В комбинаторике тождество Вандермонда (или свертка Вандермонда ) — это следующее тождество для биномиальных коэффициентов :
для любых неотрицательных целых чисел r , m , n . Тождество названо в честь Александра-Теофиля Вандермонда (1772), хотя оно было известно уже в 1303 году китайскому математику Чжу Шицзе . [1]
где мы используем соглашение, согласно которому a i = 0 для всех целых чисел i > m и b j = 0 для всех целых чисел j > n . По биномиальнойтеореме
Используя биномиальную теорему также для показателей m и n , а затем приведенную выше формулу для произведения многочленов, получаем
где приведенное выше соглашение о коэффициентах многочленов согласуется с определением биномиальных коэффициентов, поскольку оба дают ноль для всех i > m и j > n соответственно.
Сравнивая коэффициенты при x r , тождество Вандермонда следует для всех целых чисел r с 0 ≤ r ≤ m + n . Для больших целых чисел r обе части тождества Вандермонда равны нулю из-за определения биномиальных коэффициентов.