Трехчленное разложение

В математике , трехчлен разложение является расширение мощности суммы трех слагаемых в одночленов . Расширение дается

${\ displaystyle (a + b + c) ^ {n} = \ sum _ {\ stackrel {i, j, k} {i + j + k = n}} {n \ select i, j, k} \, a ^ {i} \, b ^ {\; \! j} \; \! c ^ {k},}$

где п представляет собой неотрицательное целое число , а сумма берется по всей комбинации неотрицательных индексов я , J , и K таким образом, что я + J + K = п . ^[1] В трехчленных коэффициентах задаются

${\ displaystyle {n \ choose i, j, k} = {\ frac {n!} {i! \, j! \, k!}} \ ,.}$

Эта формула является частным случаем полиномиальной формулы для m = 3 . Коэффициенты могут быть определены с помощью обобщения треугольника Паскаля до трех измерений, называемого пирамидой Паскаля или тетраэдром Паскаля. ^[2]

Свойства [ править ]

Количество членов расширенного трехчлена - это треугольное число

${\ displaystyle t_ {n + 1} = {\ frac {(n + 2) (n + 1)} {2}},}$

где n - показатель степени, до которого возведен трехчлен. ^[3]

Пример [ править ]

Пример трехчленного разложения с :${\ displaystyle n = 2}$

${\ displaystyle (a + b + c) ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2} + 2ab + 2bc + 2ca}$

См. Также [ править ]

• Биномиальное разложение
• Пирамида паскаля
• Полиномиальный коэффициент
• Трехчленный треугольник

Ссылки [ править ]