В математике высота элемента g абелевой группы A — это инвариант, отражающий его свойства делимости: это наибольшее натуральное число N такое, что уравнение Nx = g имеет решение x ∈ A , или символ ∞, если существует нет такого N . p - высота учитывает только свойства делимости на степени фиксированного простого числа p . Понятие высоты допускает уточнение, так что p -высота становится порядковым числом . . Высота играет важную роль в теоремах Прюфера, а также в теореме Ульма , которая описывает классификацию некоторых бесконечных абелевых групп с точки зрения их факторов Ульма или инвариантов Ульма .
Пусть A — абелева группа и g — элемент из A . p -высота g в A , обозначаемая h p ( g ), есть наибольшее натуральное число n такое, что уравнение pn x = g имеет решение в x ∈ A , или символ ∞, если решение существует для всех n . Таким образом , h p ( g ) = n тогда и только тогда, когда g ∈ p n A и г ∉ п п +1 А . Это позволяет уточнить понятие высоты.
Для любого ординала α существует подгруппа p α A группы A , которая является образом карты умножения на p , итерированной α раз, определенной с помощью трансфинитной индукции :
Подгруппы p α A образуют убывающую фильтрацию группы A , а их пересечение есть подгруппа p -делимых элементов группы A , элементам которой поставлена в соответствие высота ∞. Модифицированная p -высота h p ∗ ( g ) = α , если g ∈ p α A , но g ∉ p α +1 A. Конструкция p α A функториальна в A _; в частности, подфакторы фильтрации являются инвариантами изоморфизма A .
Пусть p — фиксированное простое число. (Первая) подгруппа Ульма абелевой группы A , обозначаемая U ( A ) или A 1 , есть p ω A = ∩ n p n A , где ω — наименьший бесконечный ординал . Он состоит из всех элементов A бесконечной высоты. Семейство { U σ ( A )} ульмовских подгрупп, индексируемых ординалами σ , определяется трансфинитной индукцией:
Подгруппы Ульма образуют убывающую фильтрацию группы A , чьи факторы Uσ ( A ) = Uσ ( A )/ Uσ + 1 ( A ) называются факторами Ульма группы A. Эта фильтрация стабилизируется, и наименьший ординал τ такой, что U τ ( A ) = U τ +1 ( A ) , является ульмовской длиной A. Наименьшая подгруппа Ульма U τ ( A ), также обозначаемаяU ∞ ( A ) и p ∞ A, состоит из всех p -делимых элементов A и, будучи делимой группой , является прямым слагаемым A .