Тестирование в моделях индекса двоичного ответа

Эта статья поднимает множество проблем. Пожалуйста, помогите улучшить его или обсудите эти проблемы на странице обсуждения . ( Узнайте, как и когда удалить эти сообщения-шаблоны ) Эта статья - сирота , так как никакие другие статьи не ссылаются на нее . Пожалуйста, введите ссылки на эту страницу из связанных статей ; попробуйте инструмент "Найти ссылку", чтобы получить предложения. ( Декабрь 2015 г. ) Эта статья может быть слишком технической, чтобы ее могло понять большинство читателей . Пожалуйста, помогите улучшить его, чтобы он был понятен неспециалистам , не удаляя технические детали. ( Апрель 2018 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Было предложено объединить эту статью в Обобщенную линейную модель . ( Обсудить ) Предлагается с декабря 2020 года.

Обозначим двоичный ответ индекса модели , как: , где .${\displaystyle P[Y_{i}=1\mid X_{i}]=G(X_{i}\beta )}$${\displaystyle [Y_{i}=0\mid X_{i}]=1-G(X_{i}'\beta )}$${\displaystyle X_{i}\in R^{N}}$

Описание [ править ]

Этот тип модели применяется во многих экономических контекстах, особенно при моделировании поведения, связанного с выбором. Например, здесь обозначает, выбирает ли потребитель покупку определенного вида шоколада, и включает множество переменных, характеризующих особенности потребителя . Через функцию , вероятность выбора для покупки определяется. ^[1]${\displaystyle Y_{i}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle X_{i}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle G(\cdot )}$

Теперь предположим, что его оценка максимального правдоподобия (MLE) имеет асимптотическое распределение, поскольку существует допустимая согласованная оценка для асимптотической дисперсии, обозначенная как . Обычно есть два разных типа гипотез, которые необходимо проверить в модели индекса двоичного ответа.${\displaystyle {\hat {\beta }}_{u}}$${\displaystyle {\sqrt {n}}({\hat {\beta }}_{u}-\beta ){\xrightarrow {d}}N(0,V)}$${\displaystyle V}$${\displaystyle {\hat {V}}}$

Первый тип - это тестирование множественных ограничений исключения, а именно тестирование . Если неограниченный MLE можно легко вычислить, удобно использовать тест Вальда ^[2] , тестовая статистика которого строится как:${\displaystyle \beta _{2}=0with=[\beta _{1};\beta _{2}]where\beta _{2}\in R^{Q}}$

${\displaystyle (D{\hat {\beta }}_{u})^{T}(D{\hat {V}}D^{T}/n)^{-1}(D{\hat {\beta }}_{u}){\xrightarrow {d}}X_{Q}^{2}}$

Где D - диагональная матрица, в которой последние Q диагональных элементов равны 0, а другие - 1. Если ограниченный MLE можно легко вычислить, удобнее использовать тест Score (тест LM) . Обозначим оценку максимального правдоподобия в рамках ограниченной модели как и определим и , где . Затем запустите регрессию OLS на , где и . Статистика LM равна объясненной сумме квадратов из этой регрессии ^[3] и асимптотически распределяется как . Если MLE может быть легко вычислен с использованием как ограниченной, так и неограниченной моделей, тест отношения правдоподобия также является выбором: пусть${\displaystyle ({\hat {\beta }}_{r})}$${\displaystyle {\hat {u}}_{i}\equiv Y_{i}-G(X_{i}'{\hat {\beta }}_{r}),{\hat {G}}_{i}\equiv G(X_{i}'{\hat {\beta }}_{r})}$${\displaystyle {\hat {g}}_{i}\equiv g(X_{i}'{\hat {\beta }}_{r}}$${\displaystyle g(\cdot )=G'(\cdot )}$ ${\displaystyle {\frac {{\hat {u}}_{i}}{\sqrt {({\hat {G}}_{i}(1-{\hat {G}}_{i})}}}}$${\displaystyle {\frac {{\hat {g}}_{i}}{\sqrt {({\hat {G}}_{i}(1-{\hat {G}}_{i})}}}X_{1i}',{\frac {{\hat {g}}_{i}}{\sqrt {({\hat {G}}_{i}(1-{\hat {G}}_{i})}}}X_{2i}'}$${\displaystyle X_{i}=[X_{1i};X_{2i}]}$${\displaystyle X_{2i}\varepsilon R^{Q}}$${\displaystyle X_{Q}^{2}}$${\displaystyle L_{u}}$обозначают значение логарифмической функции правдоподобия в модели без ограничений и позволяют обозначать значение в модели с ограничениями, тогда оно имеет асимптотическое распределение.${\displaystyle L_{r}}$${\displaystyle 2(L_{u}-L_{r})}$${\displaystyle X_{Q}^{2}}$

Второй тип - это проверка нелинейной гипотезы , которая может быть представлена ​​как где - вектор Q × 1, возможно, нелинейных функций, удовлетворяющих требованиям дифференцируемости и ранга. В большинстве случаев непросто или даже невозможно вычислить MLE в рамках ограниченной модели, если включить некоторые сложные нелинейные функции. Следовательно, для решения этой проблемы обычно используется тест Вальда . Статистика теста строится как:${\displaystyle \beta }$${\displaystyle H_{0}:c(\beta )=0}$${\displaystyle c(\beta )}$${\displaystyle c(\beta )}$

${\displaystyle c({\hat {\beta }}_{u}')[\nabla _{\beta }c({\hat {\beta }}_{u}){\hat {V}}\nabla _{\beta }c({\hat {\beta }}_{u})']^{-1}c({\hat {\beta }}_{u}){\xrightarrow {d}}X_{Q}^{2}}$

где - якобиан Q × N, вычисленный в .${\displaystyle \nabla _{\beta }c({\hat {\beta }}_{u})}$${\displaystyle c(\beta )}$${\displaystyle {\hat {\beta }}_{u}}$

Для тестов с очень общими и сложными альтернативами формула статистики теста может иметь не такое же представление, как указано выше. Но мы все еще можем получить формулы, а также его асимптотическое распределение по методе Delta ^[4] и осуществить тест Вальда , тест Score или тест отношения правдоподобия . ^[5] Какой тест следует использовать, определяется относительной сложностью вычислений MLE в ограниченных и неограниченных моделях.

Ссылки [ править ]