Номер декана

Число Дина ( De ) - это безразмерная группа в механике жидкости , которая встречается при изучении потока в изогнутых трубах и каналах . Он назван в честь британского ученого В. Р. Дина , который первым предложил теоретическое решение движения жидкости через изогнутые трубы для ламинарного потока , используя процедуру возмущения от потока Пуазейля в прямой трубе к потоку в трубе с очень высокой малая кривизна. ^[1]^[2]

Физический контекст [ править ]

Схема пары вихрей Дина, образующихся в изогнутых трубах.

Если жидкость движется по прямой трубе, которая после некоторой точки становится изогнутой, центростремительные силы на изгибе заставят частицы жидкости изменить свое основное направление движения. Будет создаваться неблагоприятный градиент давления из-за кривизны с увеличением давления, поэтому уменьшение скорости вблизи выпуклой стенки и обратное будет происходить по направлению к внешней стороне трубы. Это вызывает вторичное движение, наложенное на первичный поток, при этом жидкость в центре трубы уносится к внешней стороне колена, а жидкость у стенки трубы возвращается внутрь колена. Ожидается, что это вторичное движение проявится в виде пары вращающихся в противоположных направлениях ячеек, которые называются вихрями Дина .

Определение [ править ]

Номер Дина обычно обозначается De (или Dn ). Для потока в трубе или трубе он определяется как:

{\mathit {De}}={\frac {\sqrt {{\frac {1}{2}}\,({\text{inertial forces}})({\text{centripetal forces}})}}{\text{viscous forces}}}={\frac {\sqrt {{\frac {1}{2}}\,(\rho \,D^{2}\,R_{c}\,{\frac {v^{2}}{D}})(\rho \,D^{2}\,R_{c}\,{\frac {v^{2}}{R_{c}}})}}{\mu {\frac {v}{D}}D\,R_{c}}}={\frac {\rho \,D\,v}{\mu }}{\sqrt {\frac {D}{2\,R_{c}}}}={\textit {Re}}\,{\sqrt {\frac {D}{2\,R_{c}}}}

куда

$\rho$ плотность жидкости
$\mu$ это динамическая вязкость
$v$ - масштаб осевой скорости
$D$ - диаметр (для некруглой геометрии используется эквивалентный диаметр; см. число Рейнольдса )
$R_{c}$ - радиус кривизны траектории канала.
${\textit {Re}}$ - число Рейнольдса .

Следовательно, число Дина является произведением числа Рейнольдса (основанного на осевом потоке через трубу с диаметром ) и квадратного корня из коэффициента кривизны. $v$ $D$

Переход турбулентности [ править ]

Для низких чисел Дина (De <40 ~ 60) поток полностью однонаправлен. Когда число Дина увеличивается от 40 ~ 60 до 64 ~ 75, в поперечном сечении могут наблюдаться некоторые волнообразные возмущения, что свидетельствует о некотором вторичном течении. При более высоких числах Дина (De> 64 ~ 75) пара вихрей Дина становится стабильной, что указывает на первичную динамическую нестабильность. Вторичная нестабильность возникает при De> 75 ~ 200, когда вихри представляют собой волнообразные движения, закручивание и, в конечном итоге, слияние и разделение пар. Полностью турбулентный поток образуется при De> 400. ^[3] Переход от ламинарного к турбулентному потоку также изучался в ряде исследований, хотя универсального решения не существует, поскольку параметр сильно зависит от коэффициента кривизны. ^[4]Несколько неожиданно ламинарный поток может поддерживаться для больших чисел Рейнольдса (даже в два раза для самых высоких изученных коэффициентов кривизны), чем для прямых труб, даже несмотря на то, что кривизна, как известно, вызывает нестабильность. ^[5]

Уравнения Дина [ править ]

Число Дина фигурирует в так называемых уравнениях Дина . ^[6] Это приближение к полным уравнениям Навье – Стокса для установившегося аксиально однородного потока ньютоновской жидкости в тороидальной трубе, полученное путем сохранения только эффектов кривизны главного порядка (т. Е. Уравнений главного порядка для ). $a/r\ll 1$

Мы используем ортогональные координаты с соответствующими единичными векторами, выровненными по центральной линии трубы в каждой точке. Осевое направление , с является нормальным в плоскости центральной линии, и в бинормали . Для осевого потока, управляемого градиентом давления , осевая скорость масштабируется с . Скорости в поперечном потоке масштабируются с , а давление в поперечном потоке - с . Длины масштабируются с учетом радиуса трубы . $(x,y,z)$ $({\hat {\boldsymbol {x}}},{\hat {\boldsymbol {y}}},{\hat {\boldsymbol {z}}})$ ${\hat {\boldsymbol {z}}}$ ${\hat {\boldsymbol {x}}}$ ${\hat {\boldsymbol {y}}}$ $G$ $u_{z}$ $U=Ga^{2}/\mu$ $u_{x},u_{y}$ $(a/R)^{1/2}U$ $\rho aU^{2}/L$ $a$

В терминах этих безразмерных переменных и координат уравнения Дина тогда выглядят так:

De\left({\frac {\mathrm {D} u_{x}}{\mathrm {D} t}}-u_{z}^{2}\right)=-De{\frac {\partial p}{\partial x}}+\nabla ^{2}u_{x}

De{\frac {\mathrm {D} u_{y}}{\mathrm {D} t}}=-De{\frac {\partial p}{\partial y}}+\nabla ^{2}u_{y}

De{\frac {\mathrm {D} u_{z}}{\mathrm {D} t}}=1+\nabla ^{2}u_{z}

{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{y}}{\partial y}}=0

куда

{\frac {\mathrm {D} }{\mathrm {D} t}}=u_{x}{\frac {\partial }{\partial x}}+u_{y}{\frac {\partial }{\partial y}}

- конвективная производная .

Число Дина De - это единственный параметр, оставшийся в системе, и он включает в себя эффекты кривизны ведущего порядка . Приближения более высокого порядка будут включать дополнительные параметры.

Для эффектов слабой кривизны (малых De ) уравнения Дина могут быть решены как разложение в ряд по De . Первая поправка к осевому потоку Пуазейля первого порядка - это пара вихрей в поперечном сечении, переносящих поток изнутри наружу изгиба через центр и обратно по краям. Это решение стабильно до критического числа Дина . ^[7] Для больших De существует несколько решений, многие из которых нестабильны. $De_{c}\approx 956$

Связь с числом Нуссельта

Nu=0.76\cdot Re^{-0.23}\cdot De^{-0.114}

в которой:

Re - число Рейнольдса
Де - номер декана
Nu - число Нуссельта

Ссылки [ править ]

^ Дин, WR (1927). «Замечание о движении жидкости в изогнутой трубе» . Фил. Mag . 4 (20): 208–223. DOI : 10.1080 / 14786440708564324 .
^ Дин, WR (1928). «Обтекаемое движение жидкости в изогнутой трубе» . Фил. Mag . Series 7. 5 (30): 673–695. DOI : 10.1080 / 14786440408564513 .
^ Лиграни, Филип М. «Исследование развития и структуры вихря Дина в изогнутом прямоугольном канале с соотношением сторон 40 с номерами декана до 430» , Исследовательская лаборатория армии США (Отчет подрядчика ARL-CR-144) и Исследовательский центр Льюиса (Отчет подрядчика НАСА 4607), июль 1994 г. Проверено 11 июля 2017 г.
^ Kalpakli, Афанасия (2012). Экспериментальное исследование турбулентных течений на изгибах труб (Дипломная работа). Стокгольм, Швеция: Королевский технологический институт KTH Mechanics. С. 461–512.
^ Тейлор, GI (1929). «Критерий турбулентности в изогнутых трубах» . Труды Лондонского королевского общества A: математические, физические и инженерные науки . 124 (794): 243–249. Bibcode : 1929RSPSA.124..243T . DOI : 10.1098 / rspa.1929.0111 .
^ Местел, Дж. Поток в изогнутых трубах: уравнения Декана , Раздаточный материал лекции для курса M4A33 , Имперский колледж.
^ Деннис, CR; Нг, М. (1982). «Двойные решения для устойчивого ламинарного потока через изогнутую трубу». QJ Mech. Прил. Математика . 35 (3): 305. DOI : 10,1093 / qjmam / 35.3.305 .

Berger, SA; Talbot, L .; Яо, LS (1983). «Течение в изогнутых трубах». Анну. Rev. Fluid Mech . 15 : 461–512. Bibcode : 1983AnRFM..15..461B . DOI : 10.1146 / annurev.fl.15.010183.002333 .

[Dean1927-1] Дин, WR (1927). «Замечание о движении жидкости в изогнутой трубе» . Фил. Mag . 4 (20): 208–223. DOI : 10.1080 / 14786440708564324 .

[Dean1928-2] Дин, WR (1928). «Обтекаемое движение жидкости в изогнутой трубе» . Фил. Mag . Series 7. 5 (30): 673–695. DOI : 10.1080 / 14786440408564513 .

[3] Лиграни, Филип М. «Исследование развития и структуры вихря Дина в изогнутом прямоугольном канале с соотношением сторон 40 с номерами декана до 430» , Исследовательская лаборатория армии США (Отчет подрядчика ARL-CR-144) и Исследовательский центр Льюиса (Отчет подрядчика НАСА 4607), июль 1994 г. Проверено 11 июля 2017 г.

[4] Kalpakli, Афанасия (2012). Экспериментальное исследование турбулентных течений на изгибах труб (Дипломная работа). Стокгольм, Швеция: Королевский технологический институт KTH Mechanics. С. 461–512.

[5] Тейлор, GI (1929). «Критерий турбулентности в изогнутых трубах» . Труды Лондонского королевского общества A: математические, физические и инженерные науки . 124 (794): 243–249. Bibcode : 1929RSPSA.124..243T . DOI : 10.1098 / rspa.1929.0111 .

[6] Местел, Дж. Поток в изогнутых трубах: уравнения Декана , Раздаточный материал лекции для курса M4A33 , Имперский колледж.

[7] Деннис, CR; Нг, М. (1982). «Двойные решения для устойчивого ламинарного потока через изогнутую трубу». QJ Mech. Прил. Математика . 35 (3): 305. DOI : 10,1093 / qjmam / 35.3.305 .

[1]