Лампа Томсона - это философская головоломка, основанная на бесконечности. Он был изобретен в 1954 году британским философом Джеймсом Ф. Томсоном , который использовал его для анализа возможности сверхзадачи , то есть выполнения бесконечного числа задач.
Время | Состояние |
---|---|
0,000 | На |
1.000 | Выключенный |
1.500 | На |
1,750 | Выключенный |
1,875 | На |
... | ... |
2.000 | ? |
Рассмотрим лампу с тумблером . Одно нажатие переключателя включает лампу. Еще одно движение выключит лампу. Теперь предположим, что есть существо, которое может выполнить следующую задачу: запустив таймер, он включает лампу. По истечении одной минуты он выключает его. Через полминуты он снова его включает. По прошествии еще четверти минуты он его выключает. В следующую восьмую минуту он снова включает его и продолжает, щелкая переключателем каждый раз после ожидания ровно половину времени, которое он ожидал перед тем, как щелкнуть его ранее. [1] Сумма этой бесконечной серии интервалов времени составляет ровно две минуты. [2]
Затем рассматривается следующий вопрос: горит или гаснет лампа через две минуты? [1] Томсон рассуждал, что эта сверхзадача создает противоречие:
Ответить на этот вопрос кажется невозможным. Не может быть, потому что ни разу не включил, не выключив сразу. Он не может быть выключен, потому что я его в первую очередь включил, а потом никогда не выключал, не включив сразу. Но лампа должна быть либо включена, либо выключена. Получили противоречие. [1]
Математическая аналогия рядов
Вопрос связан с поведением ряда Гранди , т.е. расходящегося бесконечного ряда.
- S = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + · · ·
Для четных значений n сумма указанного выше конечного ряда равна 1; для нечетных значений он суммируется до 0. Другими словами, поскольку n принимает значения каждого из неотрицательных целых чисел 0, 1, 2, 3, ... по очереди, серия генерирует последовательность {1, 0, 1, 0, ...}, представляющие изменяющееся состояние лампы. [3] Последовательность не сходится, поскольку n стремится к бесконечности, так же как и бесконечный ряд.
Другой способ проиллюстрировать эту проблему - переставить ряды:
- S = 1 - (1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + · · ·)
Серия бесконечна в скобках точно так же , как оригинал серии S . Это означает, что S = 1 - S, что означает S = 1 ⁄ 2 . Фактически, эта манипуляция может быть строго оправдана: существуют обобщенные определения сумм рядов, которые присваивают ряду Гранди значение 1 ⁄ 2 .
Одна из целей Томсона в его оригинальной статье 1954 года - отличить сверхзадачи от их серийных аналогий. Он пишет о лампе и серии Гранди,
Тогда вопрос, горит ли лампа или нет… это вопрос: какова сумма бесконечной расходящейся последовательности
+1, -1, +1, ...?
Математики действительно говорят, что у этой последовательности есть сумма; говорят, что его сумма составляет 1 ⁄ 2 . И этот ответ нам не поможет, так как мы не придаем здесь смысла утверждать, что лампа наполовину включена. Я считаю, что это означает, что не существует установленного метода принятия решения о том, что делать, когда сверхзадача выполнена. … Нельзя ожидать , что мы подхватим эту идею только потому, что у нас есть представление о том, что задача или задачи были выполнены, и потому, что мы знакомы с трансфинитными числами. [4]
Позже он утверждает, что даже расхождение ряда не дает информации о его сверхзадаче: «Невозможность сверхзадачи вообще не зависит от того, сходится или расходится некоторая неопределенно связанная арифметическая последовательность. . " [5]
Смотрите также
Заметки
- ^ a b c Томсон 1954 , стр. 5.
- Перейти ↑ Thomson 1954 , p. 9.
- Перейти ↑ Thomson 1954 , p. 6.
- ^ Томсон стр.6. По математике и ее истории он цитирует книги Харди и Вайсманна, о которых см. Серию статей « История Гранди» .
- Перейти ↑ Thomson 1954 , p. 7.
Рекомендации
- Аллен, Бенджамин Уильям (2008). Зенон, Аристотель, Ипподром и Ахилл: историческое и философское исследование . Нью-Брансуик, штат Нью-Джерси: Рутгерс, Государственный университет Нью-Джерси. С. 209–210. ISBN 9781109058437.
- Бенацерраф, Пол (1962). «Задачи, сверхзадачи и современные элеаты». Журнал философии . 59 (24): 765–784. DOI : 10.2307 / 2023500 . JSTOR 2023500 .
- Хаггетт, Ник (2010). Везде и везде: Приключения по физике и философии: Приключения по физике и философии . Издательство Оксфордского университета. С. 22–23. ISBN 9780199702114.
- Томсон, Джеймс Ф. (октябрь 1954 г.). «Задачи и сверхзадачи». Анализ . Анализ, Vol. 15, No. 1. 15 (1): 1–13. DOI : 10.2307 / 3326643 . JSTOR 3326643 .
- Эрман, Джон и Нортон, Джон (1996) Бесконечные боли: проблема со сверхзадачами. В Benacerraf and his Critics , Adam Morton and Stephen P. Stich (Eds.), P. 231-261.