Пространство Рисса

В математике , A - пространство , решетки упорядоченного векторного пространства или векторная решетка является частично упорядоченным векторным пространством , где структура порядка является решеткой .

Пространства Рисса названы в честь Фриджеса Рисса, который первым определил их в своей статье 1928 года Sur la décomposition des opérations fonctionelles linéaires .

Пространства Рисса имеют широкое применение. Они важны в теории меры , поскольку важные результаты являются частными случаями результатов для пространств Рисса. Например, теорема Радона – Никодима следует как частный случай спектральной теоремы Фрейденталя . Пространства Рисса также нашли применение в математической экономике в работах греко-американского экономиста и математика Хараламбоса Д. Алипрантиса .

Определение [ править ]

Предварительные мероприятия [ править ]

Если Х представляет собой упорядоченное векторное пространство и , если S является подмножеством X , то элемент Ь ∈ Х представляет собой верхнюю границу (соответственно нижняя граница ) из S , если ев ≤ б (соотв. С ≥ б ) для всех s ∈ S . Элемент a в X - это точная верхняя грань или супремум (соответственно, большая нижняя грань или точная грань ) Sесли это верхняя граница (соответственно нижняя граница) S и если для любого ограниченного сверху (соответственно любой нижней границы) b для S , мы имеем a ≤ b (соответственно a ≥ b ).

Определения [ править ]

Предварительно упорядоченная векторная решетка [ править ]

Предупорядоченное векторная решетка представляет собой предварительно упорядоченное векторное пространство Е , в котором каждая пара элементов имеет верхнюю грань .

Более точно, A предупорядоченное векторная решетка является векторное пространство , снабженное предпорядке , ≤ , такое , что для любого х , у , г ∈ E :

1. Трансляционная инвариантность : x ≤ y влечет x + z ≤ y + z .
2. Положительная однородность : для любого скаляра 0 ≤ α , x ≤ y влечет αx ≤ αy . ^{[ требуется разъяснение ]}
3. Для любой пары векторов x , y в E существует супремум (обозначенный x ∨ y ) в E относительно порядка (≤) .

Предварительный заказ вместе с элементами 1 и 2, которые делают его «совместимым со структурой векторного пространства», делают E предварительно упорядоченным векторным пространством. Пункт 3 говорит, что предпорядок является полурешеткой соединения . Поскольку предварительный порядок совместим со структурой векторного пространства, можно показать, что любая пара также имеет нижнюю грань , что делает E также полурешеткой пересечения , следовательно, решеткой.

Предварительно упорядоченное векторное пространство E является предварительно упорядоченной векторной решеткой тогда и только тогда, когда оно удовлетворяет любому из следующих эквивалентных свойств:

1. Для любого х , у ∈ E , их супремум существует в Е .
2. Для любого х , у ∈ E , их нижняя грань существует в Е .
3. Для любого х , у ∈ E , их нижняя грань и их супремум существует в Е .
4. Для любого x ∈ E существует sup { x , 0}. ^[1]

Пространство Рисса и векторные решетки [ править ]

Линеал или векторная решетка является предупорядоченной векторной решеткой которого предзаказ представляет собой частичный порядок . Эквивалентно, это упорядоченное векторное пространство, для которого порядок является решеткой .

Обратите внимание, что многие авторы требовали, чтобы векторная решетка была частично упорядоченным векторным пространством (а не просто предварительно упорядоченным векторным пространством), в то время как другие требовали только, чтобы это было предварительно упорядоченное векторное пространство. В дальнейшем мы будем предполагать, что каждое пространство Рисса и каждая векторная решетка является упорядоченным векторным пространством, но что предварительно упорядоченная векторная решетка не обязательно частично упорядочена.

Если E - упорядоченное векторное пространство над положительным положительным, положительный конус которого C порождает (т.е. такой, что E = C - C ), и если для каждого x , y ∈ C существует либо или , то E - векторная решетка. ^[2]${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \sup\{x,y\}}$${\displaystyle \inf\{x,y\}}$

Интервалы [ править ]

Порядковый интервал в частично упорядоченном векторном пространстве - это выпуклое множество вида [ a , b ] = { x  : a ≤ x ≤ b }. В упорядоченном вещественном векторном пространстве каждый интервал вида [- x , x ] сбалансирован . ^[3] Из аксиом 1 и 2 выше следует, что x , y в [ a , b ] и λ в (0,1) влечет λ x  + (1 -  λ ) y в [ a , b]. Подмножество называется порядковым ограниченным, если оно содержится в некотором порядковом интервале. ^[3] Порядковая единица предварительно упорядоченного векторного пространства - это любой элемент x, такой что множество [- x , x ] является поглощающим . ^[3]

Множество всех линейных функционалов на предварительно упорядоченном векторном пространстве V, которые отображают каждый порядковый интервал в ограниченное множество, называется порядковой границей, двойственной к V и обозначается V ^{b [3].} Если пространство упорядочено, то его двойственная порядковая граница является вектором подпространство его алгебраического двойственного .

Подмножество векторной решетки Е называется порядок полным , если для каждого непустого подмножества B ⊆ таких , что Б есть порядок ограничен в A , так и существует и элементы A . Будем говорить , что векторная решетка E является порядок завершения является E является полное подмножество порядка Е . ^[4]${\displaystyle \sup B}$${\displaystyle \inf B}$

Конечномерные пространства Рисса [ править ]

Конечномерные векторные решетки попадают в одну из двух категорий в зависимости от того, является ли решетка архимедовой или нет .

Теорема : ^[5] Предположим, что X - векторная решетка конечной размерности n . Если X является архимедово упорядоченным тем (векторной решетка) изоморфно под ее канонический порядок. В противном случае, существует целое число K , удовлетворяющие 2 ≤ к ≤ п такие , что X изоморфно , где имеет свой канонический порядок, это с лексикографическим порядком , и продукт из этих двух пространств имеет канонический порядок продукта.${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} _{L}^{k}\times \mathbb {R} ^{n-k}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n-k}}$${\displaystyle \mathbb {R} _{L}^{k}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$

Таким образом, как и в случае с конечномерными топологическими векторными пространствами , конечномерные векторные решетки оказываются неинтересными.

Основные свойства [ править ]

Каждое пространство Рисса является частично упорядоченным векторным пространством , но не каждое частично упорядоченное векторное пространство является пространством Рисса.

Обратите внимание, что для любого подмножества A из X , когда существует либо супремум, либо инфимум (в этом случае они оба существуют). ^[2] Если и потом . ^[2] Для всех a , b , x и y в пространстве Рисса X мы имеем a - inf ( x , y ) + b = sup ( a - x + b , a - y + b ). ^[4]${\displaystyle \sup A=-\inf \left(-A\right)}$${\displaystyle x\geq 0}$${\displaystyle y\geq 0}$${\displaystyle [0,x]+[0,y]=[0,x+y]}$

Абсолютное значение [ править ]

Для каждого элемента х в линеале X , то абсолютное значение по х , обозначается , определяется как , ^[4] , где это удовлетворяет - | х | ≤ x ≤ | х | и | х | ≥ 0. Для любых x и y из X и любого действительного числа r имеем и . ^[4]${\displaystyle |x|}$${\displaystyle |x|:=\sup \left\{x,-x\right\}}$${\displaystyle |rx|=|r||x|}$${\displaystyle |x+y|\leq |x|+|y|}$

Несвязанность [ править ]

Будем говорить , что два элемента х и у в вектор решетки х являются решетки не пересекаются или не пересекаются , если , в этом случае мы пишем . Два элемента x и y не пересекаются тогда и только тогда, когда . Если x и y не пересекаются, то и , где для любого элемента z , и . Мы говорим, что два множества A и B не пересекаются, если a и b не пересекаются для всех a из A${\displaystyle \inf \left\{|x|,|y|\right\}=0}$${\displaystyle x\perp y}$${\displaystyle \sup\{|x|,|y|\}=|x|+|y|}$${\displaystyle |x+y|=|x|+|y|}$${\displaystyle \left(x+y\right)^{+}=x^{+}+y^{+}}$${\displaystyle z^{+}:=\sup \left\{z,0\right\}}$${\displaystyle z^{-}:=\sup \left\{-z,0\right\}}$и все b в B , и в этом случае мы пишем . ^[2] Если A - одноэлементный набор, мы будем писать вместо . Для любого множества A мы определяем непересекающееся дополнение как множество . ^[2] Непересекающиеся дополнения всегда являются полосами , но в общем случае обратное неверно. Если A - подмножество X такое, что существует, и если B - решетка подмножеств в X , не пересекающаяся с A , то B - решетка, не пересекающаяся с${\displaystyle A\perp B}$${\displaystyle \{a\}}$${\displaystyle a\perp B}$${\displaystyle \{a\}\perp B}$${\displaystyle A^{\perp }:=\left\{x\in X:x\perp A\right\}}$${\displaystyle x=\sup A}$${\displaystyle \{x\}}$. ^[2]

Представление в виде непересекающейся суммы положительных элементов [ править ]

Для любого x в X , пусть и , где обратите внимание, что оба этих элемента есть и with . Тогда и не пересекаются, и является единственным представлением x как разности непересекающихся элементов . ^[2] Для всех x и y в X , и . ^[2] Если y ≥ 0 и x ≤ y, то x ⁺ ≤ y . Причем, если и только если и .${\displaystyle x^{+}:=\sup \left\{x,0\right\}}$${\displaystyle x^{-}:=\sup \left\{-x,0\right\}}$${\displaystyle \geq 0}$${\displaystyle x=x^{+}-x^{-}}$${\displaystyle |x|=x^{+}+x^{-}}$${\displaystyle x^{+}}$${\displaystyle x^{-}}$${\displaystyle x=x^{+}-x^{-}}$${\displaystyle \geq 0}$${\displaystyle \left|x^{+}-y^{+}\right|\leq |x-y|}$${\displaystyle x+y=\sup\{x,y\}+\inf\{x,y\}}$${\displaystyle x\leq y}$${\displaystyle x^{+}\leq y^{+}}$${\displaystyle x^{-}\leq x^{-1}}$^[2]

Каждое пространство Рисса является дистрибутивной решеткой ; то есть он имеет следующие эквивалентные свойства: для всех x , y и z в X

1. x ∧ ( y ∨ z ) = ( x ∧ y ) ∨ ( x ∧ z )
2. x ∨ ( y ∧ z ) = ( x ∨ y ) ∧ ( x ∨ z ) ^{[6] [7]}
3. ( x y ) ( y z ) ( z x ) = ( x y ) ( y z ) ( z x ).${\displaystyle \wedge }$${\displaystyle \vee }$${\displaystyle \wedge }$${\displaystyle \vee }$${\displaystyle \wedge }$${\displaystyle \vee }$${\displaystyle \wedge }$${\displaystyle \vee }$${\displaystyle \wedge }$${\displaystyle \vee }$
4. x z = y z и x z = y z всегда подразумевают x = y .${\displaystyle \wedge }$${\displaystyle \wedge }$${\displaystyle \vee }$${\displaystyle \vee }$

Каждое пространство Рисса обладает свойством разложения Рисса .

Сходимость порядка [ править ]

Существует ряд значимых неэквивалентных способов определения сходимости последовательностей или сетей относительно упорядоченной структуры пространства Рисса. Последовательность { x _n } в пространстве Рисса E называется монотонно сходящейся, если это монотонно убывающая (соответственно возрастающая) последовательность и ее нижняя грань (супремум) x существует в E и обозначается x _n ↓ x , (соответственно x _n ↑ х ).

Говорят, что последовательность { x _n } в пространстве Рисса E сходится к x, если существует монотонная сходящаяся последовательность { p _n } в E такая, что | х _п - х | < п _п ↓ 0 .

Если u - положительный элемент пространства Рисса E, то говорят, что последовательность { x _n } в E сходится u-равномерно к x, если для любого ε > 0 существует N такое, что | х _п - х | < Εu для всех п > N .

Подпространства [ править ]

Дополнительная структура, обеспечиваемая этими пространствами, обеспечивает различные типы подпространств Рисса. Совокупность структур каждого вида в пространстве Рисса (например, совокупность всех идеалов) образует дистрибутивную решетку .

Подрешетки [ править ]

If X is a vector lattice then a vector sublattice is a vector subspace F of X such that for all x and y in F, ${\displaystyle \sup\{x,y\}}$ belongs to F (where this supremum is taken in X).^[4] It can happen that a subspace F of X is a vector lattice under its canonical order but is not a vector sublattice of X.^[4]

Ideals[edit]

A vector subspace I of a Riesz space E is called an ideal if it is solid, meaning if for  f  ∈ I and g ∈ E, we have: |g| ≤ | f | implies that g ∈ I.^[4] The intersection of an arbitrary collection of ideals is again an ideal, which allows for the definition of a smallest ideal containing some non-empty subset A of E, and is called the ideal generated by A. An Ideal generated by a singleton is called a principal ideal.

Bands and σ-Ideals[edit]

A band B in a Riesz space E is defined to be an ideal with the extra property, that for any element f in E for which its absolute value | f | is the supremum of an arbitrary subset of positive elements in B, that f is actually in B. σ-Ideals are defined similarly, with the words 'arbitrary subset' replaced with 'countable subset'. Clearly every band is a σ-ideal, but the converse is not true in general.

The intersection of an arbitrary family of bands is again a band. As with ideals, for every non-empty subset A of E, there exists a smallest band containing that subset, called the band generated by A. A band generated by a singleton is called a principal band.

Projection bands[edit]

A band B in a Riesz space, is called a projection band, if E = B ⊕ B^⟂, meaning every element f in E, can be written uniquely as a sum of two elements,  f = u + v, with u in B and v in B^⟂. There then also exists a positive linear idempotent, or projection, P_B : E → E, such that P_B( f ) = u.

The collection of all projection bands in a Riesz space forms a Boolean algebra. Some spaces do not have non-trivial projection bands (e.g. C([0, 1])), so this Boolean algebra may be trivial.

Completeness[edit]

A vector lattice is complete if every subset has both a supremum and an infimum.

A vector lattice is Dedekind complete if each set with an upper bound has a supremum and each set with a lower bound has an infimum.

An order complete, regularly ordered vector lattice whose canonical image in its order bidual is order complete is called minimal and is said to be of minimal type.^[8]

Subspaces, quotients, and products[edit]

Sublattices

If M is a vector subspace of a preordered vector space X then the canonical ordering on M induced by X's positive cone C is the preorder induced by the pointed convex cone C ∩ M, where this cone is proper if C is proper (i.e. if (C∩-C=∅).^[3]

A sublattice of a vector lattice X is a vector subspace M of X such that for all x and y in M, sup_X(x, y) belongs to X (importantly, note that this supremum is taken in X and not in M).^[3] If X = ${\displaystyle L^{p}\left([0,1],\mu \right)}$ with 0 < p < 1, then the 2-dimensional vector subspace M of X defined by all maps of the form ${\displaystyle t\mapsto at+b}$ (a, b ∈ ${\displaystyle \mathbb {R} }$) is a vector lattice under the induced order but is not a sublattice of X.^[5] This despite X being an order complete Archimedean ordered topological vector lattice. Furthermore, there exist vector a vector sublattice N of this space X such that N ∩ C has empty interior in X but no positive linear functional on N can be extended to a positive linear functional on X.^[5]

Quotient lattices

Let M be a vector subspace of an ordered vector space X having positive cone C, let ${\displaystyle \pi :X\to X/M}$ be the canonical projection, and let ${\displaystyle {\hat {C}}:=\pi (C)}$. Then ${\displaystyle {\hat {C}}}$ is a cone in X/M that induces a canonical preordering on the quotient space X/M. If ${\displaystyle {\hat {C}}}$ is a proper cone in X/M then ${\displaystyle {\hat {C}}}$ makes X/M into an ordered vector space.^[3] If M is C-saturated then ${\displaystyle {\hat {C}}}$ defines the canonical order of X/M.^[5] Note that ${\displaystyle X=\mathbb {R} _{0}^{2}}$ provides an example of an ordered vector space where ${\displaystyle \pi (C)}$ is not a proper cone.

If X is a vector lattice and N is a solid vector subspace of X then ${\displaystyle {\hat {C}}}$ defines the canonical order of X/M under which L/M is a vector lattice and the canonical map ${\displaystyle \pi :X\to X/M}$ is a vector lattice homomorphism. Furthermore, if X is order complete and M is a band in X then X/M is isomorphic with M^⟂.^[5] Also, if M is solid then the order topology of X/M is the quotient of the order topology on X.^[5]

If X is a topological vector lattice and M is a closed solid sublattice of X then X/L is also a topological vector lattice.^[5]

Product

If S is any set then the space X^S of all functions from S into X is canonically ordered by the proper cone ${\displaystyle \left\{f\in X^{S}:f(s)\in C{\text{ for all }}s\in S\right\}}$.^[3]

Suppose that ${\displaystyle \left\{X_{\alpha }:\alpha \in A\right\}}$ is a family of preordered vector spaces and that the positive cone of ${\displaystyle X_{\alpha }}$ is ${\displaystyle C_{\alpha }}$. Then ${\displaystyle C:=\prod _{\alpha }C_{\alpha }}$ is a pointed convex cone in ${\displaystyle \prod _{\alpha }X_{\alpha }}$, which determines a canonical ordering on ${\displaystyle \prod _{\alpha }X_{\alpha }}$; C is a proper cone if all ${\displaystyle C_{\alpha }}$ are proper cones.^[3]

Algebraic direct sum

The algebraic direct sum ${\displaystyle \bigoplus _{\alpha }X_{\alpha }}$ of ${\displaystyle \left\{X_{\alpha }:\alpha \in A\right\}}$ is a vector subspace of ${\displaystyle \prod _{\alpha }X_{\alpha }}$ that is given the canonical subspace ordering inherited from ${\displaystyle \prod _{\alpha }X_{\alpha }}$.^[3]If X₁, ..., X_n are ordered vector subspaces of an ordered vector space X then X is the ordered direct sum of these subspaces if the canonical algebraic isomorphism of X onto ${\displaystyle \prod _{\alpha }X_{\alpha }}$ (with the canonical product order) is an order isomorphism.^[3]

Spaces of linear maps[edit]

A cone C in a vector space X is said to be generating if C − C is equal to the whole vector space.^[3] If X and W are two non-trivial ordered vector spaces with respective positive cones P and Q, then P is generating in X if and only if the set ${\displaystyle C=\left\{u\in L(X;W):u(P)\subseteq Q\right\}}$ is a proper cone in L(X; W), which is the space of all linear maps from X into W. In this case the ordering defined by C is called the canonical ordering of L(X; W).^[3] More generally, if M is any vector subspace of L(X; W) such that C ∩ M is a proper cone, the ordering defined by C ∩ M is called the canonical ordering of M.^[3]

A linear map u between two preordered vector spaces X and Y with respective positive cones C and D is called positive if u(C) ⊆ D. If X and Y are vector lattices with Y order complete and if H is the set of all positive linear maps from X into Y then the subspace M := H - H of L(X; Y) is an order complete vector lattice under its canonical order; furthermore, M contains exactly those linear maps that map order intervals of X into order intervals of Y.^[5]

Positive functionals and the order dual[edit]

A linear function f on a preordered vector space is called positive if x ≥ 0 implies f(x) ≥ 0. The set of all positive linear forms on a vector space, denoted by ${\displaystyle C^{*}}$, is a cone equal to the polar of −C. The order dual of an ordered vector space X is the set, denoted by ${\displaystyle X^{+}}$, defined by ${\displaystyle X^{+}:=C^{*}-C^{*}}$. Although ${\displaystyle X^{+}\subseteq X^{b}}$, there do exist ordered vector spaces for which set equality does not hold.^[3]

Vector lattice homomorphism[edit]

Suppose that X and Y are preordered vector lattices with positive cones C and D and let u be a map from X into Y. Then u is a preordered vector lattice homomorphism if u is linear and if any one of the following equivalent conditions hold:^[9][5]

1. u preserves the lattice operations
2. u(sup{x, y}) = sup{u(x), u(y)} for all x, y ∈ X
3. u(inf{x, y}) = inf{u(x), u(y)} for all x, y ∈ X
4. u(|x|) = sup{u(x⁺), u(x⁻)} for all x ∈ X
5. 0 = inf{u(x⁺), u(x⁻)} for all x ∈ X
6. u(C) = D and u⁻¹(0) is a solid subset of X.^[5]
7. if x ≥ 0 then u(x) ≥ 0.^[1]
8. u is order preserving.^[1]

A pre-ordered vector lattice homomorphism that is bijective is a pre-ordered vector lattice isomorphism.

A pre-ordered vector lattice homomorphism between two Riesz spaces is called a vector lattice homomorphism; if it is also bijective, then it is called a vector lattice isomorphism.

If u is a non-0 linear functional on a vector lattice X with positive cone C then the following are equivalent:

1. u : X ${\displaystyle \to \mathbb {R} }$ is a surjective vector lattice homomorphism.
2. 0 = inf{u(x⁺), u(x⁻)} for all x ∈ X
3. u ≥ 0 and u⁻¹(0) is a solid hyperplane in X.
4. u' generates an extreme ray of the cone C^* in X^*

Recall that an extreme ray of the cone C is a set {rx : r ≥ 0} where x ∈C, x is non-0, and if y ∈C is such that x - y ∈C then y = s x for some s such that 0 ≤ s ≤ 1.^[9]

A vector lattice homomorphism from X into Y is a topological homomorphism when X and Y are given their respective order topologies.^[5]

Projection properties[edit]

There are numerous projection properties that Riesz spaces may have. A Riesz space is said to have the (principal) projection property if every (principal) band is a projection band.

The so-called main inclusion theorem relates the following additional properties to the (principal) projection property:^[10] A Riesz space is…

• Dedekind Complete (DC) if every nonempty set, bounded above, has a supremum;
• Super Dedekind Complete (SDC) if every nonempty set, bounded above, has a countable subset with identical supremum;
• Dedekind σ-complete if every countable nonempty set, bounded above, has a supremum; and
• Archimedean property if, for every pair of positive elements x and y, there exists an integer n such that nx ≥ y.

Then these properties are related as follows. SDC implies DC; DC implies both Dedekind σ-completeness and the projection property; Both Dedekind σ-completeness and the projection property separately imply the principal projection property; and the principal projection property implies the Archimedean property.

None of the reverse implications hold, but Dedekind σ-completeness and the projection property together imply DC.

Examples[edit]

• The space of continuous real valued functions with compact support on a topological space X with the pointwise partial order defined by  f  ≤ g when  f (x) ≤ g(x) for all x in X, is a Riesz space. It is Archimedean, but usually does not have the principal projection property unless X satisfies further conditions (e.g. being extremally disconnected).
• Any Lp with the (almost everywhere) pointwise partial order is a Dedekind complete Riesz space.
• The space R² with the lexicographical order is a non-Archimedean Riesz space.

Properties[edit]

• Riesz spaces are lattice ordered groups
• Every Riesz space is a distributive lattice

See also[edit]

• Convex cone
• Infimum and supremum
• Ordered vector space
• Partially ordered space

References[edit]

Bibliography[edit]

• Bourbaki, Nicolas; Elements of Mathematics: Integration. Chapters 1–6; ISBN 3-540-41129-1
• Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Topological Vector Spaces. Pure and applied mathematics (Second ed.). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834.
• Riesz, Frigyes; Sur la décomposition des opérations fonctionelles linéaires, Atti congress. internaz. mathematici (Bologna, 1928), 3, Zanichelli (1930) pp. 143–148
• Schaefer, Helmut H.; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces. GTM. 8 (Second ed.). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135.
• Sobolev, V. I. (2001) [1994], "Riesz space", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, ISBN 978-1-4020-0609-8
• Zaanen, Adriaan C. (1996), Introduction to Operator Theory in Riesz spaces, Springer, ISBN 3-540-61989-5

External links[edit]

• Riesz space at the Encyclopedia of Mathematics