В математическом подполе анализа численного , tricubic интерполяции представляет собой способ получения значений в произвольных точках в 3D - пространстве функции , заданной на регулярной сетке . Подход предполагает локальную аппроксимацию функции выражением вида
Эта форма имеет 64 коэффициента ; Требование, чтобы функция имела заданное значение или заданную производную по направлению в точке, накладывает одно линейное ограничение на 64 коэффициента.
Термин трикубическая интерполяция используется более чем в одном контексте; в некоторых экспериментах измеряется как значение функции, так и ее пространственные производные, и желательно интерполировать, сохраняя значения и измеренные производные в точках сетки. Они обеспечивают 32 ограничения на коэффициенты, а еще 32 ограничения могут быть предоставлены, требуя гладкости более высоких производных. [1]
В других контекстах мы можем получить 64 коэффициента, рассматривая сетку 3 × 3 × 3 маленьких кубиков, окружающих куб, внутри которого мы оцениваем функцию, и подбирая функцию в 64 точках в углах этой сетки.
Кубической интерполяции статьи указывает на то, что метод эквивалентен последовательного применения одномерных кубических интерполяторов. Позволять быть значением кубического многочлена с одной переменной (например, ограниченного значениями, , , , от последовательных точек сетки) оценивается в . Во многих полезных случаях эти кубические многочлены имеют вид для какого-то вектора который является функцией один. Трикубический интерполятор эквивалентен:
где а также .
На первый взгляд может показаться удобнее использовать 21 вызов для описанный выше вместо матрица описана в Lekien и Marsden. [1] Однако правильная реализация с использованием разреженного формата для матрицы (который является довольно разреженным) делает последний более эффективным. Этот аспект еще более выражен, когда требуется интерполяция в нескольких местах внутри одного куба. В этом случаематрица используется один раз для вычисления коэффициентов интерполяции для всего куба. Затем коэффициенты сохраняются и используются для интерполяции в любом месте внутри куба. Для сравнения, последовательное использование одномерных интеграторов работает очень плохо для повторяющихся интерполяций, потому что каждый вычислительный шаг должен повторяться для каждого нового местоположения.