Трисекция угла

Углы могут быть разделены на три части с помощью конструкции neusis с использованием инструментов помимо немаркированной линейки и циркуля. Пример показывает трисечение любого угла

θ> 3π / 4

по линейке длиной, равной радиусу окружности, получая угол в разрезе

φ = θ / 3

.

Трисекция угла - классическая задача построения циркуля и линейки в древнегреческой математике . Это касается построения угла, равного одной трети данного произвольного угла, с использованием всего двух инструментов: линейки без маркировки и циркуля .

Поставленную задачу невозможно решить для произвольных углов, что доказал Пьер Ванцель в 1837 году. Однако, хотя в целом нет способа разрезать угол пополам с помощью циркуля и линейки, некоторые особые углы можно разрезать пополам. Например, относительно просто разрезать прямой угол (то есть построить угол измерения 30 градусов).

Произвольный угол можно разрезать пополам с помощью других инструментов, кроме линейки и циркуля. Например, конструкция neusis , также известная древним грекам, включает одновременное скольжение и вращение отмеченной линейки, чего нельзя было достичь с помощью оригинальных инструментов. Другие методы разрабатывались математиками на протяжении веков.

Поскольку она определяется в простых терминах, но сложно доказать неразрешимость, проблема трисечения углов часто является предметом псевдоматематических попыток решения наивных энтузиастов. Эти «решения» часто включают ошибочную интерпретацию правил или просто неверны. ^[1]

Предпосылки и постановка проблемы [ править ]

Bisection из произвольных углов уже давно решен.

Использование только опознавательных знаков угольник и циркуль, греческие математики нашли способ разделить строку в произвольное множество равных отрезков, рисовать параллельные линии, чтобы делящие углы , чтобы построить множество многоугольников , и построить квадраты равной или два раза площадь заданный многоугольник.

Три задачи оказались неуловимыми, а именно: разрезание угла пополам, удвоение куба и возведение круга в квадрат . Задача о трисекции угла гласит:

Постройте угол, равный одной трети данного произвольного угла (или разделите его на три равных угла), используя всего два инструмента:

немаркированная линейка, и
компас.

Доказательство невозможности [ править ]

Правители . Отображаемые отмечены - идеальная линейка не отмечена

Компасы

Ванцель опубликовал доказательство невозможности классически трисекций произвольного угла в 1837. ^[2] доказательство Wantzel, в пересчитано в современной терминологии, использует абстрактную алгебру из расширений полей , тема в настоящее время , как правило , в сочетании с теорией Галуа . Однако Ванцель опубликовал эти результаты раньше, чем Галуа (работа которого была опубликована в 1846 году), и не использовал связь между расширениями полей и группами, которая является предметом самой теории Галуа. ^[3]

Задача построения угла заданной меры $θ$ эквивалентна построению двух отрезков, отношение их длины которых равно $cos θ$ . От решения одной из этих двух задач можно перейти к решению другой с помощью компаса и линейки. Формула тройного угла дает выражение, связывающее косинусы исходного угла и его трисечения: $cos θ$ = $4 cos 3 θ / 3 - 3 cos θ / 3$ .

Отсюда следует, что для данного сегмента, который определен как имеющий единицу длины, проблема трисекции угла эквивалентна построению сегмента, длина которого является корнем кубического многочлена . Эта эквивалентность сводит исходную геометрическую задачу к чисто алгебраической.

Каждое рациональное число можно построить. Каждое иррациональное число, которое можно построить за один шаг из некоторых заданных чисел, является корнем многочлена степени 2 с коэффициентами в поле, порожденном этими числами. Следовательно, любое число, которое можно построить с помощью последовательности шагов, является корнем минимального многочлена , степень которого равна степени двойки . Угол $π / 3$ радианы (60 градусов , пишется 60 °) конструктивно . Приведенные ниже аргументы показывают, что невозможно построить угол 20 °. Это означает, что угол 60 ° не может быть разделен на три части, и, таким образом, произвольный угол не может быть разрезан на три части.

Обозначим множество рациональных чисел с помощью $Q$ . Если бы 60 ° можно было разделить на три части, степень минимального многочлена от $cos 20 °$ над $Q$ была бы степенью двойки. Пусть теперь $x = cos 20 °$ . Обратите внимание, что $cos 60 °$ = $cos π / 3$ знак равно $1 / 2$ . Тогда по формуле тройного угла $cos π / 3 = 4 x 3 - 3 x$ и, следовательно, $4 x 3 - 3 x = 1 / 2$ . Таким образом, $8 x 3 - 6 x - 1 = 0$ . Определим $p (t)$ как многочлен $p (t) = 8 t 3 - 6 t - 1$ .

Поскольку $x = cos 20 °$ является корнем $p (t)$ , минимальный многочлен для $cos 20 °$ является множителем $p (t)$ . Поскольку $p (t)$ имеет степень 3, если она сводима над $Q,$ то она имеет рациональный корень . По теореме о рациональном корне этот корень должен быть $\pm 1, \pm 1 / 2, \pm 1 / 4$ или $\pm 1 / 8$ , но ни один из них не является корневым. Таким образом, $р (т)$ является неприводимым сверх $Q$ , а минимальный многочлен для $соз 20 °$ имеет степень $3$ .

Таким образом, угол измерения $60 °$ не может быть разделен на три части.

Углы, которые можно разрезать на три части [ править ]

Однако некоторые углы можно разделить на три части. Например, для любого конструктивного угла $θ$ угол измерения $3 θ$ может быть тривиально разрезан на три части, игнорируя данный угол и напрямую построив угол измерения $θ$ . Есть углы, которые нельзя построить, но можно разделить на три части (несмотря на то, что одна треть угла сама по себе не конструктивна). Например, $3 π / 7$ такой угол: пять углов измерения $3 π / 7$ объединить, чтобы получить угол измерения $15 π / 7$ , который представляет собой полный круг плюс желаемый $π / 7$ .

Для положительного целого числа $N$ угол измерения $2 π / N$ является trisectible тогда и только тогда , когда $3$ не делит $N$ . ^[4]^[5] Напротив, $2 π / N$ является конструктивным тогда и только тогда, когда $N$ является степенью $2$ или произведением степени $2$ на произведение одного или нескольких различных простых чисел Ферма .

Алгебраическая характеристика [ править ]

Опять же , обозначим множество рациональных чисел с помощью $Q$ .

Теорема : угол меры $θ$ может быть разрезан пополам тогда и только тогда, когда $q (t) = 4 t 3 - 3 t - cos (θ)$ приводимо над расширением поля $Q (cos (θ))$ .

Доказательство является относительно простым обобщением приведенного выше доказательства , что $60 °$ угла не trisectible. ^[6]

Другие методы [ править ]

Общая проблема трисекции угла решается с помощью дополнительных инструментов и, таким образом, выходит за рамки оригинальных греческих рамок циркуля и линейки.

Было предложено много неправильных методов разделения общего угла на три части. Некоторые из этих методов обеспечивают разумные приближения; другие (некоторые из которых упомянуты ниже) используют инструменты, не разрешенные в классической задаче. Математик Андервуд Дадли подробно описал некоторые из этих неудачных попыток в своей книге «Трисектора» . ^[1]

Аппроксимация последовательными делениями пополам [ править ]

Трисекция может быть аппроксимирована повторением метода циркуля и линейки для деления угла пополам. Геометрическая серия1/3 знак равно 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256+ ⋯ или1/3 знак равно 1/2 - 1/4 + 1/8 - 1/16+ ⋯ можно использовать как основу для деления пополам. Приближение с любой степенью точности может быть получено за конечное число шагов. ^[7]

Оригами [ править ]

Трисекция, как и многие конструкции, невозможные с помощью линейки и циркуля, легко может быть выполнено с помощью операций складывания бумаги или оригами . Аксиомы Хузиты (типы операций складывания) могут строить кубические расширения (кубические корни) заданной длины, тогда как линейка и циркуль могут строить только квадратичные расширения (квадратные корни).

Использование ссылки [ править ]

Веер связи Сильвестра

Есть ряд простых связей , которые могут быть использованы , чтобы сделать инструмент для углов , включая Trisector делить на три равные части Kempe и Сильвестр Link Fan или Isoklinostat. ^[8]

Правотреугольной линейкой [ править ]

Трисечение Бибербаха угла (синим цветом) с помощью прямоугольной линейки (красным цветом)

В 1932 году Людвиг Бибербах опубликовал в журнале Journal für die reine und angewandte Mathematik свою работу Zur Lehre von den kubischen Konstruktionen . ^[9] Он заявляет (вольный перевод):

« Как известно ... любую кубическую конструкцию можно проследить до тройного пересечения угла и до умножения куба, то есть до извлечения третьего корня. Мне нужно только показать, как могут быть выполнены эти две классические задачи. решена с помощью крючка под прямым углом ».

Построение начинается с рисования круга, проходящего через вершину $P$ угла, который нужно разрезать на три части, с центром в точке $A$ на краю этого угла и имеющим $B в$ качестве второго пересечения с краем. Круг с центром в точке $Р$ , тот же радиус пересекает линию , поддерживающую кромку в $A$ и $O$ .

Теперь правая треугольная линейка размещается на чертеже следующим образом: одна ножка ее прямого угла проходит через $точку O$ ; вершина его прямого угла находится в точке $S$ на линию $ПК$ таким образом , что второй этап линейки является касательным по $E$ к окружности с центром в точке $А$ . Отсюда следует , что первоначальный угол в разделенном между линией $PE$ , и линией $PD$ перпендикулярна $SE$ и проходящим через $P$ . Эту линию можно провести либо снова используя правую треугольную линейку, либо используя традиционную линейку и компас.. С аналогичной конструкции, можно улучшить положение $E$ , с помощью , что это пересечение линии $SE$ и его перпендикулярной проходящей через $А$ .

Доказательство: нужно доказать равенство углов и три прямые $OS$ , $PD$ и $AE$ параллельны. Поскольку отрезки $OP$ и $PA$ равны, эти три параллельные прямые ограничивают два равных отрезка на каждой второй секущей прямой и, в частности, на их общем перпендикуляре $SE$ . Таким образом, $SD$ $'$ $=$ $D$ $'$ $E$ , где $D '$ - пересечение прямых $PD$ и $SE$ . Отсюда следует, что прямоугольные треугольники $PD$ $'$ $S$ и $PD$ ${\ displaystyle {\ widehat {EPD}} = {\ widehat {DES}}}$ ${\ displaystyle {\ widehat {BPE}} = {\ widehat {EPD}}.}$ $' E$ конгруэнтны, и, таким образом,первое желаемое равенство. С другой стороны, треугольник $РАЕ$ является isoceles , таквсе радиусы из в такт равны; это означает, чтоОдин также имеет,поскольку эти два угла являются углами поперечной оси двух параллельных прямых. Это доказывает второе желаемое равенство, а значит, и правильность построения. ${\ displaystyle {\ widehat {EPD}} = {\ widehat {DES}},}$ ${\widehat {APE}}={\widehat {AEP}}.$ ${\widehat {AEP}}={\widehat {EPD}},$

Со вспомогательной кривой [ править ]

Трисекция по спирали Архимеда
Трисекция по трисектрисе Маклорена

Существуют определенные кривые, называемые трисектрисами, которые, если их нарисовать на плоскости другими методами, можно использовать для разрезания пополам произвольных углов. ^[10] Примеры включают трисектрису из Маклорно , приведенной в декартовых координатах по неявному уравнению

2x(x^{2}+y^{2})=a(3x^{2}-y^{2}),

и спираль Архимеда . По спирали можно разделить угол на любое количество равных частей.

С отмеченной линейкой [ править ]

Трисекция угла по размеченной линейке

Еще один способ разрезать произвольный угол на «небольшой» шаг за пределы греческих рамок - с помощью линейки с двумя отметками на заданном расстоянии друг от друга. Следующая конструкция, изначально принадлежащая Архимеду , называется конструкцией Neusis , т. Е. В ней используются инструменты, отличные от неразмеченной линейки. На схемах, которые мы используем, эта конструкция показана для острого угла, но она действительно работает для любого угла до 180 градусов.

Это требует трех фактов из геометрии (справа):

Любой полный набор углов на прямой добавляют к 180 °,
Сумма углов любого треугольника равна 180 °, и ,
Любые две равные стороны в равнобедренном треугольнике будет встретить третий в тот же угол .

Пусть $l$ - горизонтальная линия на соседней диаграмме. Угол $a$ (слева от точки $B$ ) является предметом тройного разреза. Во- первых, точка обращается под углом в луча , один блок отдельно от $B$ . Построен круг радиуса $AB$ . Затем отмеченность линейки входит в игру: один знак правителя помещается в $A$ , а другой на $B$ . Удерживая линейку (но не метку) в касании $A$ , линейка сдвигается и вращается, пока одна метка не окажется на круге, а другая - на линии $l$ . Метка на круге обозначена буквой $C$ и метка на линии обозначена $D$ . Это гарантирует, что $CD = AB$ . Радиус $BC$ нарисован, чтобы было очевидно, что отрезки $AB$ , $BC$ и $CD$ имеют одинаковую длину. Теперь, треугольники $ABC$ и $BCD$ являются равнобедренный , следовательно , (по Факт 3 выше) каждый из них имеет две равные углы.

Гипотеза : Учитывая, что $AD$ - прямая линия, а $AB$ , $BC$ и $CD$ имеют одинаковую длину,

Вывод : угол $b = а / 3$ .

Доказательство :

Из факта 1) выше, °. $e+c=180$
Глядя на треугольник BCD , из Факт 2) °. $e+2b=180$
Из двух последних уравнений . $c=2b$
Из факта 2), °, следовательно, ° , так из последнего, ° . $d+2c=180$ $d=180$ $-2c$ $d=180$ $-4b$
Из факта 1) выше, °, следовательно, ° °. $a+d+b=180$ $a+(180$ $-4b)+b=180$

Выемка, $- 3$ $б$ $= 0$ , или $= 3$ $б$ , и теорема будет доказана .

Опять же , эта конструкция вышла за рамки из разрешенных конструкций с использованием отмеченного угольника.

Со строкой [ править ]

Томас Хатчесон опубликовал в « Учителе математики» статью ^[11] , в которой вместо циркуля и линейки использовалась струна. Веревку можно использовать как прямую кромку (растягивая ее) или как циркуль (фиксируя одну точку и идентифицируя другую), но также можно обернуть вокруг цилиндра, что является ключом к решению Хатчесона.

Хатчесон построил цилиндр из угла, который нужно разделить на три части, проведя дугу поперек угла, завершив ее как круг и построив из этой окружности цилиндр, на котором, скажем, был вписан равносторонний треугольник (угол в 360 градусов, разделенный на три части). ). Затем это было «преобразовано» в угол, который нужно разделить на три части, с простым доказательством наличия подобных треугольников.

С "томагавком" [ править ]

Томагавк, делающий угол пополам. Томагавк образован толстыми линиями и заштрихованным полукругом.

« Томагавк » - это геометрическая фигура, состоящая из полукруга и двух ортогональных отрезков прямой, так что длина более короткого отрезка равна радиусу окружности. Трисекция выполняется путем наклона конца более короткого сегмента томагавка к одному лучу, а края круга к другому так, чтобы «ручка» (более длинный сегмент) пересекала вершину угла; линия трисечения проходит между вершиной и центром полукруга.

Хотя томагавк можно построить с помощью циркуля и линейки, обычно невозможно построить томагавк в любом желаемом положении. Таким образом, приведенная выше конструкция не противоречит невозможности использования углов только с помощью линейки и циркуля.

Так как томагавк может использоваться как заданный квадрат , его также можно использовать для определения углов трех секций методом, описанным в § С прямоугольной линейкой .

Томагавк производит тот же геометрический эффект, что и метод складывания бумаги: расстояние между центром круга и концом более короткого сегмента в два раза больше радиуса, который гарантированно соприкасается с углом. Это также эквивалентно использованию архитекторов L-Ruler ( Карпентерская площадь ).

Со связанными компасами [ править ]

Угол может быть разделен на три части с помощью устройства, которое по сути представляет собой версию компаса с четырьмя зубцами, с соединениями между зубцами, предназначенными для сохранения равных трех углов между соседними зубцами. ^[12]

Использование трисекции угла [ править ]

Анимация построения семиугольника с радиусом описанной окружности , основанная на Эндрю М. Глисоне , с использованием троекратного угла с помощью томагавка ^[13]^:^с.¹⁸⁶

{\overline {OA}}=6

Кубическое уравнение с вещественными коэффициентами может быть решена геометрически с компасом, угольника, и угол trisector тогда и только тогда , когда она имеет три реальные корни . ^[13]^{: Thm. 1}

Правильный многоугольник с п сторон может быть построен с линейкой, компасом, и углом trisector тогда и только тогда , когда R, S, K ≥ 0 и где р _я различные простые числа больше , чем 3 вида (т.е. Пьерпонт простых чисел больше- ). ^[13]^:^Thm.² $n=2^{r}3^{s}p_{1}p_{2}\cdots p_{k},$ $2^{t}3^{u}+1$

Обобщение [ править ]

Для любого ненулевого целого числа $N$ , угол измерения $2 &$ $pi$ $; /$ $N$ радиан можно разделить на $п$ равных частей с циркулем и линейкой , если и только если $п$ является либо сила $2$ или является степенью $2$ , умноженное на произведение одного или более различных простых чисел Ферма, ни один из которых делит $N$ . В случае трисекции ( $n$ $= 3$ , которое является простым числом Ферма) это условие становится вышеупомянутым требованием, чтобы $N$ не делилось на $3$ . ^[5]

См. Также [ править ]

Деление пополам
Конструируемое число
Конструируемый многоугольник
Евклидова геометрия
История геометрии
Теорема Морли о трехсекторах
Квадратрикс
Трисектрикс
Геометрическая криптография

Ссылки [ править ]

^ a b Дадли, Андервуд (1994), Трисектора , Математическая ассоциация Америки , ISBN 978-0-88385-514-0
^ Wantzel, PML (1837). "Recherches sur les moyens de reconnaître si un problème de Géométrie peut se résoudre avec la règle et le compas" (PDF) . Journal de Mathématiques Pures et Appliquées . 1. 2 : 366–372 . Проверено 3 марта 2014 .
^ Историческую основу доказательства Ванцеля в более ранней работе Руффини и Абеля и его временную привязку к Галуа см. В Smorynski, Craig (2007), History of Mathematics: A Supplement , Springer, p. 130, ISBN 9780387754802.
^ Макхейл, Десмонд. «Построение целочисленных углов», Mathematical Gazette 66, июнь 1982, 144–145.
^ а б Маклин, К. Робин (июль 2008 г.). «Трисекция углов с линейкой и циркулем» . Математический вестник . 92 : 320–323. DOI : 10.1017 / S0025557200183317 . См. Также Отзыв об этой статье в т. 93, март 2009 г., стр. 156.
^ Стюарт, Ян (1989).Теория Галуа. Математика Чепмена и Холла. стр. 58. ISBN 978-0-412-34550-0.
↑ Джим Лой (2003) [1997]. «Трисекция угла» . Архивировано из оригинального 25 февраля 2012 года . Проверено 30 марта 2012 года .
^ Йейтс, Роберт C (1942). Проблема трисекции (PDF) . Национальный совет учителей математики. С. 39–42.
^ Людвиг Бибербах (1932) Zur Lehre von den kubischen Konstruktionen, Journal für die reine und angewandte Mathematik, H. Hasse und L. Schlesinger, Band 167 Berlin, p. 142–146 онлайн-копия (ГДЗ) . Проверено 2 июня, 2017.
^ Джим Лой «Архивная копия» . Архивировано из оригинала на 4 ноября 2013 года . Проверено 4 ноября 2013 .CS1 maint: archived copy as title (link)
^ Hutcheson, Thomas W. (май 2001). «Деление любого угла на любое количество равных частей». Учитель математики . 94 (5): 400–405.
↑ Исаак, Руфус, «Две математические статьи без слов», Mathematics Magazine 48, 1975, стр. 198. Перепечатано в Mathematics Magazine 78, апрель 2005 г., с. 111.
^ a b c Глисон, Эндрю Маттей (март 1988 г.). «Угловая секция, семиугольник и трехугольник» (PDF) . Американский математический ежемесячник . 95 (3): 185–194. DOI : 10.2307 / 2323624 . JSTOR 2323624 . Архивировано из оригинала (PDF) от 5 ноября 2014 года.

Дальнейшее чтение [ править ]

Курант, Ричард, Герберт Роббинс, Ян Стюарт, Что такое математика ?: элементарный подход к идеям и методам , Oxford University Press, США, 1996. ISBN 978-0-19-510519-3 .

Внешние ссылки [ править ]

Сайт MathWorld
Геометрические задачи античности, включая трисекцию угла
Немного истории
Одно звено размеченной линейки построения
Другой, упоминающий Архимеда
Длинная статья со многими приближениями и средствами, выходящими за рамки греческих рамок.
Сайт геометрии

Другие способы трисекции [ править ]

Примерный угол в трисекции как анимация, макс. погрешность угла ≈ ± 4E-8 °
Трисекция через ( Архивировано 25 октября 2009 г. ) лимакон Паскаля ; см. также Trisectrix
Трисекции помощью к архимедовой спирали
Трисекции с помощью в конхоиде из Никомеда
сайт sciencenews.org об использовании оригами
Гиперболическое трисечение и спектр правильных многоугольников

[trisectors-1] Дадли, Андервуд (1994), Трисектора , Математическая ассоциация Америки , ISBN 978-0-88385-514-0

[2] Wantzel, PML (1837). "Recherches sur les moyens de reconnaître si un problème de Géométrie peut se résoudre avec la règle et le compas" (PDF) . Journal de Mathématiques Pures et Appliquées . 1. 2 : 366–372 . Проверено 3 марта 2014 .

[3] Историческую основу доказательства Ванцеля в более ранней работе Руффини и Абеля и его временную привязку к Галуа см. В Smorynski, Craig (2007), History of Mathematics: A Supplement , Springer, p. 130, ISBN 9780387754802.

[4] Макхейл, Десмонд. «Построение целочисленных углов», Mathematical Gazette 66, июнь 1982, 144–145.

[McLean-5] а б Маклин, К. Робин (июль 2008 г.). «Трисекция углов с линейкой и циркулем» . Математический вестник . 92 : 320–323. DOI : 10.1017 / S0025557200183317 . См. Также Отзыв об этой статье в т. 93, март 2009 г., стр. 156.

[Stewart-6] Стюарт, Ян (1989).Теория Галуа. Математика Чепмена и Холла. стр. 58. ISBN 978-0-412-34550-0.

[7] Джим Лой (2003) [1997]. «Трисекция угла» . Архивировано из оригинального 25 февраля 2012 года . Проверено 30 марта 2012 года .

[8] Йейтс, Роберт C (1942). Проблема трисекции (PDF) . Национальный совет учителей математики. С. 39–42.

[Ludwig_Bieberbach-9] Людвиг Бибербах (1932) Zur Lehre von den kubischen Konstruktionen, Journal für die reine und angewandte Mathematik, H. Hasse und L. Schlesinger, Band 167 Berlin, p. 142–146 онлайн-копия (ГДЗ) . Проверено 2 июня, 2017.

[10] Джим Лой «Архивная копия» . Архивировано из оригинала на 4 ноября 2013 года . Проверено 4 ноября 2013 .CS1 maint: archived copy as title (link)

[11] Hutcheson, Thomas W. (май 2001). «Деление любого угла на любое количество равных частей». Учитель математики . 94 (5): 400–405.

[12] Исаак, Руфус, «Две математические статьи без слов», Mathematics Magazine 48, 1975, стр. 198. Перепечатано в Mathematics Magazine 78, апрель 2005 г., с. 111.

[Gleason-13] Глисон, Эндрю Маттей (март 1988 г.). «Угловая секция, семиугольник и трехугольник» (PDF) . Американский математический ежемесячник . 95 (3): 185–194. DOI : 10.2307 / 2323624 . JSTOR 2323624 . Архивировано из оригинала (PDF) от 5 ноября 2014 года.

[1]