Функция Вайнгартена

В математике функции Вайнгартена — это рациональные функции , индексированные разбиениями целых чисел , которые можно использовать для вычисления интегралов произведений матричных коэффициентов по классическим группам . Впервые они были изучены Вайнгартеном (1978) , который нашел их асимптотическое поведение, и назван Коллинзом (2003) , который явно оценил их для унитарной группы .

Функции Вайнгартена используются для вычисления интегралов по унитарной группе U _d произведений матричных коэффициентов вида

где обозначает комплексное сопряжение. Обратите внимание, где сопряженное транспонирование , поэтому можно интерпретировать приведенное выше выражение как относящееся к матричному элементу . ${\ Displaystyle *}$ ${\ displaystyle U_ {ji} ^ {*} = (U ^ {\ dagger}) _ {ij}}$ ${\ Displaystyle U ^ {\ кинжал}}$ ${\ Displaystyle U}$ ${\ displaystyle i_ {1} j_ {1} \ ldots i_ {q} j_ {q} j'_ {1} i'_ {1} \ ldots j'_ {q} i'_ {q}}$ ${\ Displaystyle U \ otimes \ cdots \ otimes U \ otimes U ^ {\ кинжал} \ otimes \ cdots \ otimes U ^ {\ кинжал}}$

где сумма берется по всем разбиениям λ числа q ( Коллинз, 2003 ). Здесь χ ^λ — характер S _q , соответствующий разбиению λ, а s — полином Шура λ, так что s _{λ d} (1) — размерность представления U _d , соответствующего λ.

Функции Вайнгартена являются рациональными функциями в d . Они могут иметь полюса для малых значений d , которые сокращаются в приведенной выше формуле. Существует альтернативное неэквивалентное определение функций Вайнгартена, в котором суммируются только по разбиениям, состоящим не более чем из d частей. Это больше не рациональная функция от d , но она конечна для всех положительных целых чисел d . Два вида функций Вайнгартена совпадают для d больше, чем q , и любой из них может использоваться в формуле для интеграла.

где перестановка σ есть произведение циклов длин C _i и c _n = (2 n )!/ n !( n + 1)! каталонское число и |σ| - наименьшее количество транспозиций, произведением которых является σ. Существует диаграммный метод ^[3] для систематического вычисления интегралов по унитарной группе в виде степенного ряда от 1/d .