Конгруэнтное число

Треугольник с площадью 6, равное число.

В математике , конгруэнтны число является положительным целым числом , что является площадь прямоугольного треугольника с тремя рациональным числом сторон. ^[1] Более общее определение включает все положительные рациональные числа с этим свойством. ^[2]

Последовательность (целых) конгруэнтных чисел начинается с

5, 6, 7, 13, 14, 15, 20, 21, 22, 23, 24, 28, 29, 30, 31, 34, 37, 38, 39, 41, 45, 46, 47, 52, 53, 54, 55, 56, 60, 61, 62, 63, 65, 69, 70, 71, 77, 78, 79, 80, 84, 85, 86, 87, 88, 92, 93, 94, 95, 96, 101, 102, 103, 109, 110, 111, 112, 116, 117, 118, 119, 120, ... (последовательность A003273 в OEIS )

Например, 5 - конгруэнтное число, потому что это площадь треугольника (20/3, 3/2, 41/6). Точно так же 6 - конгруэнтное число, потому что это площадь треугольника (3,4,5). 3 и 4 не совпадают.

Если q - конгруэнтное число, то s ² q также конгруэнтное число для любого натурального числа s (просто умножив каждую сторону треугольника на s ), и наоборот. Это приводит к наблюдению, что является ли ненулевое рациональное число q конгруэнтным числом, зависит только от его вычета в группе

${\displaystyle \mathbb {Q} ^{*}/\mathbb {Q} ^{*2}}$.

Каждый класс вычетов в этой группе содержит ровно одно целое число без квадратов , и поэтому обычно рассматривают только положительные целые числа без квадратов, когда говорят о конгруэнтных числах.

Проблема конгруэнтного числа [ править ]

Вопрос о том, является ли данное рациональное число конгруэнтным числом, называется проблемой конгруэнтного числа . Эта проблема (по состоянию на 2019 год) не была доведена до успешного решения. Теорема Таннелла предоставляет легко проверяемый критерий для определения конгруэнтности числа; но его результат основан на гипотезе Берча и Суиннертона-Дайера , которая до сих пор не доказана.

Теорема Ферма о прямоугольном треугольнике , названная в честь Пьера де Ферма , утверждает, что никакое квадратное число не может быть конгруэнтным числом. Однако в том виде, в котором каждое сравнение (разница между последовательными элементами в арифметической прогрессии из трех квадратов) не является квадратом, оно уже было известно (без доказательства) Фибоначчи . ^[3] Каждое сравнение является конгруэнтным числом, и каждое конгруэнтное число является произведением сравнения и квадрата рационального числа. ^[4]Однако определить, является ли число конгруэнтным, намного проще, чем определить, конгруэнтно ли оно, поскольку существует параметризованная формула для конгруэнтности, для которой необходимо проверить только конечное число значений параметров. ^[5]

Решения [ править ]

n - конгруэнтное число тогда и только тогда, когда

${\displaystyle x^{2}+nt^{2}=y^{2}}$, ${\displaystyle x^{2}-nt^{2}=z^{2}}$

имеет решения (если да, то это уравнение имеет бесконечно много решений, как уравнение Пелля ). ^{[ необходима цитата ]}

Учитывая решения {x, y, z, t}, можно получить {a, b, c} такие, что

${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$, а также ${\displaystyle {\frac {ab}{2}}=n}$

из

${\displaystyle a={\frac {y-z}{t}}}$, ,${\displaystyle b={\frac {y+z}{t}}}$${\displaystyle c={\frac {2x}{t}}.}$

Связь с эллиптическими кривыми [ править ]

Вопрос о конгруэнтности данного числа оказывается эквивалентным условию положительного ранга некоторой эллиптической кривой . ^[2] Альтернативный подход к этой идее представлен ниже (как, по сути, также можно найти во введении к статье Таннелла).

Предположим, что a , b , c - числа (не обязательно положительные или рациональные), которые удовлетворяют следующим двум уравнениям:

${\displaystyle {\begin{matrix}a^{2}+b^{2}&=&c^{2},\\{\tfrac {1}{2}}ab&=&n.\end{matrix}}}$

Затем положим x = n ( a + c ) / b и y = 2 n ² ( a + c ) / b ² . Расчет показывает

${\displaystyle y^{2}=x^{3}-n^{2}x}$

и y не 0 (если y = 0, то a = - c , поэтому b = 0 , но ( 1 ⁄ 2 ) ab = n ненулевое значение; противоречие).

И наоборот, если x и y - числа, которые удовлетворяют приведенному выше уравнению, а y не равно 0, установите a = ( x ² - n ² ) / y , b = 2 nx / y и c = ( x ² + n ² ) / у . Расчет показывает, что эти три числа удовлетворяют двум приведенным выше уравнениям a , b и c .

Эти два соответствия между ( a , b , c ) и ( x , y ) являются обратными друг другу, поэтому у нас есть взаимно однозначное соответствие между любым решением двух уравнений в a , b и c и любым решением уравнения относительно x и y с отличным от нуля y . В частности, из формул в двух соответствиях для рационального n мы видим, что a , b и c рациональны тогда и только тогда, когда соответствующие x и yрациональны, и наоборот. (Мы также имеем, что все a , b и c положительны тогда и только тогда, когда все x и y положительны; из уравнения y ² = x ³ - xn ² = x ( x ² - n ² ) мы видим, что если x и y положительны, тогда x ² - n ² должны быть положительными, поэтому формула для a выше положительна.)

Таким образом, положительное рациональное число n конгруэнтно тогда и только тогда, когда уравнение y ² = x ³ - n ² x имеет рациональную точку с y, не равным 0. Это может быть показано (как применение теоремы Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии ), что единственные точки кручения на этой эллиптической кривой - это те, у которых y равно 0, следовательно, существование рациональной точки с y ненулевым равносильно утверждению, что эллиптическая кривая имеет положительный ранг.

Другой подход к решению - начать с целочисленного значения n, обозначенного как N, и решить

${\displaystyle N^{2}=ed^{2}+e^{2}}$

где

${\displaystyle {\begin{matrix}c&=&n^{2}/e+e\\a&=&2n\\b&=&n^{2}/e-e\end{matrix}}}$

Наименьшие решения [ править ]

Ниже приведен список рационального решения и с конгруэнтно числом п и наименьшим числителе для гр . (мы позволяем a < b , обратите внимание, что a не может быть = b , потому что если это так, то , но не является рациональным числом, поэтому c и a не могут быть одновременно рациональными числами). ^{[ необходима цитата ]}${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$${\displaystyle {\frac {ab}{2}}=n}$${\displaystyle c={\sqrt {2}}a}$${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

п	а	б	c
5	${\displaystyle {\frac {3}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {20}{3}}}$	${\displaystyle {\frac {41}{6}}}$
6	3	4	5
7	${\displaystyle {\frac {35}{12}}}$	${\displaystyle {\frac {24}{5}}}$	${\displaystyle {\frac {337}{60}}}$
13	${\displaystyle {\frac {780}{323}}}$	${\displaystyle {\frac {323}{30}}}$	${\displaystyle {\frac {106921}{9690}}}$
14	${\displaystyle {\frac {8}{3}}}$	${\displaystyle {\frac {21}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {65}{6}}}$
15	4	${\displaystyle {\frac {15}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {17}{2}}}$
20	3	${\displaystyle {\frac {40}{3}}}$	${\displaystyle {\frac {41}{3}}}$
21 год	${\displaystyle {\frac {7}{2}}}$	12	${\displaystyle {\frac {25}{2}}}$
22	${\displaystyle {\frac {33}{35}}}$	${\displaystyle {\frac {140}{3}}}$	${\displaystyle {\frac {4901}{105}}}$
23	${\displaystyle {\frac {80155}{20748}}}$	${\displaystyle {\frac {41496}{3485}}}$	${\displaystyle {\frac {905141617}{72306780}}}$
24	6	8	10
28 год	${\displaystyle {\frac {35}{6}}}$	${\displaystyle {\frac {48}{5}}}$	${\displaystyle {\frac {337}{30}}}$
29	${\displaystyle {\frac {99}{910}}}$	${\displaystyle {\frac {52780}{99}}}$	${\displaystyle {\frac {48029801}{90090}}}$
30	5	12	13
31 год	${\displaystyle {\frac {720}{287}}}$	${\displaystyle {\frac {8897}{360}}}$	${\displaystyle {\frac {2566561}{103320}}}$
34	${\displaystyle {\frac {17}{6}}}$	24	${\displaystyle {\frac {145}{6}}}$
37	${\displaystyle {\frac {450660}{777923}}}$	${\displaystyle {\frac {777923}{6090}}}$	${\displaystyle {\frac {605170417321}{4737551070}}}$
38	${\displaystyle {\frac {1700}{279}}}$	${\displaystyle {\frac {5301}{425}}}$	${\displaystyle {\frac {1646021}{118575}}}$
39	${\displaystyle {\frac {5}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {156}{5}}}$	${\displaystyle {\frac {313}{10}}}$
41 год	${\displaystyle {\frac {3280}{1023}}}$	${\displaystyle {\frac {1023}{40}}}$	${\displaystyle {\frac {1054721}{40920}}}$
45	${\displaystyle {\frac {9}{2}}}$	20	${\displaystyle {\frac {41}{2}}}$
46	${\displaystyle {\frac {253}{42}}}$	${\displaystyle {\frac {168}{11}}}$	${\displaystyle {\frac {7585}{462}}}$
47	${\displaystyle {\frac {11547216}{2097655}}}$	${\displaystyle {\frac {98589785}{5773608}}}$	${\displaystyle {\frac {217287944875297}{12111037689240}}}$
52	${\displaystyle {\frac {1560}{323}}}$	${\displaystyle {\frac {323}{15}}}$	${\displaystyle {\frac {106921}{4845}}}$
53	${\displaystyle {\frac {1472112483}{202332130}}}$	${\displaystyle {\frac {21447205780}{1472112483}}}$	${\displaystyle {\frac {4850493897329785961}{297855654284978790}}}$
54	9	12	15
55	${\displaystyle {\frac {1100}{117}}}$	${\displaystyle {\frac {117}{10}}}$	${\displaystyle {\frac {17561}{1170}}}$
56	${\displaystyle {\frac {16}{3}}}$	21 год	${\displaystyle {\frac {65}{3}}}$
60	8	15	17
61	${\displaystyle {\frac {6428003}{1423110}}}$	${\displaystyle {\frac {173619420}{6428003}}}$	${\displaystyle {\frac {250510625883241}{9147755349330}}}$
...	...	...	...
101	${\displaystyle {\frac {267980280100}{44538033219}}}$	${\displaystyle {\frac {44538033219}{1326635050}}}$	${\displaystyle {\frac {2015242462949760001961}{59085715926389725950}}}$
...	...	...	...
157	${\displaystyle {\frac {411340519227716149383203}{21666555693714761309610}}}$	${\displaystyle {\frac {6803298487826435051217540}{411340519227716149383203}}}$	${\displaystyle {\frac {224403517704336969924557513090674863160948472041}{8912332268928859588025535178967163570016480830}}}$

Текущий прогресс [ править ]

Была проделана большая работа по классификации конгруэнтных чисел.

Например, известно ^[6], что для простого числа p выполняется следующее:

• если p ≡ 3 ( mod 8) , то p не конгруэнтное число, но 2 p конгруэнтное число.
• если p ≡ 5 (mod 8) , то p конгруэнтное число.
• если p ≡ 7 (mod 8) , то p и 2 p - конгруэнтные числа.

Также известно ^[7], что в каждом из классов сравнения 5, 6, 7 (mod 8) для любого заданного k существует бесконечно много конгруэнтных чисел без квадратов с k простыми множителями.

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Alter, Рональд (1980), "конгруэнтный номер Проблема", American Mathematical Monthly , Математическая ассоциация Америки, 87 (1): 43-45, DOI : 10,2307 / 2320381 , JSTOR  2320381
• Chandrasekar, В. (1998), "конгруэнтный Номер задача" (PDF) , Резонанс , 3 (8): 33-45, DOI : 10.1007 / BF02837344
• Диксон, Леонард Юджин (2005), «Глава XVI», История теории чисел , Dover Books on Mathematics, Volume II: Diophantine Analysis, Dover Publications, ISBN 978-0-486-44233-4 |volume= has extra text (help) - Смотрите, историю проблемы.
• Гай, Ричард (2004), Нерешенные проблемы теории чисел , Проблемные книги по математике (книга 1) (3-е изд.), Springer, ISBN 978-0-387-20860-2, Zbl  1058,11001 - На него дано много ссылок.
• Таннелл, Джеррольд Б. (1983), «Классическая диофантова проблема и модульные формы веса 3/2» , Inventiones Mathematicae , 72 (2): 323–334, Bibcode : 1983InMat..72..323T , doi : 10.1007 / BF01389327 , ЛВП : 10338.dmlcz / 137483

Внешние ссылки [ править ]

• Вайсштейн, Эрик В. «Конгруэнтное число» . MathWorld .
• Краткое обсуждение текущего состояния проблемы со многими ссылками можно найти в книге Алисы Сильверберг « Открытые вопросы по арифметической алгебраической геометрии» (Postscript).
• Триллион треугольников - математики разрешили первый триллион случаев (в зависимости от гипотезы Берча и Суиннертона-Дайера ).