Уравнение Закая

В фильтрации теории уравнения Zakai является линейным стохастическим дифференциальным уравнением в частных для ун-нормализованы плотностей скрытого состояния. Напротив, уравнение Кушнера дает нелинейное стохастическое уравнение в частных производных для нормированной плотности скрытого состояния. В принципе, любой подход позволяет оценить количественную функцию (состояние динамической системы ) по измерениям с шумом, даже если система является нелинейной (таким образом обобщая более ранние результаты Винера и Калмана для линейных систем и решая центральную проблему в теория оценивания ). Применение этого подхода к конкретной инженернойОднако ситуация может быть проблематичной, поскольку эти уравнения довольно сложны. Уравнение Закая - это билинейное стохастическое уравнение в частных производных . Он был назван в честь Моше Закая .

Обзор [ править ]

Предположим, что состояние системы меняется в соответствии с

{\ displaystyle dx = f (x, t) dt + dw}

и доступно измерение состояния системы с шумом:

{\ displaystyle dz = час (x, t) dt + dv}

где - независимые винеровские процессы . Тогда ненормированная условная плотность вероятности состояния в момент времени t определяется уравнением Закая: ${\ displaystyle w, v}$ ${\ Displaystyle р (х, т)}$

{\ displaystyle dp = L (p) dt + ph ^ {T} dz}

где оператор ${\ Displaystyle L = - \ sum {\ frac {\ partial (f_ {i} p)} {\ partial x_ {i}}} + {\ frac {1} {2}} \ sum {\ frac {\ partial ^ {2} p} {\ partial x_ {i} \ partial x_ {j}}}}$

Как упоминалось ранее, это ненормализованная плотность и, следовательно, не обязательно интегрируется в 1. После решения для при желании могут быть выполнены интегрирование и нормализация (дополнительный шаг не требуется в подходе Кушнера). ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle p}$

Обратите внимание, что если последние два члена в правой части опущены (выбрав h равным нулю), результатом будет нестохастическое УЧП: знакомое прямое уравнение Колмогорова , которое описывает эволюцию состояния при отсутствии информации об измерениях.

См. Также [ править ]

Ссылки [ править ]

Закай, М. (1969). «Об оптимальной фильтрации диффузионных процессов». Zeitschrift für Wahrscheinlichkeitstheorie und Verwandte Gebiete . 11 (3): 230. DOI : 10.1007 / BF00536382 . Руководство по ремонту 0242552 . Zbl 0164.19201 .
Шритаран, СС (1994). «Нелинейная фильтрация стохастических уравнений Навье – Стокса». In Funaki, T .; Войчинский, Вашингтон (ред.). Нелинейные стохастические уравнения в частных производных: турбулентность Бюргерса и гидродинамический предел (PDF) . Springer-Verlag . С. 247–260. ISBN 0-387-94624-1.
Хоббс, SL; Шритаран, СС (1996). «Нелинейная теория фильтрации для стохастических уравнений реакции – диффузии». У Грецкого, Н .; Goldstein, J .; Уль, JJ (ред.). Вероятность и современный анализ (PDF) . Марсель Деккер . С. 219–234.