В теории чисел , Tunnell это теорема дает частичное решение к задаче номер конгруэнтных , а под березой и Swinnerton-Дайера , в полном разрешении.
Проблема конгруэнтного числа
Задача о конгруэнтных числах спрашивает, какие положительные целые числа могут быть площадью прямоугольного треугольника со всеми тремя рациональными сторонами. Теорема Таннелла связывает это с числом интегральных решений нескольких довольно простых диофантовых уравнений .
Теорема
Для данного целого числа n , свободного от квадратов , определим
Теорема Таннелла утверждает, что предположим, что n - конгруэнтное число, если n нечетное, то 2 A n = B n, а если n четное, то 2 C n = D n . Наоборот, если гипотеза Берча и Суиннертона-Дайера верна для эллиптических кривых вида, этих равенств достаточно, чтобы заключить, что n - конгруэнтное число.
История
Теорема названа в честь Джерролда Б. Таннелла , теоретика чисел из Университета Рутгерса , который доказал ее в Таннелле (1983) .
Важность
Важность теоремы Таннелла состоит в том, что критерий, который она дает, можно проверить конечным вычислением. Например, для данного n числа A n , B n , C n , D n могут быть вычислены путем исчерпывающего поиска по x , y , z в диапазоне.
Смотрите также
Рекомендации
- Коблиц, Нил (2012), Введение в эллиптические кривые и модульные формы , Тексты для выпускников по математике (Книга 97) (2-е изд.), Springer-Verlag, ISBN 978-1-4612-6942-7
- Таннелл, Джерролд Б. (1983), "Классическая задача диофантов и модульные формы весом 3/2" , Inventiones Mathematicae , 72 (2): 323-334, DOI : 10.1007 / BF01389327 , ЛВП : 10338.dmlcz / 137483