Модель случайных эффектов

В статистике модель случайных эффектов , также называемая моделью компонентов дисперсии , представляет собой статистическую модель , в которой параметры модели являются случайными величинами . Это своего рода иерархическая линейная модель , которая предполагает, что анализируемые данные взяты из иерархии различных групп населения, различия которых связаны с этой иерархией. В эконометрике модели случайных эффектов используются при панельном анализе иерархических или панельных данных, когда предполагается отсутствие фиксированных эффектов (это позволяет учитывать индивидуальные эффекты). Модель со случайными эффектами является частным случаем смешанной модели .

Сравните это с определениями биостатистики , ^{[1] [2] [3] [4] [5]} , поскольку биостатистики используют «фиксированные» и «случайные» эффекты для обозначения, соответственно, усредненных по популяции и специфических для субъекта эффектов (и где последние обычно считаются неизвестными, скрытыми переменными ).

Качественное описание

Модели случайных эффектов помогают контролировать ненаблюдаемую неоднородность , когда неоднородность постоянна во времени и не коррелирует с независимыми переменными. Эта константа может быть удалена из лонгитюдных данных с помощью разности, поскольку получение первой разности удалит любые неизменные во времени компоненты модели. ^[6]

Можно сделать два общих предположения об индивидуальном специфическом эффекте: предположение о случайных эффектах и ​​предположение о фиксированных эффектах. Предположение о случайных эффектах состоит в том, что индивидуальная ненаблюдаемая гетерогенность не коррелирует с независимыми переменными. Предположение о фиксированном эффекте состоит в том, что индивидуальный специфический эффект коррелирует с независимыми переменными. ^[6]

Если верно предположение о случайных эффектах, то оценщик случайных эффектов более эффективен , чем модель с фиксированными эффектами.

Простой пример

Предположим , что m больших начальных школ выбираются случайным образом из тысяч в большой стране. Предположим также, что в каждой выбранной школе случайным образом выбираются n учеников одного возраста. Уточняются их баллы по стандартному тесту способностей. Пусть Y _ij — балл j -го ученика i -й школы. Простой способ смоделировать эту переменную

${\ displaystyle Y_ {ij} = \ mu + U_ {i} + W_ {ij}, \,}$

где μ — средний балл теста для всего населения. В этой модели U _i представляет собой характерный для школы случайный эффект : он измеряет разницу между средним баллом в школе i и средним баллом по стране в целом. Член W _ij является индивидуально-специфическим случайным эффектом, т. е. отклонением балла j - го ученика от среднего по i - й школе.

Модель можно расширить, включив дополнительные независимые переменные, которые будут отражать различия в баллах между разными группами. Например:

${\ displaystyle Y_ {ij} = \ mu + \ beta _ {1} \ mathrm {Sex} _ {ij} + \ beta _ {2} \ mathrm {ParentsEduc} _ {ij} + U_ {i} + W_ { ij},\,}$

где Sex _ij — фиктивная переменная для мальчиков/девочек, а ParentsEduc _ij записывает, скажем, средний уровень образования родителей ребенка. Это смешанная модель , а не модель с чисто случайными эффектами, поскольку она вводит термины с фиксированными эффектами для секса и образования родителей.

Компоненты дисперсии

Дисперсия Y _ij представляет собой сумму дисперсий τ 2 ^и σ ² U _i и W _ij соответственно.

Позволять

${\displaystyle {\overline {Y}}_{i\bullet }={\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}Y_{ij}}$

— среднее не всех баллов в i -й школе, а тех в i -й школе, которые вошли в случайную выборку . Позволять

${\displaystyle {\overline {Y}}_{\bullet \bullet }={\frac {1}{mn}}\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}Y_{ij}}$

быть в среднем .

Позволять

${\displaystyle SSW=\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}(Y_{ij}-{\overline {Y}}_{i\bullet })^{2}\,}$

${\displaystyle SSB=n\sum _{i=1}^{m}({\overline {Y}}_{i\bullet }-{\overline {Y}}_{\bullet \bullet })^{2}\,}$

быть соответственно суммой квадратов из-за различий внутри групп и суммой квадратов из-за различий между группами. Тогда можно показать ^{[ нужна ссылка ]} , что

${\displaystyle {\frac {1}{m(n-1)}}E(SSW)=\sigma ^{2}}$

и

${\displaystyle {\frac {1}{(m-1)n}}E(SSB)={\frac {\sigma ^{2}}{n}}+\tau ^{2}.}$

Эти « ожидаемые средние квадраты » могут быть использованы в качестве основы для оценки «компонентов дисперсии» σ ² и τ ² .

Параметр τ ² также называют коэффициентом внутриклассовой корреляции .

Приложения

Модели случайных эффектов, используемые на практике, включают модель договоров страхования Бюльмана и модель Фэя-Хэрриота, используемую для оценки малых площадей .

Смотрите также

• модель Бюльмана
• Иерархическое линейное моделирование
• Фиксированные эффекты
• МИНКУ
• Оценка ковариации
• Условная дисперсия

дальнейшее чтение

• Балтаджи, Бади Х. (2008). Эконометрический анализ панельных данных (4-е изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Уайли. стр. 17–22. ISBN 978-0-470-51886-1.
• Сяо, Ченг (2003). Анализ панельных данных (2-е изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. стр.  73–92 . ISBN 0-521-52271-4.
• Вулдридж, Джеффри М. (2002). Эконометрический анализ поперечных и панельных данных . Кембридж, Массачусетс: MIT Press. стр.  257–265 . ISBN 0-262-23219-7.
• Гомес, Дилан GE (20 января 2022 г.). «Должен ли я использовать фиксированные эффекты или случайные эффекты, когда у меня менее пяти уровней фактора группировки в модели смешанных эффектов?». ПирДж . 10 : e12794. doi : 10.7717/peerj.12794 .

использованная литература

внешняя ссылка

• Модели с фиксированными и случайными эффектами
• Как провести метаанализ: модели с фиксированным и случайным эффектом