Мультимагический квадрат

Эта статья поднимает множество проблем. Пожалуйста, помогите улучшить его или обсудите эти вопросы на странице обсуждения . ( Узнайте, как и когда удалять эти шаблонные сообщения )

Эта статья включает в себя список общих ссылок , но он остается в значительной степени непроверенным, поскольку в нем недостаточно соответствующих встроенных ссылок . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив более точные цитаты. ( Октябрь 2011 г. ) ( узнайте, как и когда удалять это шаблонное сообщение )

Эта статья в значительной степени или полностью опирается на один источник . Соответствующее обсуждение можно найти на странице обсуждения . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив ссылки на дополнительные источники .
Источники поиска: «Мультимагический квадрат» – новости · газеты · книги · ученые · JSTOR ( октябрь 2011 г. )

( Узнайте, как и когда удалить это шаблонное сообщение )

В математике P - мультимагический квадрат (также известный как сатанинский квадрат ) — это магический квадрат , который остается магическим, даже если все его числа заменены их k - й степенью для 1 ≤ k ≤ P. Таким образом, магический квадрат бимагический , если он 2-магический, и тримагический , если он 3-магический; тетрамагический для 4-мультимагического; и пентамагический для 5-мультимагического квадрата.

Константы для нормальных квадратов

Если квадраты нормальные, константа для степенных квадратов может быть определена следующим образом:

Итоги бимагического ряда для бимагических квадратов также связаны с квадратно-пирамидальной числовой последовательностью:
Квадраты 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, .... (последовательность A000290 в OEIS )
Сумма Квадратов 0, 1, 5, 14, 30, 55, 91, 140, 204, 285, ... (последовательность A000330 в OEIS )) количество единиц в квадратной пирамиде)
Бимагический ряд - 1-й, 4-й, 9-й в этой серии (разделенные на 1, 2, 3, n) и т. д., поэтому значения для строк и столбцов в порядке-1, порядке-2, порядке-3 Bimagic квадраты будут 1, 15, 95, 374, 1105, 2701, 5775, 11180, ... (последовательность A052459 в OEIS )

Тримагический ряд будет таким же образом связан с гиперпирамидальной последовательностью вложенных друг в друга кубов.
Кубы 0, 1, 8, 27, 64, 125, 216, ... (последовательность A000578 в OEIS )
Сумма кубов 0, 1, 9, 36, 100, ... (последовательность A000537 в OEIS )
Значение для Тримагические квадраты 1, 50, 675, 4624, ... (последовательность A052460 в OEIS )

Точно так же тетрамагическая последовательность
4-Степень 0, 1, 16, 81, 256, 625, 1296, ... (последовательность A000583 в OEIS )
Сумма 4-Силы 0, 1, 17, 98, 354, 979, 2275, ... (последовательность A000538 в OEIS )
Суммы для тетрамагических квадратов 0, 1, 177, ... (последовательность A052461 в OEIS )

Бимагический квадрат

Бимагический квадрат — это магический квадрат, который остается магическим, когда все его числа заменены их квадратами.

Первый известный бимагический квадрат имеет порядок 8, магическую константу 260 и бимагическую константу 11180.

Бенсен и Якоби предположили, что нетривиальных ^{[ необходимых пояснений ]} бимагических квадратов порядка меньше 8 не существует. Это было показано для магических квадратов, содержащих элементы от 1 до n ² , Бойером и Трампом.

Однако Дж. Р. Хендрикс смог показать в 1998 г., что не существует бимагического квадрата порядка 3, за исключением тривиального бимагического квадрата, содержащего одно и то же число девять раз. Доказательство довольно простое: пусть следующим будет наш бимагический квадрат.

а	б	с
г	е	ф
г	час	я

Хорошо известно, что свойство магических квадратов таково . Аналогично, . Следовательно, . Отсюда следует, что . То же самое верно для всех линий, проходящих через центр. ${\ Displaystyle а + я = 2e}$ ${\ Displaystyle а ^ {2} + я ^ {2} = 2е ^ {2}}$ ${\ displaystyle (ai) ^ {2} = 2 (a ^ {2} + i ^ {2}) - (a + i) ^ {2} = 4e ^ {2} -4e ^ {2} = 0}$ ${\ Displaystyle а = е = я}$

Для квадратов 4 × 4 Люк Пибоди смог показать аналогичными методами, что только бимагические квадраты 4 × 4 (с точностью до симметрии) имеют форму

а	б	с	г
с	г	а	б
г	с	б	а
б	а	г	с

или

а	а	б	б
б	б	а	а
а	а	б	б
б	б	а	а

Бимагический квадрат 8×8.

16	41	36	5	27	62	55	18
26	63	54	19	13	44	33	8
1	40	45	12	22	51	58	31
23	50	59	30	4	37	48	9
38	3	10	47	49	24	29	60
52	21	32	57	39	2	11	46
43	14	7	34	64	25	20	53
61	28	17	56	42	15	6	35

Нетривиальные бимагические квадраты теперь (2010 г.) известны для любого порядка от восьми до 64. Ли Вэнь из Китая создал первые известные бимагические квадраты порядков 34, 37, 38, 41, 43, 46, 47, 53, 58, 59, 61. , 62 заполнение пробелов последними неизвестными заказами.

В 2006 году Ярослав Вроблевски построил ненормальный бимагический квадрат 6-го порядка. Ненормальность означает, что в нем используются непоследовательные целые числа.

Также в 2006 году Ли Моргенштерн построил несколько ненормальных бимагических квадратов 7-го порядка.

Тримагический квадрат

Тримагический квадрат — это магический квадрат, который остается магическим, когда все его числа заменены их кубами.

К настоящему времени обнаружены тримагические квадраты порядков 12, 32, 64, 81 и 128; единственный известный тримагический квадрат 12-го порядка, приведенный ниже, был найден в июне 2002 года немецким математиком Вальтером Трампом .

1	22	33	41	62	66	79	83	104	112	123	144
9	119	45	115	107	93	52	38	30	100	26	136
75	141	35	48	57	14	131	88	97	110	4	70
74	8	106	49	12	43	102	133	96	39	137	71
140	101	124	42	60	37	108	85	103	21	44	5
122	76	142	86	67	126	19	78	59	3	69	23
55	27	95	135	130	89	56	15	10	50	118	90
132	117	68	91	11	99	46	134	54	77	28	13
73	64	2	121	109	32	113	36	24	143	81	72
58	98	84	116	138	16	129	7	29	61	47	87
80	34	105	6	92	127	18	53	139	40	111	65
51	63	31	20	25	128	17	120	125	114	82	94

Более высокого порядка

Первый 4-магический квадрат был построен Чарльзом Девимё в 1983 году и представлял собой квадрат 256-го порядка.

4-магический квадрат порядка 512 был построен в мае 2001 года Андре Вириселем и Кристианом Бойером . ^[1]

Первый 5-магический квадрат порядка 1024 прибыл примерно через месяц, в июне 2001 года, снова Вириселем и Бойером. Они также представили меньший 4-магический квадрат порядка 256 в январе 2003 года. Другой 5-магический квадрат порядка 729 был построен в июне 2003 года Ли Вэнь.

Смотрите также

Магический квадрат
Дьявольский квадрат
Магический куб
Мультимагический куб

использованная литература

^ Тетрамагический квадрат Wolfram MathWorld

Вайсштейн, Эрик В. «Бимагический квадрат» . Мир Математики .
Вайсштейн, Эрик В. "Trimagic Square" . Мир Математики .
Вайсштейн, Эрик В. «Тетрамагический квадрат» . Мир Математики .
Вайсштейн, Эрик В. «Пентамагический квадрат» . Мир Математики .
Вайсштейн, Эрик В. «Мультимагический квадрат» . Мир Математики .

внешняя ссылка

multimagie.com
озадаченный.nl

[1] Тетрамагический квадрат Wolfram MathWorld

16	41	36	5	27	62	55	18
26	63	54	19	13	44	33	8
1	40	45	12	22	51	58	31
23	50	59	30	4	37	48	9
38	3	10	47	49	24	29	60
52	21	32	57	39	2	11	46
43	14	7	34	64	25	20	53
61	28	17	56	42	15	6	35

1	22	33	41	62	66	79	83	104	112	123	144
9	119	45	115	107	93	52	38	30	100	26	136
75	141	35	48	57	14	131	88	97	110	4	70
74	8	106	49	12	43	102	133	96	39	137	71
140	101	124	42	60	37	108	85	103	21	44	5
122	76	142	86	67	126	19	78	59	3	69	23
55	27	95	135	130	89	56	15	10	50	118	90
132	117	68	91	11	99	46	134	54	77	28	13
73	64	2	121	109	32	113	36	24	143	81	72
58	98	84	116	138	16	129	7	29	61	47	87
80	34	105	6	92	127	18	53	139	40	111	65
51	63	31	20	25	128	17	120	125	114	82	94

16	41	36	5	27	62	55	18
26	63	54	19	13	44	33	8
1	40	45	12	22	51	58	31
23	50	59	30	4	37	48	9
38	3	10	47	49	24	29	60
52	21	32	57	39	2	11	46
43	14	7	34	64	25	20	53
61	28	17	56	42	15	6	35

1	22	33	41	62	66	79	83	104	112	123	144
9	119	45	115	107	93	52	38	30	100	26	136
75	141	35	48	57	14	131	88	97	110	4	70
74	8	106	49	12	43	102	133	96	39	137	71
140	101	124	42	60	37	108	85	103	21	44	5
122	76	142	86	67	126	19	78	59	3	69	23
55	27	95	135	130	89	56	15	10	50	118	90
132	117	68	91	11	99	46	134	54	77	28	13
73	64	2	121	109	32	113	36	24	143	81	72
58	98	84	116	138	16	129	7	29	61	47	87
80	34	105	6	92	127	18	53	139	40	111	65
51	63	31	20	25	128	17	120	125	114	82	94

16	41	36	5	27	62	55	18
26	63	54	19	13	44	33	8
1	40	45	12	22	51	58	31
23	50	59	30	4	37	48	9
38	3	10	47	49	24	29	60
52	21	32	57	39	2	11	46
43	14	7	34	64	25	20	53
61	28	17	56	42	15	6	35

1	22	33	41	62	66	79	83	104	112	123	144
9	119	45	115	107	93	52	38	30	100	26	136
75	141	35	48	57	14	131	88	97	110	4	70
74	8	106	49	12	43	102	133	96	39	137	71
140	101	124	42	60	37	108	85	103	21	44	5
122	76	142	86	67	126	19	78	59	3	69	23
55	27	95	135	130	89	56	15	10	50	118	90
132	117	68	91	11	99	46	134	54	77	28	13
73	64	2	121	109	32	113	36	24	143	81	72
58	98	84	116	138	16	129	7	29	61	47	87
80	34	105	6	92	127	18	53	139	40	111	65
51	63	31	20	25	128	17	120	125	114	82	94