Мультимагический квадрат

Эта статья поднимает множество проблем. Пожалуйста, помогите улучшить его или обсудите эти проблемы на странице обсуждения . ( Узнайте, как и когда удалить эти сообщения-шаблоны ) Эта статья включает в себя список общих ссылок , но он остается в значительной степени непроверенным, поскольку в нем отсутствует достаточное количество соответствующих встроенных ссылок . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив более точные цитаты. ( Октябрь 2011 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения ) Эта статья в значительной степени или полностью основана на одном источнике . Соответствующее обсуждение можно найти на странице обсуждения . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив ссылки на дополнительные источники . Найти источники:  «Мультимагический квадрат»  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( октябрь 2011 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

В математике , P -multimagic квадрат (также известный как сатанинские площади ) является магическим квадратом , который остается магия , даже если все его числа заменяются их к й мощности для 1 ≤ K ≤ P . Таким образом, магический квадрат является бимагическим, если он является 2-мультимагическим, и тримагическим, если он является 3-мультимагическим; тетрамагия для 4-мультимагии; и пентамагический для 5-мультимагического квадрата.

Константы для нормальных квадратов [ править ]

Если квадраты нормальные, константу для квадратов мощности можно определить следующим образом:

Итоги бимагических серий для бимагических квадратов также связаны с квадратно-пирамидальной числовой последовательностью: -
Квадраты 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, .... (последовательность A000290 в OEIS )
Сумма of Squares 0, 1, 5, 14, 30, 55, 91, 140, 204, 285, ... (последовательность A000330 в OEIS )) количество единиц в пирамиде с квадратным основанием)
Бимагическая серия - это первая, 4-й, 9-й в этой серии (разделены на 1, 2, 3, n) и т.д., поэтому значения для строк и столбцов в бимагических квадратах порядок-1, порядок-2, порядок-3 будут равны 1, 15, 95, 374, 1105, 2701, 5775, 11180, ... (последовательность A052459 в OEIS )

Тримагический ряд будет таким же образом связан с гиперпирамидальной последовательностью вложенных кубов.
Кубы 0, 1, 8, 27, 64, 125, 216, ... (последовательность A000578 в OEIS )
Сумма кубов 0, 1, 9, 36, 100, ... (последовательность A000537 в OEIS )
Значение для Тримагические квадраты 1, 50, 675, 4624, ... (последовательность A052460 в OEIS )

Точно так же тетрамагическая последовательность
4-степени 0, 1, 16, 81, 256, 625, 1296, ... (последовательность A000583 в OEIS )
Сумма 4-степени 0, 1, 17, 98, 354, 979, 2275, ... (последовательность A000538 в OEIS )
Суммы для квадратов Tetramagic 0, 1, 177, ... (последовательность A052461 в OEIS )

Бимагический квадрат [ править ]

Бимагический квадрат - это магический квадрат, который остается магическим, когда все его числа заменяются квадратами.

Первый известный бимагический квадрат имеет порядок 8, магическую константу 260 и бимагическую константу 11180.

Бенсен и Якоби высказали предположение, что не существует нетривиальных ^{[ требуется пояснение ]} бимагических квадратов порядка меньше 8. Это было показано Бойером и Трампом для магических квадратов, содержащих элементы от 1 до n ² .

Однако в 1998 году Дж. Р. Хендрикс смог показать, что не существует бимагического квадрата третьего порядка, за исключением тривиального бимагического квадрата, содержащего одно и то же число девять раз. Доказательство довольно простое: пусть следующий будет нашим бимагическим квадратом.

Как известно, таково свойство магических квадратов . Аналогично . Поэтому . Отсюда следует, что . То же самое касается всех линий, проходящих через центр.${\ Displaystyle а + я = 2e}$${\ displaystyle a ^ {2} + i ^ {2} = 2e ^ {2}}$${\ displaystyle (ai) ^ {2} = 2 (a ^ {2} + i ^ {2}) - (a + i) ^ {2} = 4e ^ {2} -4e ^ {2} = 0}$${\ Displaystyle а = е = я}$

Для квадратов 4 × 4 Люк Пебоди смог показать аналогичными методами, что только бимагические квадраты 4 × 4 (с точностью до симметрии) имеют форму

или же

Бимагический квадрат 8 × 8.

Нетривиальные бимагические квадраты теперь (2010) известны для любого порядка от восьми до 64. Ли Вэнь из Китая создал первые известные бимагические квадраты порядков 34, 37, 38, 41, 43, 46, 47, 53, 58, 59, 61. , 62 Заполнение пробелов последних неизвестных заказов.

В 2006 году Ярослав Вроблевски построил ненормальный бимагический квадрат порядка 6. Ненормальный означает, что он использует непоследовательные целые числа.

Также в 2006 году Ли Моргенштерн построил несколько необычных бимагических квадратов 7-го порядка.

Тримагический квадрат [ править ]

Тримагический квадрат - это магический квадрат, который остается магическим, если все его числа заменены кубиками.

К настоящему времени открыты тримагические квадраты порядков 12, 32, 64, 81 и 128; единственный известный тримагический квадрат порядка 12, приведенный ниже, был обнаружен в июне 2002 года немецким математиком Вальтером Трампом .

Высший порядок [ править ]

Первый 4-магический квадрат был построен Шарлем Девимё в 1983 году и представлял собой квадрат 256 порядка.

4-магический квадрат порядка 512 был построен в мае 2001 года Андре Вириселем и Кристианом Бойером . ^[1]

Первый 5-магический квадрат порядка 1024 прибыл примерно месяц спустя, в июне 2001 года, снова Вирисель и Бойер. Они также представили меньший 4-магический квадрат порядка 256 в январе 2003 года. Другой 5-магический квадрат порядка 729 был построен в июне 2003 года Ли Вэном.

См. Также [ править ]

• Магический квадрат
• Дьявольский квадрат
• Волшебный куб
• Мультимагический куб

Ссылки [ править ]

• Вайсштейн, Эрик В. «Бимагический квадрат» . MathWorld .
• Вайсштейн, Эрик В. «Тримагический квадрат» . MathWorld .
• Вайсштейн, Эрик В. «Тетрамагический квадрат» . MathWorld .
• Вайсштейн, Эрик В. «Пентамагический квадрат» . MathWorld .
• Вайсштейн, Эрик В. «Мультимагический квадрат» . MathWorld .

Внешние ссылки [ править ]

• multimagie.com
• puzzled.nl