Гипотеза Вильямсона

В комбинаторной математике, в частности , в комбинаторной теории проектирования и комбинаторной теории матриц гипотеза Williamson , что Уильямсон матрицы порядка существует для всех натуральных чисел . Четыре симметричных и циркулянтные матрицы , , , известны как матрицы Williamson , если их записи являются , и они удовлетворяют соотношению${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle D}$${\ displaystyle \ pm 1}$

${\ displaystyle A ^ {2} + B ^ {2} + C ^ {2} + D ^ {2} = 4nI}$

где - единичная матрица порядка . Джон Уильямсон показал , что если , , , являются Williamson матрицы , то${\ displaystyle I}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle D}$

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} A & B & C & D \\ - B & A & -D & C \\ - C & D & A & -B \\ - D & -C & B & A \ end {bmatrix}}}$

является матрицей порядка Адамара . ^[1] Когда-то считалось вероятным, что матрицы Вильямсона существуют для всех порядков и что структура матриц Вильямсона может обеспечить путь к доказательству гипотезы Адамара о том, что матрицы Адамара существуют для всех порядков . ^[2] Однако в 1993 году Драгомир Ž показал, что гипотеза Уильямсона неверна, с помощью исчерпывающего компьютерного поиска. Джокович, который показал, что матрицы Вильямсона не существуют по порядку . ^[3] В 2008 г. были дополнительно открыты контрпримеры 47, 53 и 59. ^[4]${\ displaystyle 4n}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle 4n}$${\ displaystyle n = 35}$

Ссылки [ править ]