовать для электрического моделирования проводных радиоантенн в виде усеченных одножильных линий передачи. ^{[2] : 7–10  [3] : 232}

Распределенные компоненты [ править ]

Схематическое изображение элементарных компонентов линии передачи.

Уравнения телеграфа, как и все другие уравнения, описывающие электрические явления, являются результатом уравнений Максвелла . В более практическом подходе предполагается, что проводники состоят из бесконечного ряда двухполюсных элементарных компонентов, каждый из которых представляет собой бесконечно короткий сегмент линии передачи:

• Распределенное сопротивление проводников представлено последовательным резистором (выраженным в омах на единицу длины). В практических проводниках на более высоких частотах увеличивается примерно пропорционально квадратному корню из частоты из-за скин-эффекта .${\ displaystyle R}$${\ displaystyle R}$
• Распределенная индуктивность (из-за магнитного поля вокруг проводов, самоиндукции и т. Д.) Представлена ​​последовательным индуктором ( генри на единицу длины).${\ displaystyle L}$
• Емкости между двумя проводниками представлены шунтирующим конденсатором C ( фарадами на единицу длину).${\ displaystyle C}$
• Проводимость диэлектрического материала , разделяющего два проводника представлена шунтирующий резистор между проводом сигнала и обратным проводом ( СИМЕНСОМ на единицу длину). Этот резистор в модели имеет сопротивление Ом. учитывает как объемную проводимость диэлектрика, так и диэлектрические потери . Если диэлектрик представляет собой идеальный вакуум, то .${\displaystyle G}$${\displaystyle 1/G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G\equiv 0}$

Модель состоит из бесконечной серии бесконечно малых элементов, показанных на рисунке, и что значения компонентов указаны на единицу длины, поэтому изображение компонента может вводить в заблуждение. Альтернативой обозначения заключается в использовании , , , и , чтобы подчеркнуть , что значения являются производными по отношению к длине. Эти величины могут быть также известны как константы первичных линий отличить от констант вторичных линий , полученных из них, они будучи характеристического импеданса , на постоянной распространения , коэффициента затухания и фазовой проницаемости${\displaystyle R'}$${\displaystyle L'}$${\displaystyle C'}$${\displaystyle G'}$. Все эти константы постоянны по отношению ко времени, напряжению и току. Они могут быть непостоянными функциями частоты.

Роль различных компонентов [ править ]

Роль различных компонентов можно визуализировать на основе анимации справа.

• Индуктивность L делает вид, что ток имеет инерцию - т.е. с большой индуктивностью трудно увеличить или уменьшить ток в любой заданной точке. Большая индуктивность заставляет волну двигаться медленнее, так же как волны движутся по тяжелой веревке медленнее, чем по легкой. Большая индуктивность также увеличивает волновое сопротивление (меньший ток при том же напряжении).
• Емкость C контролирует, насколько сгруппированные электроны в каждом проводнике отталкивают электроны в другом проводнике. Поглощение некоторых из этих сгруппированных электронов снижает скорость волны и ее силу (напряжение). Чем больше емкость, тем меньше отталкивание, потому что другая линия (которая всегда имеет противоположный заряд) частично компенсирует эти силы отталкивания в каждом проводнике. Большая емкость равна (более слабая восстанавливающая сила ), что заставляет волну двигаться немного медленнее, а также дает линии передачи более низкий импеданс (более высокий ток при том же напряжении).
• R соответствует сопротивлению внутри каждой линии, а G позволяет току течь от одной линии к другой. На рисунке справа показана линия передачи без потерь, где R и G равны 0.

Значения первичных параметров телефонного кабеля [ править ]

Типичные данные параметров для телефонного кабеля с полиэтиленовой изоляцией (PIC) сечением 24 сечения при 70 ° F (294 K)

Более подробные таблицы и таблицы для других датчиков, температур и типов доступны в Reeve. ^[4] Чен ^[5] приводит те же данные в параметризованной форме, которые, по его словам, можно использовать на частотах до 50 МГц.

Изменение и в основном связано с скин-эффектом и эффектом близости .${\displaystyle R}$${\displaystyle L}$

Постоянство емкости - следствие продуманного и тщательного проектирования.

Изменение G можно вывести из Термана: «Коэффициент мощности ... имеет тенденцию быть независимым от частоты, поскольку доля энергии, теряемой во время каждого цикла ... практически не зависит от количества циклов в секунду в широком диапазоне частот. . » ^[6] Функция формы с близким к 1,0 будет соответствовать заявлению Термана в. Чен ^[5] дает уравнение аналогичного вида.${\displaystyle G(f)=G_{1}\left({\frac {f}{f_{1}}}\right)^{g_{\mathrm {e} }}}$${\displaystyle g_{\mathrm {e} }}$

G в этой таблице можно смоделировать с помощью

${\displaystyle f_{1}=1\;\mathrm {MHz} }$

${\displaystyle G_{1}=29.11\;\mathrm {\mu S/km} =8.873\;\mathrm {\mu S/{1000ft}} }$

${\displaystyle g_{\mathrm {e} }=0.87}$

Обычно резистивные потери возрастают пропорционально и диэлектрические потери возрастают пропорционально с таким на достаточно высокой частоте, диэлектрические потери превысят резистивные потери. На практике до достижения этой точки используется линия передачи с лучшим диэлектриком. В жестких коаксиальных кабелях на большие расстояния , чтобы получить очень низкие диэлектрические потери, твердый диэлектрик можно заменить воздухом с пластиковыми прокладками через определенные промежутки времени, чтобы центральный проводник находился на оси.${\displaystyle f^{0.5}\,}$${\displaystyle f^{g_{\mathrm {e} }}\,}$${\displaystyle g_{\mathrm {e} }>0.5}$

Уравнения [ править ]

Уравнения телеграфа:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\ \partial }{\partial x}}\ V(x,t)&=-L\ {\frac {\ \partial }{\partial t}}\ I(x,t)-R\ I(x,t)\\[6pt]{\frac {\ \partial }{\partial x}}\ I(x,t)&=-C\ {\frac {\ \partial }{\partial t}}V(x,t)-G\ V(x,t)\end{aligned}}}$

Они могут быть объединены , чтобы получить два уравнения в частных производных , каждый только с одной зависимой переменной, либо или :${\displaystyle V}$${\displaystyle I\,}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {~\ \partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\ V(x,t)-LC\ {\frac {~\ \partial ^{2}}{\ \partial t^{2}}}\ V(x,t)&=(RC+GL)\ {\frac {\ \partial }{\partial t}}\ V(x,t)+GR\ V(x,t)\\[6pt]{\frac {~\ \partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\ I(x,t)-LC\ {\frac {~\ \partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\ I(x,t)&=(RC+GL)\ {\frac {\ \partial }{\partial t}}\ I(x,t)+GR\ I(x,t)\end{aligned}}}$

За исключением зависимой переменной ( или ) формулы идентичны.${\displaystyle \,V}$${\displaystyle I\,}$

Общее решение для оконечных линий конечной длины [ править ]

Позволять

${\displaystyle {\hat {V}}_{in}(\omega )={\frac {1}{\sqrt {2\,\pi }}}\,\int \limits _{-\infty }^{\infty }V_{in}(t)e^{-j\,\omega \,t}\mathrm {d} t}$

- преобразование Фурье входного напряжения , тогда общие решения для напряжения и тока ^{[ необходимы ]}${\displaystyle V_{in}(t)}$

${\displaystyle V(x,t)={\frac {1}{\sqrt {2\,\pi }}}\,\int \limits _{-\infty }^{\infty }H(\omega ,x)\cdot {\hat {V}}_{in}(\omega )\,e^{j\,\omega \,t}\mathrm {d} \omega }$

а также

${\displaystyle I(x,t)=-{\frac {1}{\sqrt {2\,\pi }}}\,\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{Z_{L}'}}\,{\frac {\partial H(\omega ,x)}{\partial x}}\,{\hat {U}}_{in}(\omega )\,e^{j\,\omega \,t}\mathrm {d} \omega }$

с участием

${\displaystyle H(\omega ,x)={\frac {\mathrm {cosh} \left((l-x)\,{\sqrt {\frac {Z_{L}'}{Z_{Q}'}}}\right)+{\frac {\sqrt {Z_{L}'\,Z_{Q}'}}{Z_{T}}}\,\mathrm {sinh} \left((l-x)\,{\sqrt {\frac {Z_{L}'}{Z_{Q}'}}}\right)}{\mathrm {cosh} \left(l\,{\sqrt {\frac {Z_{L}'}{Z_{Q}'}}}\right)+{\frac {\sqrt {Z_{L}'\,Z_{Q}'}}{Z_{T}}}\,\mathrm {sinh} \left(l\,{\sqrt {\frac {Z_{L}'}{Z_{Q}'}}}\right)}}}$

являясь передаточной функцией линии,

${\displaystyle Z_{L}'=j\,\omega \,L+R}$

сопротивление серии, и

${\displaystyle Z_{Q}'={\frac {1}{j\,\omega \,C+G}}}$

сопротивление шунта. Параметр представляет собой общую длину линии. - полное сопротивление электрической оконечной нагрузки . Без прекращения бесконечно.${\displaystyle l}$${\displaystyle Z_{T}}$${\displaystyle Z_{T}}$

Передача без потерь [ править ]

Когда ω L >> R и ω C >> G , сопротивлением можно пренебречь, и линия передачи считается идеальной структурой без потерь. В этом случае модель зависит только от элементов L и C. Уравнения телеграфа затем описывают взаимосвязь между напряжением V и током I вдоль линии передачи, каждое из которых является функцией положения x и времени t :

${\displaystyle V=V(x,t)}$

${\displaystyle I=I(x,t)}$

Уравнения для линий передачи без потерь [ править ]

Сами уравнения состоят из пары связанных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка . Первое уравнение показывает, что индуцированное напряжение связано со скоростью изменения тока через индуктивность кабеля во времени, в то время как второе показывает, аналогично, что ток, потребляемый емкостью кабеля, связан со скоростью изменения во времени. изменение напряжения.

${\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial x}}=-L{\frac {\partial I}{\partial t}}}$

${\displaystyle {\frac {\partial I}{\partial x}}=-C{\frac {\partial V}{\partial t}}}$

Уравнения телеграфа развиты в аналогичной форме в следующих источниках: Краус, ^[7] Хейт, ^[8] Маршалл, ^[9] Садику, ^[10] Харрингтон, ^[11] Каракаш, ^[12] и Мецгер. ^[13]

Эти уравнения можно объединить, чтобы сформировать два точных волновых уравнения , одно для напряжения V , другое для тока I :

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}V}{{\partial t}^{2}}}-u^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{{\partial x}^{2}}}=0}$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}I}{{\partial t}^{2}}}-u^{2}{\frac {\partial ^{2}I}{{\partial x}^{2}}}=0}$

где

${\displaystyle u={\frac {1}{\sqrt {LC}}}}$

- скорость распространения волн, проходящих по линии передачи. Для линий передачи из параллельных идеальных проводников с вакуумом между ними эта скорость равна скорости света.

Синусоидальный установившийся режим [ править ]

В случае синусоидального установившегося состояния (т. Е. Когда приложено чистое синусоидальное напряжение и переходные процессы прекратились), напряжение и ток принимают форму однотональных синусоид:

${\displaystyle V(x,t)=\mathrm {Re} \{V(x)\cdot e^{j\omega t}\}}$

${\displaystyle I(x,t)=\mathrm {Re} \{I(x)\cdot e^{j\omega t}\},}$

где - угловая частота установившейся волны. В этом случае уравнения Телеграфа сводятся к${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle {\frac {dV}{dx}}=-j\omega LI=-L{\frac {dI}{dt}}}$

${\displaystyle {\frac {dI}{dx}}=-j\omega CV=-C{\frac {dV}{dt}}}$

Точно так же волновые уравнения сводятся к

${\displaystyle {\frac {d^{2}V}{dx^{2}}}+k^{2}V=0}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}I}{dx^{2}}}+k^{2}I=0}$

где k - волновое число:

${\displaystyle k=\omega {\sqrt {LC}}={\omega \over u}.}$

Каждое из этих двух уравнений имеет форму одномерного уравнения Гельмгольца .

В случае без потерь можно показать, что

${\displaystyle V(x)=V_{1}e^{-jkx}+V_{2}e^{+jkx}}$

а также

${\displaystyle I(x)={V_{1} \over Z_{0}}e^{-jkx}-{V_{2} \over Z_{0}}e^{+jkx}}$

где - действительная величина, которая может зависеть от частоты, и - характеристический импеданс линии передачи, который для линии без потерь определяется выражением${\displaystyle k}$${\displaystyle Z_{0}}$

${\displaystyle Z_{0}={\sqrt {L \over C}}}$

и и произвольные постоянные интегрирования, которые определяются двумя граничными условиями ( по одному на каждом конце линии передачи).${\displaystyle V_{1}}$${\displaystyle V_{2}}$

Этот импеданс не изменяется по длине линии, поскольку L и C постоянны в любой точке линии, при условии, что геометрия поперечного сечения линии остается постоянной.

Линия без потерь и линия без искажений обсуждаются в Sadiku, ^[14] и Marshall, ^[15]

Общее решение [ править ]

Общее решение волнового уравнения для напряжения представляет собой сумму бегущей волны вперед и бегущей волны назад:

${\displaystyle V(x,t)\ =\ f_{1}(x-ut)+f_{2}(x+ut)}$

где

• ${\displaystyle f_{1}}$и могут быть любыми функциями, и${\displaystyle f_{2}}$
• ${\displaystyle u={\frac {1}{\sqrt {LC}}}}$- скорость распространения сигнала (также известная как фазовая скорость ).

f ₁ представляет волну, движущуюся слева направо в положительном направлении x, тогда как f ₂ представляет волну, движущуюся справа налево. Можно видеть, что мгновенное напряжение в любой точке x на линии является суммой напряжений от обеих волн.

Поскольку ток I связан с напряжением V уравнениями телеграфа, мы можем записать

${\displaystyle I(x,t)\ =\ {\frac {f_{1}(x-ut)}{Z_{0}}}-{\frac {f_{2}(x+ut)}{Z_{0}}}}$

Линия передачи с потерями [ править ]

Когда элементами потерь R и G нельзя пренебречь, дифференциальные уравнения, описывающие элементарный отрезок линии, имеют вид

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial x}}V(x,t)&=-L{\frac {\partial }{\partial t}}I(x,t)-RI(x,t)\\{\frac {\partial }{\partial x}}I(x,t)&=-C{\frac {\partial }{\partial t}}V(x,t)-GV(x,t)\\\end{aligned}}}$

Путем дифференцирования обоих уравнений по x и некоторых алгебраических манипуляций мы получаем пару гиперболических уравнений в частных производных, каждое из которых включает только одно неизвестное:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial ^{2}}{{\partial x}^{2}}}V&=LC{\frac {\partial ^{2}}{{\partial t}^{2}}}V+(RC+GL){\frac {\partial }{\partial t}}V+GRV\\{\frac {\partial ^{2}}{{\partial x}^{2}}}I&=LC{\frac {\partial ^{2}}{{\partial t}^{2}}}I+(RC+GL){\frac {\partial }{\partial t}}I+GRI\\\end{aligned}}}$

Эти уравнения напоминают однородное волновое уравнение с дополнительными членами в V и I и их первыми производными. Эти дополнительные члены вызывают затухание сигнала и его распространение со временем и на расстоянии. Если линия передачи имеет лишь незначительные потери ( R ≪ ωL и G ≪ ωC ), мощность сигнала будет уменьшаться с расстоянием как e ^{- α x} , где ^{[16] : 130}${\displaystyle \alpha \approx {\frac {R}{2Z_{0}}}+{\frac {GZ_{0}}{2}}}$

Примеры сигналов [ править ]

В зависимости от параметров телеграфного уравнения изменения распределения уровней сигнала по длине одномерной передающей среды могут принимать форму простой волны, волны с декрементом или диффузионной модели телеграфного уравнения. Форма диффузионного рисунка обусловлена ​​эффектом шунтирующей емкости.

Антенны [ править ]

Поскольку уравнения, управляющие потоком тока в проволочных антеннах, идентичны уравнениям телеграфа, ^{[2] : 7–10  [3] : 232} антенные сегменты могут быть смоделированы как двусторонние одножильные линии передачи. Антенны разбивается на несколько сегментов линии, причем каждый сегмент имеет примерно постоянные параметры основной линии, R , L , С , и G . ^[а]

На кончике антенны импеданс линии передачи практически бесконечен (эквивалентно, полная проводимость почти равна нулю), и после короткого «скопления» на кончике волна меняет направление и течет обратно к точке питания. Следствием этого является то, что антенный провод переносит волны от точки питания к наконечнику, а затем от наконечника обратно к точке питания. Комбинация перекрывающихся противоположно направленных волн образует знакомые стоячие волны, которые наиболее часто используются при практическом изготовлении антенн. Кроме того, частичные отражения возникают внутри антенны там, где существует несовпадающий импеданс на стыке двух или более элементов, и эти отраженные волны также вносят вклад в стоячие волны по длине провода (проводов). ^{[2] [3]}

Решения уравнений телеграфа как компоненты схемы [ править ]

Этот раздел может потребовать очистки для соответствия стандартам качества Википедии . Конкретная проблема: Плохой стиль Пожалуйста, помогите улучшить этот раздел, если можете. ( Июнь 2012 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Решения телеграфных уравнений могут быть вставлены непосредственно в схему как компоненты. Схема на верхнем рисунке реализует решения уравнений телеграфиста. ^[17]

Нижняя схема получается из верхней схемы преобразованием источника. ^[18] Он также реализует решения телеграфных уравнений.

Решение уравнений телеграфа может быть выражено в виде двухпортовой сети типа ABCD со следующими определяющими уравнениями ^[19]

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{1}&=V_{2}\cosh(\gamma x)+I_{2}Z\sinh(\gamma x)\\I_{1}&=V_{2}{\frac {1}{Z}}\sinh(\gamma x)+I_{2}\cosh(\gamma x).\\\end{aligned}}}$

Двухпортовый тип ABCD дает и как функции, и . Обе схемы, описанные выше, при решении относительно и как функции от и дают в точности одни и те же уравнения.${\displaystyle V_{1}\,}$${\displaystyle I_{1}\,}$${\displaystyle V_{2}\,}$${\displaystyle I_{2}\,}$${\displaystyle V_{1}\,}$${\displaystyle I_{1}\,}$${\displaystyle V_{2}\,}$${\displaystyle I_{2}\,}$

В нижней схеме все напряжения, кроме напряжений портов, относятся к земле, а дифференциальные усилители имеют не показанные соединения с землей. Примером линии передачи, моделируемой этой схемой, может быть сбалансированная линия передачи, такая как телефонная линия. Импедансы Z (s), источники тока, зависящие от напряжения (VDCS) и разностные усилители (треугольник с цифрой «1») учитывают взаимодействие линии передачи с внешней цепью. Блоки T (s) учитывают задержку, затухание, дисперсию и все, что происходит с сигналом в пути. Один из блоков T (s) несет прямую волну, а другой - обратную волну.. Схема, как изображено, полностью симметрична, хотя она не нарисована таким образом. Схема изображена эквивалентна линии передачи , связанной с , чтобы в том смысле , что , , и был бы тем же самым , была ли эта схема подключена или фактическая линия передачи между и . Это не означает, что на самом деле внутри линии передачи есть усилители.${\displaystyle V_{1}\,}$${\displaystyle V_{2}\,}$${\displaystyle V_{1}\,}$${\displaystyle V_{2}\,}$${\displaystyle I_{1}\,}$${\displaystyle I_{2}}$${\displaystyle V_{1}\,}$${\displaystyle V_{2}\,}$

Каждая двухпроводная или симметричная линия передачи имеет неявный (или в некоторых случаях явный) третий провод, который можно назвать экраном, оболочкой, общим, заземлением или заземлением. Таким образом, каждая двухпроводная симметричная линия передачи имеет два режима, которые условно называются дифференциальным и общим режимами. Схема, показанная внизу, моделирует только дифференциальный режим.

В верхней цепи удвоители напряжения, разностные усилители и импедансы Z (s) учитывают взаимодействие линии передачи с внешней цепью. Эта схема, как изображено, также полностью симметрична и тоже не нарисована таким образом. Эта схема является полезным эквивалентом несимметричной линии передачи, такой как коаксиальный кабель или микрополосковая линия.

Это не единственные возможные схемы замещения.

См. Также [ править ]

• Отражения сигналов на проводящих линиях
• Закон квадратов , предварительная работа лорда Кельвина по этому вопросу

Заметки [ править ]

Цитаты [ править ]

Ссылки [ править ]

• Чен, Уолтер Ю. (2004), Основы домашних сетей , Prentice Hall, ISBN 0-13-016511-5
• Харрингтон, Роджер Ф. (1961), гармонические во времени электромагнитные поля , McGraw-Hill
• Хейт, Уильям Х. (1971), Анализ технических цепей (второе изд.), Нью-Йорк, Нью-Йорк: McGraw-Hill, ISBN 0070273820
• Хейт, Уильям (1989), Engineering Electromagnetics (5-е изд.), McGraw-Hill, ISBN 0-07-027406-1
• Хант, Брюс Дж. (2005), Максвеллианцы , издательство Корнельского университета, ISBN 0801482348
• Каракаш, Джон Дж. (1950), Линии передачи и сети фильтров (1-е изд.), Macmillan
• Краус, Джон Д. (1984), Электромагнетизм (3-е изд.), McGraw-Hill, ISBN 0-07-035423-5
• Маршалл, Стэнли В. (1987), Электромагнитные концепции и приложения (1-е изд.), Прентис-Холл, ISBN 0-13-249004-8
• Мецгер, Жорж; Вабре, Жан-Поль (1969), Линии передачи с импульсным возбуждением , Academic Press
• Маккаммон, Рой (июнь 2010 г.), SPICE Моделирование линий передачи с помощью метода телеграфа (PDF) , получено 22 октября 2010 г.; также SPICE-моделирование линий передачи телеграфным методом (часть 1 из 3)
• Рив, Уитман Д. (1995), Справочник по сигнализации и передаче абонентских шлейфов , IEEE Press, ISBN 0-7803-0440-3
• Садику, Мэтью NO (1989), Элементы электромагнетизма (1-е изд.), Saunders College Publishing, ISBN 0030134846
• Терман, Фредерик Эммонс (1943), Справочник радиоинженеров (1-е изд.), McGraw-Hill