Гипотеза Воута

Гипотеза Вога - это гипотеза в математической области теории моделей, первоначально предложенная Робертом Лоусоном Вотом в 1961 году. Она утверждает, что количество счетных моделей полной теории первого порядка в счетном языке конечно или ℵ ₀ или 2 ^{ℵ ₀} . Морли показал, что количество счетных моделей конечно или ℵ ₀ , или ℵ ₁ , или 2 ^{ℵ ₀} , что решает гипотезу, за исключением случая ℵ ₁ моделей, когда гипотеза континууматерпит неудачу. Для этого оставшегося случая Робин Найт ( 2002 , 2007 ) объявил контрпример к гипотезе Воута и топологической гипотезе Воута. По состоянию на 2021 год контрпример не проверен.

Пусть — счетная полная теория первого порядка с бесконечными моделями. Обозначим число моделей Т мощности с точностью до изоморфизма, спектр теории . Морли доказал , что если I ( T , ℵ ₀ ) бесконечно, то оно должно быть ℵ ₀ или ℵ ₁ или мощностью континуума. Гипотеза Воута — это утверждение, что это невозможно для . Гипотеза является тривиальным следствием континуум-гипотезы ${\ Displaystyle Т}$ ${\ Displaystyle I (Т, \ альфа)}$ ${\ Displaystyle \ альфа}$ ${\ Displaystyle Т}$ ${\ Displaystyle \ алеф _ {0} <I (Т, \ алеф _ {0}) <2 ^ {\ алеф _ {0}}}$ ; поэтому эта аксиома часто исключается при работе над гипотезой. В качестве альтернативы существует более точная форма гипотезы, которая утверждает, что любое счетное полное T с несчетным количеством счетных моделей будет иметь совершенный набор несчетных моделей (как указано Джоном Стилом в «О гипотезе Воута». Cabal Seminar 76–77 ( Proc.Caltech-UCLA Logic Sem., 1976–77), стр. 193–208, Lecture Notes in Math., 689, Springer, Berlin, 1978, эта форма гипотезы Воута эквивалентна оригиналу).

Первоначальная формулировка Воута была сформулирована не как гипотеза, а как проблема: можно ли доказать без использования континуум-гипотезы, что существует полная теория, имеющая ровно ℵ ₁ неизоморфных счетных моделей? Согласно результату Морли, упомянутому в начале, положительное решение гипотезы по существу соответствует отрицательному ответу на проблему Воута, как было первоначально заявлено.

Воут доказал, что количество счетных моделей полной теории не может быть равно 2. Это может быть любое конечное число, отличное от 2, например:

Идея доказательства теоремы Воута состоит в следующем. Если счетных моделей не более чем счетное количество, то есть наименьшая: атомарная модель , и наибольшая — насыщенная модель , которые различны, если моделей больше одной. Если они различны, насыщенная модель должна реализовать некоторый n -тип, опущенный атомарной моделью. Тогда можно показать, что атомарная модель теории структур, реализующая это n-тип (в языке, расширенном конечным числом констант) — это третья модель, не изоморфная ни атомарной, ни насыщенной модели. В приведенном выше примере с 3 моделями атомарной моделью является та, в которой последовательность неограничена, насыщенной моделью является та, в которой последовательность не сходится, а примером типа, не реализуемого атомарной моделью, является элемент, больший чем все элементы последовательности.