В статистической проверке гипотез , равномерно наиболее мощный ( UMP ) тест является критерием проверкой гипотезы , которая имеет наибольшую силу среди всех возможных тестов заданного размера α . Например, согласно лемме Неймана – Пирсона , критерий отношения правдоподобия - это UMP для проверки простых (точечных) гипотез.
Параметр
Позволять Обозначит случайный вектор (соответствующие измерения), взятый из параметризованного семейства из функций плотности вероятности или функции вероятности , который зависит от неизвестного детерминированного параметра . Пространство параметров разбивается на два непересекающихся множества а также . Позволять обозначим гипотезу о том, что , и разреши обозначим гипотезу о том, что . Бинарная проверка гипотез выполняется с помощью тестовой функции.
означающий, что действует, если измерение и это действует, если измерение . Обратите внимание, что является непересекающимся покрытием измерительного пространства.
Формальное определение
Тестовая функция UMP размера если для любой другой тестовой функции удовлетворение
у нас есть
Теорема Карлина – Рубина.
Теорема Карлина – Рубина может рассматриваться как расширение леммы Неймана – Пирсона для сложных гипотез. [1] Рассмотрим скалярное измерение, имеющее функцию плотности вероятности, параметризованную скалярным параметром θ , и определим отношение правдоподобия. Если монотонно неубывает, в , для любой пары (это означает, что чем больше есть, более вероятно есть), то пороговая проверка:
- где выбирается так, что
UMP-тест размера α для тестирования
Обратите внимание, что точно такой же тест также является UMP для тестирования.
Важный случай: экспоненциальная семья
Хотя теорема Карлина-Рубина может показаться слабой из-за ее ограничения скалярным параметром и скалярным измерением, оказывается, что существует множество проблем, для которых теорема верна. В частности, одномерное экспоненциальное семейство из функций плотности вероятности или вероятность массовых функций с
имеет монотонное неубывающее отношение правдоподобия в достаточной статистике , при условии, что не убывает.
Пример
Позволять Обозначить ИИД нормально распределенный -мерные случайные векторы со средним и ковариационная матрица . Тогда у нас есть
которое в точности имеет форму экспоненциального семейства, показанного в предыдущем разделе, с достаточной статистикой
Таким образом, делаем вывод, что тест
это тест размера UMP для тестирования против.
Дальнейшее обсуждение
Наконец, отметим, что в целом UMP-тесты не существуют для векторных параметров или для двусторонних тестов (тест, в котором одна гипотеза находится по обе стороны от альтернативы). Причина в том, что в этих ситуациях наиболее эффективный тест заданного размера для одного возможного значения параметра (например, для где ) отличается от самого мощного теста того же размера для другого значения параметра (например, для где ). В результате, ни один тест не является равномерно наиболее мощным в этих ситуациях.
Рекомендации
дальнейшее чтение
- Фергюсон, Т.С. (1967). «Раздел 5.2: Наиболее мощные тесты ». Математическая статистика: теоретико-решающий подход . Нью-Йорк: Academic Press.
- Настроение, AM; Graybill, FA; Бос, округ Колумбия (1974). «Раздел IX.3.2: Наиболее мощные тесты ». Введение в теорию статистики (3-е изд.). Нью-Йорк: Макгроу-Хилл.
- Л.Л. Шарф, Статистическая обработка сигналов , Аддисон-Уэсли, 1991, раздел 4.7.