В теоретической физике , минимальная модель или вирасоровская минимальная модель является двумерный конформной теорией поля , спектр которого строится из конечного числа неприводимых представлений алгебры Вирасоро . Минимальные модели были классифицированы и решены, и оказалось, что они подчиняются классификации ADE . [1] Термин минимальная модель может также относиться к рациональной CFT, основанной на алгебре, которая больше, чем алгебра Вирасоро, например, W-алгебре .
Соответствующие представления алгебры Вирасоро
Представления
В минимальных моделях центральный заряд алгебры Вирасоро принимает значения типа
где взаимно простые целые числа такие, что . Тогда конформные размерности вырожденных представлений равны
и они подчиняются личности
Спектры минимальных моделей состоят из неприводимых вырожденных низшего веса представлений алгебры Вирасоро, конформные размерности которых имеют тип с участием
Такое представление является смежным классом модуля Верма по его бесконечному числу нетривиальных подмодулей. Он унитарен тогда и только тогда, когда. При заданной центральной зарядке естьразличные представления этого типа. Набор этих представлений или их конформных размерностей называется таблицей Каца с параметрами. Таблица Каца обычно рисуется в виде прямоугольника размера, где каждое представление встречается дважды из-за соотношения
Правила фьюжн
Правила слияния многократно вырожденных представлений кодируют ограничения из всех своих нулевых векторов. Поэтому их можно вывести из правил слияния просто вырожденных представлений, которые кодируют ограничения из отдельных нулевых векторов. [2] В явном виде правила слияния
где суммы идут с шагом два.
Классификация
Минималистичные модели A-серии: диагональный корпус
Для любых взаимно простых целых чисел такой, что , существует диагональная минимальная модель, спектр которой содержит по одной копии каждого отличного представления в таблице Каца:
В а также модели такие же.
OPE двух полей включает все поля, которые разрешены правилами слияния соответствующих представлений.
Минималистичные модели серии D
Минималистичная модель серии D с центральным зарядом существует, если или же даже и по крайней мере . Используя симметрию мы предполагаем, что ровно, тогда странно. Спектр
где суммы более запускать с шагом два. В любом заданном спектре каждое представление имеет кратность один, за исключением представлений типа если , кратность два. Эти представления действительно присутствуют в обоих членах нашей формулы для спектра.
OPE двух полей включает в себя все поля, которые разрешены правилами слияния соответствующих представлений и которые соблюдают сохранение диагональности : OPE одного диагонального и одного недиагонального поля дает только недиагональные поля, а OPE двух полей одного типа дает только диагональные поля. [3] Для этого правила одна копия представления считается диагональной, а другая копия - недиагональной.
Минимальные модели серии E
Существует три серии минимальных моделей серии E. Каждая серия существует для данного значения для любой это совпадает с . (На самом деле это подразумевает.) Используя обозначения , спектры читаются:
Примеры
Следующие минимальные модели серии A связаны с хорошо известными физическими системами: [2]
Таблицы Каца этих моделей вместе с несколькими другими таблицами Каца с , находятся:
Связанные конформные теории поля
Осуществления смежных классов
Минимальная модель серии А с индексами совпадает со следующим смежным классом моделей WZW : [2]
Предполагая , уровень является целым тогда и только тогда, когда т.е. тогда и только тогда, когда минимальная модель унитарна.
Существуют и другие реализации определенных минимальных моделей, диагональных или нет, как смежные классы моделей WZW, не обязательно основанные на группе . [2]
Обобщенные минимальные модели
За любую центральную плату , существует диагональная КТП, спектр которой состоит из всех вырожденных представлений,
Когда центральный заряд стремится к , обобщенные минимальные модели стремятся к соответствующей минимальной модели серии A. [4] Это означает, в частности, что вырожденные представления, не входящие в таблицу Каца, разделяются.
Теория Лиувилля
Поскольку теория Лиувилля сводится к обобщенной минимальной модели, когда поля считаются вырожденными, [4] она далее сводится к минимальной модели серии A, когда центральный заряд затем направляется в.
Более того, минимальные модели серии A имеют четко определенный предел как : диагональная КТП с непрерывным спектром, называемая теорией Ранкеля-Уоттса [5], которая совпадает с пределом теории Лиувилля, когда. [6]
Продукция минимальных моделей
Есть три случая минимальных моделей, которые являются продуктами двух минимальных моделей. [7] На уровне их спектра отношения следующие:
Фермионные расширения минимальных моделей
Если , серии A и D каждая минимальная модель имеет фермионное расширение. Эти два фермионных расширения включают поля с полуцелыми спинами, и они связаны друг с другом операцией сдвига четности. [8]
Рекомендации
^ A. Капелли, JB. Зубер, "Классификация конформных теорий поля ADE", Scholarpedia
^ a b c d П. Ди Франческо, П. Матье и Д. Сенешаль, Конформная теория поля , 1997, ISBN 0-387-94785-X