Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
«Парадокс стрелы» перенаправляется сюда. И другие значения, см. Парадокс стрелы (значения) .

Парадоксы Зенона - это набор философских проблем, которые, как обычно полагают, были придуманы греческим философом Зеноном Элейским (ок. 490–430 до н. Э.) Для поддержки учения Парменида о том, что, вопреки свидетельствам наших чувств, вера во множественность и перемены ошибочна , и в частности это движение - не что иное, как иллюзия . Обычно предполагается, что, основываясь на « Пармениде» Платона (128a – d), Зенон взялся за создание этих парадоксов.потому что другие философы создавали парадоксы против взглядов Парменида. Таким образом, Платон заставил Зенона сказать, что цель парадоксов «состоит в том, чтобы показать, что их гипотеза о том, что существует множество сущностей, при правильном рассмотрении приводит к еще более абсурдным результатам, чем гипотеза о том, что они являются одним целым». [1] Платон утверждает, что Сократ утверждает, что Зенон и Парменид, по сути, доказывали одну и ту же точку зрения. [2]

Некоторые из девяти сохранившихся парадоксов Зенона (сохранившихся в « Физике» Аристотеля [3] [4] и комментарии Симплициуса к нему) по существу эквивалентны друг другу. Аристотель предложил опровержение некоторых из них. [3] Три из самых сильных и самых известных - аргумент Ахилла и черепахи, аргумент дихотомии и аргумент летящей стрелы - подробно представлены ниже.

Аргументы Зенона, возможно, являются первыми примерами метода доказательства, называемого reductio ad absurdum , также известного как доказательство от противоречия . Они также считаются источником диалектического метода, используемого Сократом. [5]

Некоторые математики и историки, такие как Карл Бойер , считают, что парадоксы Зенона - это просто математические проблемы, для которых современное исчисление дает математическое решение. [6] Некоторые философы , однако, говорят, что парадоксы Зенона и их вариации (см. Лампу Томсона ) остаются актуальными метафизическими проблемами. [7] [8] [9]

Истоки парадоксов несколько неясны. Диоген Лаэртий , четвертый источник информации о Зеноне и его учении, цитируя Фаворина , говорит, что учитель Зенона Парменид был первым, кто представил парадокс Ахилла и черепахи. Но в более позднем отрывке Лаэртиус приписывает происхождение парадокса Зенону, объясняя, что Фаворин не согласен. [10]

Парадоксы движения [ править ]

Парадокс дихотомии [ править ]

То, что находится в движении, должно достигнуть промежуточной стадии, прежде чем достигнет цели.

-  как рассказывает Аристотель , Physics VI: 9, 239b10.

Предположим, Аталанта хочет пройти до конца пути. Прежде чем она сможет добраться туда, она должна пройти половину пути. Прежде чем она сможет пройти половину пути, она должна пройти четверть пути. Прежде чем проехать квартал, она должна проехать одну восьмую; перед восьмым - одна шестнадцатая; и так далее.

Дихотомия

Результирующая последовательность может быть представлена ​​как:

Это описание требует выполнения бесконечного количества задач, что, по мнению Зенона, невозможно. [11]

Эта последовательность также представляет собой вторую проблему, поскольку она не содержит первой дистанции для бега, поскольку любое возможное ( конечное ) первое расстояние может быть разделено пополам и, следовательно, не будет первым в конце концов. Следовательно, путешествие не может даже начаться. Таким образом, парадоксальным выводом будет то, что путешествие на любое конечное расстояние нельзя ни завершить, ни начать, и поэтому любое движение должно быть иллюзией . [12]

Этот аргумент называется « дихотомией », потому что он включает многократное разделение расстояния на две части. Пример с первоначальным смыслом можно найти в асимптоте . Это также известно как парадокс гоночной трассы .

Ахиллес и черепаха [ править ]

"Ахиллес и черепаха" перенаправляется сюда. Для использования в других целях, см Ахилл и Черепаха (значения) .
Смотрите также: Бесконечность § Зенон: Ахиллес и черепаха
Ахиллес и черепаха

В гонке самый быстрый бегун никогда не может обогнать самого медленного, поскольку преследователь должен сначала достичь точки, откуда преследуемый начал, так что более медленный всегда должен удерживать лидерство.

-  как рассказывает Аристотель , Physics VI: 9, 239b15.

В парадоксе Ахилла и черепахи, Ахилл в гонке с черепахой. Ахиллес позволяет черепахе, например, стартовать на 100 метров. Предположим, что каждый гонщик начинает бежать с некоторой постоянной скоростью, один быстрее другого. По прошествии некоторого конечного времени Ахиллес пробежит 100 метров, приведя его к исходной точке черепахи. За это время черепаха пробежала гораздо меньшее расстояние, скажем, 2 метра. Затем Ахиллу потребуется некоторое время, чтобы пробежать это расстояние, и к этому времени черепаха продвинется дальше; а затем еще время, чтобы достичь этой третьей точки, пока черепаха движется вперед. Таким образом, всякий раз, когда Ахиллес прибывает куда-нибудь, где была черепаха, ему еще нужно пройти некоторое расстояние, прежде чем он сможет даже добраться до черепахи. Как заметил Аристотель, этот аргумент подобен дихотомии. [13] Однако в нем отсутствует очевидный вывод о неподвижности.

Парадокс стрел [ править ]

Стрелка
Не путать с другими одноименными парадоксами .

Если все, занимая равное пространство, находится в покое в этот момент времени, и если то, что находится в движении, всегда занимает такое пространство в любой момент, летящая стрела, следовательно, неподвижна в этот момент времени и в следующий момент. времени, но если оба момента времени приняты как один и тот же момент или непрерывный момент времени, то он находится в движении. [14]

-  как рассказывает Аристотель , Physics VI: 9, 239b5.

В парадоксе со стрелками Зенон утверждает, что для того, чтобы произошло движение, объект должен изменить положение, которое он занимает. Он приводит пример летящей стрелы. Он утверждает, что в любой момент времени (без продолжительности) стрелка не движется ни туда, где она есть, ни туда, где ее нет. [15] Он не может переместиться туда, где его нет, потому что не проходит времени, чтобы переместиться туда; он не может переместиться туда, где он есть, потому что он уже там. Другими словами, в каждый момент времени движения не происходит. Если в каждое мгновение все неподвижно, а время целиком состоит из мгновений, движение невозможно.

В то время как первые два парадокса делят пространство, этот парадокс начинается с разделения времени - и не на сегменты, а на точки. [16]

Три других парадокса, описанные Аристотелем [ править ]

Парадокс места [ править ]

От Аристотеля:

Если всему, что существует, есть место, то и месту будет место, и так до бесконечности . [17]

Парадокс проса [ править ]

Описание парадокса из Философского словаря Рутледжа :

Аргумент состоит в том, что одно зернышко проса не издает звука при падении, но тысяча крупинок издают звук. Отсюда тысяча пустяков становится чем-то абсурдным. [18]

Опровержение Аристотеля:

Зенон ошибается, говоря, что нет ни одной части проса, которая не издавала бы звука: потому что нет причины, по которой любая такая часть не должна в течение какого-либо промежутка времени переставать двигаться в воздухе, при падении которого движется весь бушель. Фактически, он сам по себе не перемещает даже такое количество воздуха, как он двигался бы, если бы эта часть была сама по себе: поскольку никакая часть даже не существует иначе, как потенциально. [19]

Описание от Ника Хаггетта:

Это аргумент Парменида о том, что нельзя доверять своему слуху. Кажется, что ответ Аристотеля состоит в том, что даже неслышимые звуки могут усилить слышимый звук. [20]

Движущиеся ряды (или стадион) [ править ]

Движущиеся строки

От Аристотеля:

... что касается двух рядов тел, каждый ряд состоит из равного числа тел равного размера, проходящих друг через друга по гоночной трассе, поскольку они движутся с одинаковой скоростью в противоположных направлениях, причем один ряд первоначально занимал пространство между цель и средняя точка трассы, а другая - между средней точкой и стартовой стойкой. Это ... включает вывод, что половина данного времени равна удвоенному времени. [21]

Для более подробного изложения аргументов Зенона, представленных Аристотелем, см. Комментарий Симплициуса « О физике Аристотеля» . [ требуется полная ссылка ]

Предлагаемые решения [ править ]

Диоген Циник [ править ]

Согласно Симплициусу , Диоген Киник ничего не сказал, услышав аргументы Зенона, но встал и пошел, чтобы продемонстрировать ложность выводов Зенона (см. Solvitur ambulando ). Однако, чтобы полностью разрешить любой из парадоксов, нужно показать, что не так в аргументе, а не только в выводах. На протяжении всей истории было предложено несколько решений, среди самых ранних записанных были решения Аристотеля и Архимеда.

Аристотель [ править ]

Аристотель (384 г. до н.э. - 322 г. до н.э.) заметил, что по мере уменьшения расстояния время, необходимое для преодоления этих расстояний, также уменьшается, так что необходимое время также становится все меньше. [22] [ неудавшаяся проверка ] [23] Аристотель также отличал «вещи, бесконечные в отношении делимости» (такие как единица пространства, которую можно мысленно разделить на все меньшие единицы, оставаясь при этом пространственно неизменными) от вещей (или расстояний), которые бесконечны по протяженности («относительно их концов»). [24] Возражение Аристотеля против парадокса стрелы заключалось в том, что «Время не состоит из неделимых моментов больше, чем любая другая величина состоит из неделимых». [25]

Архимед [ править ]

До 212 г. до н.э. Архимед разработал метод получения конечного ответа для суммы бесконечно большого числа членов, которые становятся все меньше и меньше. (См .: Геометрические ряды , 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + · · · , Квадратура параболы .) Его аргумент, применяя метод исчерпания, чтобы доказать, что рассматриваемая бесконечная сумма является равна площади определенного квадрата, в значительной степени геометрическая, но довольно строгая. Сегодняшний анализ дает тот же результат с использованием пределов (см. Сходящиеся ряды). Эти методы позволяют строить решения на основе условий, установленных Зеноном, т.е. количество времени, затрачиваемого на каждый шаг, геометрически уменьшается. [6] [26]

Фома Аквинский [ править ]

Фома Аквинский , комментируя возражение Аристотеля, писал: «Мгновения не являются частями времени, поскольку время состоит из мгновений не больше, чем величина состоит из точек, как мы уже доказали. Отсюда не следует, что вещь есть. не движется в данный момент времени только потому, что не движется ни в один момент этого времени ». [27]

Бертран Рассел [ править ]

Бертран Рассел предложил то, что известно как «теория движения на атаку». Он соглашается с тем, что не может быть движения «в течение» непродолжительного момента, и утверждает, что все, что требуется для движения, - это чтобы стрелка была в одной точке в один момент, в другой точке в другой раз и в соответствующих точках между этими двумя точками. за промежуточные времена. С этой точки зрения движение - это просто изменение положения с течением времени. [28] [29]

Герман Вейль [ править ]

Другое предлагаемое решение - поставить под сомнение одно из предположений, которые Зенон использовал в своих парадоксах (в частности, Дихотомии), а именно, что между любыми двумя разными точками в пространстве (или времени) всегда есть другая точка. Без этого предположения существует только конечное число расстояний между двумя точками, следовательно, нет бесконечной последовательности движений, и парадокс разрешен. Согласно Герману Вейлю , предположение о том, что пространство состоит из конечных и дискретных единиц, является предметом еще одной проблемы, связанной с « аргументом плитки » или «проблемой функции расстояния». [30] [31]Согласно этому, длина гипотенузы прямоугольного треугольника в дискретизированном пространстве всегда равна длине одной из двух сторон, что противоречит геометрии. Жан Поль Ван Бендегем утверждал, что аргумент плитки может быть разрешен, и поэтому дискретизация может устранить парадокс. [6] [32]

Анри Бергсон [ править ]

Альтернативный вывод, предложенный Анри Бергсоном в его книге « Материя и память» 1896 года , состоит в том, что, хотя путь делится, движение - нет. [33] Согласно этому аргументу, моменты времени и мгновенные величины физически не существуют. Объект, находящийся в относительном движении, не может иметь мгновенное или определенное относительное положение, и поэтому его движение нельзя разделить на части.

Питер Линдс [ править ]

В 2003 году Питер Линдс выдвинул очень похожий аргумент: все парадоксы движения Зенона разрешаются выводом о том, что мгновений во времени и мгновенных величин физически не существует. [34] [35] [36] [37] Линдс утверждает, что объект, находящийся в относительном движении, не может иметь мгновенное или определенное относительное положение (поскольку, если бы это было так, он не мог бы двигаться), и поэтому его движение нельзя было бы частично разделить. как будто это так, как предполагают парадоксы. Подробнее о невозможности узнать скорость и местоположение см. Принцип неопределенности Гейзенберга .

Ник Хаггетт [ править ]

Ник Хаггетт утверждает, что Зенон делает вывод, когда говорит, что объекты, занимающие то же пространство, что и в состоянии покоя, должны находиться в состоянии покоя. [16]

Парадоксы современности [ править ]

Теоретически бесконечные процессы оставались в математике проблематичными до конца XIX века. Эпсилон-дельта - версия Вейерштрасса и Коши разработала строгую формулировку логики и исчисления вовлеченной. Эти работы разрешили математику, включающую бесконечные процессы. [38] [39]

В то время как математика может вычислить, где и когда движущийся Ахиллес догонит Черепаху из парадокса Зенона, такие философы, как Кевин Браун [7] и Муркрофт [8], утверждают, что математика не обращается к центральному пункту аргументации Зенона и что решает математические проблемы не решает всех возникающих парадоксов.

Популярная литература часто искажает аргументы Зенона. Например, Зенон часто утверждал, что сумма бесконечного числа членов должна быть бесконечной, в результате чего не только время, но и расстояние, которое нужно пройти, становятся бесконечными. [40] Том Стоппард предлагает юмористический подход в его пьесе «Прыгуны» (1972), в которой главный герой, профессор философии Джордж Мур, предполагает, что, согласно парадоксу Зенона, святой Себастьян , христианский святой 3-го века, замученный застрелом. со стрелами умер от испуга. Однако ни в одном из первоисточников древних источников Зенон не обсуждает сумму каких-либо бесконечных рядов. СимплициусЗенон сказал, что «невозможно пройти бесконечное количество вещей за конечное время». Это представляет проблему Зенона не с нахождением суммы , а с завершением задачи с бесконечным числом шагов: как можно когда-либо перейти от A к B, если можно идентифицировать бесконечное количество (не мгновенных) событий, которые необходимо предшествуют приходу в B, и нельзя дойти даже до начала «последнего события»? [7] [8] [9] [41]

Споры продолжаются по вопросу о том, разрешены ли парадоксы Зенона. В «Истории математики: введение» (2010) Бертон пишет: «Хотя аргумент Зенона сбил с толку его современников, удовлетворительное объяснение включает в себя уже знакомую идею - понятие« сходящегося бесконечного ряда »». [42]

Бертран Рассел предложил «решение» к парадоксам , основанных на работе Георга Кантора , [43] , но Браун делает вывод «Учитывая историю„окончательных резолюций“, от Аристотеля и далее, это, вероятно , безрассудно думать , что мы достигли конца. Возможно, аргументы Зенона о движении из-за их простоты и универсальности всегда будут служить своего рода «образом Роршаха», на который люди могут проецировать свои самые фундаментальные феноменологические проблемы (если они у них есть) ». [7]

Подобное древнекитайское философское соображение [ править ]

Древние китайские философы из моистской школы имен во время периода Сражающихся царств Китая (479-221 до н.э.) разработали эквиваленты некоторых парадоксов Зенона. [44] Ученый и историк сэр Джозеф Нидхэм в своей книге « Наука и цивилизация в Китае» описывает древний китайский парадокс из сохранившейся книги логики Моистской школы имён, в которой говорится архаичным древнекитайским письмом., «одноногая палка, убирай каждый день половину, через мириады веков она не иссякнет». Известно несколько других парадоксов этой философской школы (точнее движения), но их современная интерпретация более умозрительна.

Квантовый эффект Зенона [ править ]

Основная статья: Квантовый эффект Зенона

В 1977 г. [45] физики EC Джордж Сударшан и Б. Мисра обнаружили, что динамическая эволюция (движение) квантовой системы может быть затруднена (или даже подавлена) посредством наблюдения за системой. [46] Этот эффект обычно называют «квантовым эффектом Зенона», поскольку он сильно напоминает парадокс стрелы Зенона. Впервые этот эффект был теоретизирован в 1958 г. [47]

Поведение Зенона [ править ]

В области проверки и проектирования синхронизированных и гибридных систем поведение системы называется зеноном, если оно включает бесконечное количество дискретных шагов за конечный промежуток времени. [48] Некоторые формальные методы проверки исключают такое поведение из анализа, если оно не эквивалентно поведению, отличному от Зенона. [49] [50] При проектировании систем это поведение также часто исключается из системных моделей, поскольку они не могут быть реализованы с помощью цифрового контроллера. [51]

Льюис Кэрролл и Дуглас Хофштадтер [ править ]

Парадокс Кэрролла , [52] написана в 1895 году Льюис Кэрролл , была предпринята попытка выявить аналогичный парадокс в области чистой логики. Если аргумент Кэрролла верен, то подразумевается, что парадоксы движения Зенона, по сути, не являются проблемами пространства и времени, а непосредственно затрагивают суть самого рассуждения. Дуглас Хофштадтер сделал статью Кэрролла центральным элементом своей книги « Гедель, Эшер, Бах: вечная золотая коса» , написав еще много диалогов между Ахиллесом и Черепахой, чтобы прояснить свои аргументы. Хофштадтер связывает парадоксы Зенона с теоремой Гёделя о неполноте в попытке продемонстрировать, что проблемы, поднятые Зеноном, распространены и проявляются в формальной теории систем, вычислениях и философии разума.

См. Также [ править ]

  • Несоизмеримые величины
  • Философия пространства и времени
  • Перенормировка
  • Парадокс Росса – Литтлвуда
  • Школа Имен
  • Сверхзадача
  • « Что черепаха сказала Ахиллу », аллегорический диалог об основах логики Льюиса Кэрролла (1895).
  • Зенон машина
  • Список парадоксов

Примечания [ править ]

  1. ^ Парменид 128d
  2. ^ Парменид 128a – b
  3. ^ a b Физика Аристотеля «Физика» Аристотеля в переводе Р.П. Харди и Р.К. Гай
  4. ^ «Греческий текст« Физики »Аристотеля (см. §4 в верхней части видимой области экрана)» . Архивировано из оригинала на 2008-05-16.
  5. ^ ([фрагмент 65], Diogenes Laërtius. IX 25ff и VIII 57).
  6. ^ a b c Бойер, Карл (1959). История математического анализа и его концептуальное развитие . Dover Publications. п. 295 . ISBN 978-0-486-60509-8. Проверено 26 февраля 2010 . Если парадоксы выражаются таким образом в точной математической терминологии непрерывных переменных (...), кажущиеся противоречия разрешаются сами собой.
  7. ^ a b c d Браун, Кевин. «Зенон и парадокс движения» . Размышления о теории относительности . Архивировано из оригинала на 2012-12-05 . Проверено 6 июня 2010 .
  8. ^ a b c Муркрофт, Фрэнсис. «Парадокс Зенона» . Архивировано из оригинала на 2010-04-18.
  9. ^ а б Папа-Гримальди, Альба (1996). «Почему математические решения парадоксов Зенона упускают из виду: взаимосвязь Зенона« один и множество »и запрет Парменида» (PDF) . Обзор метафизики . 50 : 299–314.
  10. ^ Диоген Лаэртиус, Жития , 9.23 и 9.29.
  11. ^ Линдберг, Дэвид (2007). Начало западной науки (2-е изд.). Издательство Чикагского университета. п. 33. ISBN 978-0-226-48205-7.
  12. ^ Хаггетт, Ник (2010). «Парадоксы Зенона: 3.1 Дихотомия» . Стэнфордская энциклопедия философии . Проверено 7 марта 2011 .
  13. ^ Хаггетт, Ник (2010). «Парадоксы Зенона: 3.2 Ахилл и черепаха» . Стэнфордская энциклопедия философии . Проверено 7 марта 2011 .
  14. ^ Аристотель. «Физика» . Архив интернет-классики . Однако рассуждения Зенона ошибочны, когда он говорит, что если все, занимая равное пространство, находится в состоянии покоя и если то, что находится в движении, всегда занимает такое пространство в любой момент, летящая стрела, следовательно, неподвижна. Это неверно, поскольку время состоит из неделимых моментов не больше, чем любая другая величина состоит из неделимых.
  15. ^ Лаэртским, Диоген (с. 230). «Пиррон» . Жизни и мнения выдающихся философов . IX . отрывок 72. ISBN 1-116-71900-2.
  16. ^ a b Хаггетт, Ник (2010). «Парадоксы Зенона: 3.3 Стрела» . Стэнфордская энциклопедия философии . Проверено 7 марта 2011 .
  17. ^ Аристотель Физика IV: 1, 209a25
  18. ^ Майкл Праудфут, AR Lace. Философский словарь Рутледжа. Рутледж 2009, стр. 445
  19. ^ Аристотель Физика VII: 5, 250a20
  20. ^ Хаггетт, Ник, "Парадоксы Зенона", Стэнфордская энциклопедия философии (издание зима 2010 г.), Эдвард Н. Залта (редактор), http://plato.stanford.edu/entries/paradox-zeno/#GraMil
  21. ^ Аристотель Физика VI: 9, 239b33
  22. ^ Аристотель. Физика 6.9
  23. ^ Наблюдение Аристотеля о том, что дробные времена также становятся короче, не всегда гарантирует, что задача может быть выполнена. Один случай, когда это не выполняется, - это тот случай, когда дробное время уменьшается в гармоническом ряду , а расстояния уменьшаются геометрически, например: 1/2 с для усиления 1/2 м, 1/3 с для следующих 1/4 м, 1/4 с для следующего усиления 1/8 м, 1/5 с для следующего усиления 1/16 м, 1/6 с для следующего усиления 1/32 м и т. д. В этом случае расстояния образуют сходящуюся серии, но времена образуют расходящийся ряд , сумма которого не имеет предела. [ оригинальное исследование? ] Архимед разработал более явный математический подход, чем Аристотель.
  24. ^ Аристотель. Физика 6.9; 6.2, 233a21-31
  25. ^ Аристотель. Физика . VI . Часть 9 стих: 239b5. ISBN 0-585-09205-2.
  26. ^ Джордж Б. Томас, Исчисление и аналитическая геометрия , Эддисон Уэсли, 1951
  27. ↑ Аквинский. Комментарий к физике Аристотеля, книга 6.861
  28. ^ Хаггетт, Ник (1999). Космос от Зенона до Эйнштейна . ISBN 0-262-08271-3.
  29. Перейти ↑ Salmon, Wesley C. (1998). Причинно-следственная связь и объяснение . п. 198. ISBN 978-0-19-510864-4.
  30. ^ Ван Bendegem, Жан - Поль (17 марта 2010). «Конечность в геометрии» . Стэнфордская энциклопедия философии . Проверено 3 января 2012 .
  31. ↑ Коэн, Марк (11 декабря 2000). «АТОМИЗМ» . История античной философии, Вашингтонский университет . Архивировано из оригинала 12 июля 2010 года . Проверено 3 января 2012 .
  32. ^ Ван Бендегем, Жан Поль (1987). «Обсуждение: парадоксы Зенона и аргумент плитки». Философия науки . Бельгия. 54 (2): 295–302. DOI : 10.1086 / 289379 . JSTOR 187807 . 
  33. ^ Бергсон, Анри (1896). Matière et Mémoire [ Материя и память ] (PDF) . Перевод 1911 года Нэнси Маргарет Пол и У. Скотт Палмер. Джордж Аллен и Анвин. С. 77–78 PDF-файла.
  34. ^ «Парадоксы Зенона: своевременное решение» . Январь 2003 г.
  35. ^ Линдс, Питер. Время, классическая и квантовая механика: неопределенность против прерывности. Письмо «Основы физики» (том 16, выпуск 4, 2003 г.). DOI: 10.1023 / A: 1025361725408
  36. ↑ Time's Up, Эйнштейн , Джош МакХью, Wired Magazine , июнь 2005 г.
  37. ^ С.Е. Роббинс (2004) О времени, памяти и динамической форме . Consciousness and Cognition 13 (4), 762-788: «Линдс, его рецензенты и консультанты (например, JJC Smart), очевидно, не знают о его абсолютном превосходстве над Бергсоном»
  38. ^ Ли, Гарольд (1965). «Парадоксы Зенона основаны на ошибке?». Разум . Издательство Оксфордского университета. 74 (296): 563–570. DOI : 10,1093 / ум / LXXIV.296.563 . JSTOR 2251675 . 
  39. ^ Б. Рассел (1956) Математика и метафизики в "Мире математики" (редактор Дж . Р. Ньюман ), стр 1576-1590.
  40. ^ Бенсон, Дональд С. (1999). Момент доказательства: математические прозрения . Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета. п. 14 . ISBN 978-0195117219.
  41. ^ Хаггетт, Ник (2010). «Парадоксы Зенона: 5. Влияние Зенона на философию» . Стэнфордская энциклопедия философии . Проверено 7 марта 2011 .
  42. ^ Бертон, Дэвид, История математики: Введение , McGraw Hill, 2010, ISBN 978-0-07-338315-6 
  43. ^ Рассел, Бертран (2002) [Впервые опубликовано в 1914 году издательством Open Court Publishing Company]. «Лекция 6. Проблема бесконечности в историческом аспекте». Наше знание внешнего мира: как область научного метода в философии . Рутледж. п. 169. ISBN. 0-415-09605-7.
  44. ^ "Школа имен> Разные парадоксы (Стэнфордская энциклопедия философии)" . plato.stanford.edu . Проверено 30 января 2020 .
  45. ^ Сударшан, ЭКГ ; Мисра, Б. (1977). «Парадокс Зенона в квантовой теории» (PDF) . Журнал математической физики . 18 (4): 756–763. Bibcode : 1977JMP .... 18..756M . DOI : 10.1063 / 1.523304 .
  46. ^ WMItano; DJ Heinsen; JJ Bokkinger; DJ Wineland (1990). «Квантовый эффект Зенона» (PDF) . Physical Review . 41 (5): 2295–2300. Bibcode : 1990PhRvA..41.2295I . DOI : 10.1103 / PhysRevA.41.2295 . PMID 9903355 . Архивировано из оригинального (PDF) 20 июля 2004 года . Проверено 23 июля 2004 .  
  47. Перейти ↑ Khalfin, LA (1958). "Вклад в теорию распада квазистационарного состояния". Советская физ. ЖЭТФ . 6 : 1053. Bibcode : 1958JETP .... 6.1053K .
  48. ^ Пол А. Фишвик, изд. (1 июня 2007 г.). «15.6« Классы патологического поведения »в главе 15« Гибридные динамические системы: моделирование и выполнение »Питера Дж. Мостермана, The Mathworks, Inc.» . Справочник по моделированию динамических систем . Chapman & Hall / CRC Computer and Information Science (издание в твердом переплете). Бока-Ратон, Флорида, США: CRC Press. С. 15–22–15–23. ISBN 978-1-58488-565-8. Проверено 5 марта 2010 .
  49. ^ Лэмпорт, Лесли (2002). Определение систем (PDF) . Microsoft Research . Эддисон-Уэсли. п. 128. ISBN  0-321-14306-X. Проверено 6 марта 2010 .
  50. ^ Чжан, Цзюнь; Йоханссон, Карл; Лигерос, Джон; Састри, Шанкар (2001). «Гибридные системы Zeno» (PDF) . Международный журнал робастного и нелинейного управления . 11 (5): 435. DOI : 10.1002 / rnc.592 . Архивировано из оригинального (PDF) 11 августа 2011 года . Проверено 28 февраля 2010 .
  51. ^ Франк, Кассез; Хенцингер, Томас; Раскин, Жан-Франсуа (2002). «Сравнение задач управления синхронизированными и гибридными системами» . Архивировано из оригинального 28 мая 2008 года . Проверено 2 марта 2010 . Цитировать журнал требует |journal=( помощь )
  52. ^ Кэрролл, Льюис (1895-04-01). «Что Черепаха сказала Ахиллу» . Разум . IV (14): 278–280. DOI : 10,1093 / ум / IV.14.278 . ISSN 0026-4423 . 

Ссылки [ править ]

  • Кирк, Г.С. , Дж. Э. Рэйвен , М. Шофилд (1984) Досократические философы: критическая история с подборкой текстов, 2-е изд. Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-27455-9 . 
  • Хаггетт, Ник (2010). «Парадоксы Зенона» . Стэнфордская энциклопедия философии . Проверено 7 марта 2011 .
  • Платон (1926) Платон: Кратил. Парменид. Великий Гиппий. Малая Гиппия , HN Fowler (переводчик), Классическая библиотека Леба . ISBN 0-674-99185-0 . 
  • Sainsbury, RM (2003) Paradoxes , 2-е изд. Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-48347-6 . 

Внешние ссылки [ править ]

  • Дауден, Брэдли. « Парадоксы Зенона» . Запись в Интернет-энциклопедию философии .
  • "Антиномия" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
  • Введение в математическую философию , Ludwig-Maximilians-Universität München
  • Силагадзе, ЗК « Зенон встречается с современной наукой ».
  • Парадокс Зенона: Ахиллес и черепаха Джона Маклоуна, Вольфрам Демонстрационный проект .
  • Кевин Браун о Зеноне и парадоксе движения
  • Палмер, Джон (2008). «Зенон Элейский» . Стэнфордская энциклопедия философии .
  • Эта статья включает в себя материал из парадокса Зенона о PlanetMath , который находится под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License .
  • Грайм, Джеймс. «Парадокс Зенона» . Numberphile . Брэди Харан .