В математике , в области алгебраической геометрии , отображение периодов связывает семейства келеровых многообразий с семействами структур Ходжа .
Пусть f : X → B — голоморфный субмерсивный морфизм. Для точки b из B мы обозначаем слой f над b через X b . Зафиксируйте точку 0 в B . Теорема Эресмана гарантирует, что существует небольшая открытая окрестность U вокруг точки 0, в которой f становится расслоением . То есть f − 1 ( U ) диффеоморфно X0 × U . В частности, составная карта
является диффеоморфизмом. Этот диффеоморфизм не уникален, поскольку зависит от выбора тривиализации. Тривиализация строится из гладких путей в U , и можно показать, что гомотопический класс диффеоморфизма зависит только от выбора гомотопического класса путей из b в 0. В частности, если U стягиваемо, существует хорошо -определенный диффеоморфизм с точностью до гомотопии.
а поскольку гомотопические отображения индуцируют тождественные отображения на когомологиях, этот изоморфизм зависит только от гомотопического класса пути из b в 0.
Предположим, что f собственное и что X 0 — кэлерово многообразие. Условие Кэлера открыто, поэтому после возможного сжатия U X b компактно и Кэлерово для всех b в U . После дальнейшего сжатия U мы можем считать его стягиваемым. Тогда существует хорошо определенный изоморфизм между группами когомологий X 0 и X b . Эти изоморфизмы групп когомологий, вообще говоря, не сохраняют структуры Ходжа X 0 и X bпотому что они индуцированы диффеоморфизмами, а не биголоморфизмами. Пусть FpHk ( Xb , C ) обозначает p - й шаг фильтрации Ходжа . _ Числа Ходжа X b такие же, как у X 0 , [1] поэтому число b p , k = dim F p H k ( X b , C ) не зависит от b . Карта периода - это карта
Поскольку X b является келеровым многообразием, фильтрация Ходжа удовлетворяет билинейным соотношениям Ходжа–Римана . Это подразумевает, что