Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Подтвержденные числа или строгие вычисления , проверенные вычисления , надежные вычисления , числовая проверка ( немецкий : Zuverlässiges Rechnen ) - это числа, включая математически строгую оценку погрешности (ошибка округления, ошибка усечения, ошибка дискретизации), и это одна из областей численного анализа . Для вычислений используется интервальная арифметика , и все результаты представлены интервалами. Validated Числовые были использованы Warwick Таккер для решения 14 - ого проблем Смейла , [1]и сегодня он признан мощным инструментом для изучения динамических систем . [2]

См. Также: Численный анализ и интервальная арифметика.

Важность [ править ]

Расчет без проверки может привести к неудачным результатам. Ниже приведены некоторые примеры.

Пример Румпа [ править ]

В 1980-х Рэмп привел пример. [3] [4] Он выполнил сложную функцию и попытался получить ее значение. Результаты одинарной, двойной и расширенной точности казались правильными, но его знак плюс-минус отличался от истинного значения.

Фантомное решение [ править ]

Брейер – Плам – Маккенна использовал спектральный метод для решения краевой задачи уравнения Эмдена и сообщил, что было получено асимметричное решение. [5] Этот результат исследования противоречил теоретическому исследованию Гидаса – Ни – Ниренберга, в котором утверждалось, что асимметричного решения не существует. [6] Решение, полученное Брейером – Пламом – МакКенной, было фантомным решением, вызванным ошибкой дискретизации. Это редкий случай, но он говорит нам о том, что, когда мы хотим строго обсуждать дифференциальные уравнения, численные решения должны быть проверены.

Несчастные случаи, вызванные числовыми ошибками [ править ]

Следующие ниже примеры известны как несчастные случаи, вызванные числовыми ошибками:

Основные темы [ править ]

Изучение проверенных числовых значений разделено на следующие области:

  • Проверка в числовой линейной алгебре
    • Проверка численных решений данной системы линейных уравнений [10] [11]
    • Проверка численно полученных собственных значений [12] [13] [14]
    • Строгое вычисление определителей [15]
    • Проверка численных решений матричных уравнений [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22]
  • Проверка специальных функций :
    • Гамма-функция [23] [24]
    • Эллиптические функции [25]
    • Гипергеометрические функции [26]
    • Дзета-функция Гурвица [27]
    • Функция Бесселя
    • Матричная функция [28] [29] [30]
  • Проверка числовой квадратуры [31] [32] [33]
  • Проверка нелинейных уравнений ( изучаются теорема Канторовича , [34] метод Кравчика, интервальный метод Ньютона, метод Дюрана – Кернера – Аберта).
  • Верификация решений ОДУ, УЧП [35] (Для УЧП используются знания функционального анализа . [34] )
  • Проверка линейного программирования [36]
  • Проверка вычислительной геометрии
  • Проверка в высокопроизводительной вычислительной среде
См. Также: численные методы для обыкновенных дифференциальных уравнений , числовой линейной алгебры , числовой квадратуры и вычислительной геометрии.

Инструменты [ править ]

  • Библиотека INTLAB, созданная MATLAB / GNU Octave
  • kv Библиотека на C ++ . Эта библиотека может получать выходные данные с различной точностью, используя GNU MPFR .
    • kv на GitHub
  • Арбы Библиотека сделана C . Он способен строго вычислять различные специальные функции .
    • arb на GitHub
  • CAPD Набор гибких модулей C ++, которые в основном предназначены для вычисления гомологии множеств, отображений и проверенных числовых значений для динамических систем .
  • JuliaInterval на GitHub (библиотека, созданная Джулией )

См. Также [ править ]

  • Компьютерное доказательство
  • Интервальная арифметика
  • Аффинная арифметика
  • ИНТЛАБ (Интервальная лаборатория)
  • Автоматическая дифференциация
  • викиучебники: Численные расчеты и строгая математика
  • Теорема канторовича
  • Теорема Гершгорина о круге
  • Ульрих В. Кулиш

Ссылки [ править ]

  1. ^ Такер, Уорик . (1999). «Аттрактор Лоренца существует». Comptes Rendus de l'Académie des Sciences-Series I-Mathematics , 328 (12), 1197–1202.
  2. ^ Зин Arai, Hiroshi Kokubu, Paweãl Пилярчик. Последние разработки в области строгих вычислительных методов в динамических системах .
  3. ^ Румп, Зигфрид М. (1988). «Алгоритмы проверенных включений: теория и практика». В « Надежность в вычислениях» (стр. 109–126). Академическая пресса.
  4. ^ Ло, Юджин; Уолстер, Дж. Уильям (2002). Вернемся к примеру Рэмпа. Надежные вычисления, 8 (3), 245-248.
  5. ^ Брейер, B .; Слива, Майкл; Маккенна, Патрик Дж. (2001). «Включения и доказательства существования решений нелинейной краевой задачи спектрально-численными методами». В « Темах численного анализа» (стр. 61–77). Шпрингер, Вена.
  6. ^ Gidas, B .; Ни, Вэй-Мин; Ниренберг, Луи (1979). «Симметрия и связанные с ней свойства через принцип максимума». Сообщения по математической физике , 68 (3), 209–243.
  7. ^ http://www-users.math.umn.edu/~arnold//disasters/patriot.html
  8. ^ ARIANE 5 Flight 501 Failure, http://sunnyday.mit.edu/nasa-class/Ariane5-report.html.
  9. ^ Ошибка округления меняет состав парламента
  10. Перейти ↑ Yamamoto, T. (1984). Оценки погрешности приближенных решений систем уравнений. Японский журнал прикладной математики, 1 (1), 157.
  11. Перейти ↑ Oishi, S., & Rump, SM (2002). Быстрая проверка решений матричных уравнений. Numerische Mathematik, 90 (4), 755-773.
  12. Перейти ↑ Yamamoto, T. (1980). Границы ошибок для вычисленных собственных значений и собственных векторов. Numerische Mathematik, 34 (2), 189–199.
  13. Перейти ↑ Yamamoto, T. (1982). Границы ошибок для вычисленных собственных значений и собственных векторов. II. Numerische Mathematik, 40 (2), 201-206.
  14. ^ Майер, Г. (1994). Проверка результатов для собственных векторов и собственных значений. Topics in Validated Computations, Elsevier, Amsterdam, 209-276.
  15. ^ Ogita, Т. (2008). Подтвержденное численное вычисление определителя матрицы. SCAN'2008 Эль-Пасо, Техас, 29 сентября - 3 октября 2008 г., 86 г.
  16. ^ Шинья Миядзима, Проверенные вычисления для эрмитова положительно определенного решения сопряженного алгебраического уравнения Риккати с дискретным временем, Журнал вычислительной и прикладной математики, том 350, страницы 80-86, апрель 2019.
  17. ^ Шинья Миядзима, Быстрое проверенное вычисление минимального неотрицательного решения несимметричного алгебраического уравнения Риккати, Вычислительная и прикладная математика, том 37, выпуск 4, страницы 4599-4610, сентябрь 2018.
  18. ^ Шинья Миядзима, Быстрое проверенное вычисление для решения Т-конгруэнтного уравнения Сильвестра, Японский журнал промышленной и прикладной математики, том 35, выпуск 2, страницы 541-551, июль 2018.
  19. ^ Шинья Миядзима, Быстрое проверенное вычисление для растворителя квадратного матричного уравнения, Электронный журнал линейной алгебры, том 34, страницы 137-151, март 2018
  20. ^ Шинья Миядзима, Быстрые проверенные вычисления для решений алгебраических уравнений Риккати, возникающих в теории переноса, Численная линейная алгебра с приложениями, том 24, выпуск 5, страницы 1-12, октябрь 2017.
  21. ^ Шинья Миядзима, Быстрые проверенные вычисления для стабилизации решений алгебраических уравнений Риккати с дискретным временем, Журнал вычислительной и прикладной математики, том 319, страницы 352-364, август 2017.
  22. ^ Шинья Миядзима, Быстрые проверенные вычисления для решений алгебраических уравнений Риккати с непрерывным временем, Японский журнал промышленной и прикладной математики, том 32, выпуск 2, страницы 529-544, июль 2015.
  23. ^ Румп, Зигфрид М. (2014). Проверенные точные границы для реальной гамма-функции во всем диапазоне чисел с плавающей запятой. Нелинейная теория и ее приложения, IEICE, 5 (3), 339-348.
  24. ^ Яманака, Наоя; Окаяма, Томоаки; Оиси, Синьити (2015, ноябрь). Проверенные границы ошибок для реальной гамма-функции с использованием формулы двойной экспоненты за полубесконечный интервал. В Международной конференции по математическим аспектам компьютерных и информационных наук (стр. 224-228). Springer.
  25. ^ Йоханссон, Фредрик (2019). Численное вычисление эллиптических функций, эллиптических интегралов и модулярных форм. В эллиптических интегралах, эллиптических функциях и модулярных формах в квантовой теории поля (стр. 269-293). Спрингер, Чам.
  26. ^ Йоханссон, Фредрик (2019). Вычисление гипергеометрических функций строго. Транзакции ACM на математическом программном обеспечении (TOMS), 45 (3), 30.
  27. ^ Йоханссон, Фредрик (2015). Строгое высокоточное вычисление дзета-функции Гурвица и ее производных. Численные алгоритмы, 69 (2), 253-270.
  28. ^ Миядзима, S. (2018). Быстрое проверенное вычисление для главного корня p-й степени матрицы. en: Журнал вычислительной и прикладной математики , 330, 276-288.
  29. ^ Миядзима, С. (2019). Проверенные вычисления для главного логарифма матрицы. Линейная алгебра и ее приложения, 569, 38-61.
  30. ^ Миядзима, С. (2019). Проверено вычисление экспоненты матрицы. Успехи в вычислительной математике, 45 (1), 137-152.
  31. ^ Йоханссон, Фредрик (2017). Произвольная: эффективная арифметика интервалов средней точки-радиуса произвольной точности. IEEE Transactions on Computers, 66 (8), 1281-1292.
  32. ^ Йоханссон, Фредрик (2018, июль). Численное интегрирование в шаровой арифметике произвольной точности. В Международном конгрессе по математическому программному обеспечению (стр. 255-263). Спрингер, Чам.
  33. ^ Йоханссон, Фредрик; Меззаробба, Марк (2018). Быстрое и строгое вычисление произвольной точности квадратурных узлов и весов Гаусса - Лежандра. Журнал SIAM по научным вычислениям , 40 (6), C726-C747.
  34. ^ a b Эберхард Цейдлер  [ де ] , Нелинейный функциональный анализ и его приложения IV. Springer Science & Business Media .
  35. ^ Мицухиро Т. Накао, Майкл Плам, Ёситака Ватанабэ (2019) Методы численной проверки и компьютерные доказательства для дифференциальных уравнений с частными производными (серия Спрингера в вычислительной математике).
  36. ↑ Оиси, Синьити; Танабэ, Кунио (2009). Численный учет оптимальной точки для линейного программирования. Письма JSIAM, 1, 5-8.

Дальнейшее чтение [ править ]

  • Такер, Уорик (2011). Подтвержденные числа: краткое введение в строгие вычисления. Издательство Принстонского университета .
  • Мур, Рамон Эдгар , Кирфотт, Р. Бейкер., Клауд, Майкл Дж. (2009). Введение в интервальный анализ. Общество промышленной и прикладной математики .
  • Румп, Зигфрид М. (2010). Методы проверки: точные результаты с использованием арифметики с плавающей запятой. Acta Numerica , 19, 287-449.

Внешние ссылки [ править ]

  • Подтвержденные цифры для пешеходов
  • Надежные вычисления , открытый электронный журнал, посвященный численным вычислениям с гарантированной точностью, ограничению диапазонов, математическим доказательствам, основанным на арифметике с плавающей запятой, и другим теориям и приложениям интервальной арифметики и направленного округления.