Турбулентное число Прандтля

Турбулентное число Прандтля ( Pr _т ) представляет собой безразмерный термин определяется как отношение между импульсом турбулентной диффузии и теплопередачи турбулентной диффузии. Это полезно для решения задачи теплопередачи турбулентных течений в пограничном слое. Простейшей моделью для Pr _t является аналогия Рейнольдса , которая дает турбулентное число Прандтля, равное 1. Из экспериментальных данных Pr _t имеет среднее значение 0,85, но находится в диапазоне от 0,7 до 0,9 в зависимости от числа Прандтля рассматриваемой жидкости.

Определение [ править ]

Введение вихревой диффузии и, следовательно, турбулентного числа Прандтля работает как способ определения простой взаимосвязи между дополнительным напряжением сдвига и тепловым потоком, который присутствует в турбулентном потоке. Если импульс и тепловые вихревые диффузии равны нулю (отсутствие видимого турбулентного напряжения сдвига и теплового потока), то уравнения турбулентного потока сводятся к ламинарным уравнениям. Мы можем определить вихревые коэффициенты диффузии для передачи импульса и тепла как и где - кажущееся турбулентное напряжение сдвига и - кажущийся турбулентный тепловой поток. Тогда турбулентное число Прандтля определяется как${\ displaystyle \ varepsilon _ {M}}$${\ displaystyle \ varepsilon _ {H}}$
${\displaystyle -{\overline {u'v'}}=\varepsilon _{M}{\frac {\partial {\bar {u}}}{\partial y}}}$${\displaystyle -{\overline {v'T'}}=\varepsilon _{H}{\frac {\partial {\bar {T}}}{\partial y}}}$
${\displaystyle -{\overline {u'v'}}}$${\displaystyle -{\overline {v'T'}}}$

${\displaystyle \mathrm {Pr} _{\mathrm {t} }={\frac {\varepsilon _{M}}{\varepsilon _{H}}}.}$

Было показано, что турбулентное число Прандтля, как правило, не равно единице (например, Malhotra and Kang, 1984; Kays, 1994; McEligot and Taylor, 1996; и Churchill, 2002). Это сильная функция молекулярного числа Прандтля среди других параметров, и аналогия Рейнольдса не применима, когда молекулярное число Прандтля значительно отличается от единицы, как было определено Малхотрой и Кангом; ^[1] и разработан Мак-Элиготом и Тейлором ^[2] и Черчиллем ^[3]

Заявление [ править ]

Турбулентный импульс уравнение пограничного слоя: Турбулентный тепловое уравнение пограничного слоя, Подставляя вихревые диффузии в импульсе и тепловые уравнения дают и подставить в уравнение теплового используя определения турбулентного числа Прандтля , чтобы получить
${\displaystyle {\bar {u}}{\frac {\partial {\bar {u}}}{\partial x}}+{\bar {v}}{\frac {\partial {\bar {u}}}{\partial y}}=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {d{\bar {P}}}{dx}}+{\frac {\partial }{\partial y}}\left[(\nu {\frac {\partial {\bar {u}}}{\partial y}}-{\overline {u'v'}})\right].}$

${\displaystyle {\bar {u}}{\frac {\partial {\bar {T}}}{\partial x}}+{\bar {v}}{\frac {\partial {\bar {T}}}{\partial y}}={\frac {\partial }{\partial y}}\left(\alpha {\frac {\partial {\bar {T}}}{\partial y}}-{\overline {v'T'}}\right).}$
${\displaystyle {\bar {u}}{\frac {\partial {\bar {u}}}{\partial x}}+{\bar {v}}{\frac {\partial {\bar {u}}}{\partial y}}=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {d{\bar {P}}}{dx}}+{\frac {\partial }{\partial y}}\left[(\nu +\varepsilon _{M}){\frac {\partial {\bar {u}}}{\partial y}}\right]}$

${\displaystyle {\bar {u}}{\frac {\partial {\bar {T}}}{\partial x}}+{\bar {v}}{\frac {\partial {\bar {T}}}{\partial y}}={\frac {\partial }{\partial y}}\left[(\alpha +\varepsilon _{H}){\frac {\partial {\bar {T}}}{\partial y}}\right].}$

${\displaystyle {\bar {u}}{\frac {\partial {\bar {T}}}{\partial x}}+{\bar {v}}{\frac {\partial {\bar {T}}}{\partial y}}={\frac {\partial }{\partial y}}\left[(\alpha +{\frac {\varepsilon _{M}}{\mathrm {Pr} _{\mathrm {t} }}}){\frac {\partial {\bar {T}}}{\partial y}}\right].}$

Последствия [ править ]

В частном случае, когда число Прандтля и турбулентное число Прандтля равны единице (как в аналогии Рейнольдса ), профиль скорости и профили температуры идентичны. Это значительно упрощает решение проблемы теплопередачи. Если число Прандтля и турбулентное число Прандтля отличны от единицы, то решение возможно, зная турбулентное число Прандтля, так что можно по-прежнему решать уравнения импульса и температуры.

В общем случае трехмерной турбулентности концепции вихревой вязкости и вихревой диффузии недействительны. Следовательно, турбулентное число Прандтля не имеет значения.^[4]

Ссылки [ править ]

Книги [ править ]

• Кейс, Уильям; Crawford, M .; Вейганд, Б. (2005). Конвективный тепло- и массообмен, четвертое издание . Макгроу-Хилл. ISBN 978-0-07-246876-2.