Уравнение Кушнера

В фильтрации теории уравнение Кушнер (после того, как Гарольд Кушнер ) представляет собой уравнение для условной вероятности плотности состояния в стохастической нелинейной динамической системе , учитывая шумные измерения состояния. ^[1] Таким образом, он обеспечивает решение проблемы нелинейной фильтрации в теории оценивания . Уравнение иногда называют уравнением Стратоновича – Кушнера ^{[2] [3] [4] [5]} (или уравнения Кушнера – Стратоновича) . Однако правильное уравнение с точки зренияИсчисление Ито было впервые получено Кушнером, хотя его более эвристическая версия Стратоновича появилась уже в работах Стратоновича в конце пятидесятых годов. Однако вывод в терминах исчисления Ито принадлежит Ричарду Бьюси. ^{[6] [ требуется пояснение ]}

Обзор

Предположим, что состояние системы меняется в соответствии с

${\ Displaystyle dx = е (х, t) \, dt + \ sigma dw}$

и доступно измерение состояния системы с шумом:

${\ Displaystyle dz = час (х, t) \, dt + \ eta dv}$

где w , v - независимые винеровские процессы . Тогда условная плотность вероятности p ( x ,  t ) состояния в момент времени t определяется уравнением Кушнера:

${\ Displaystyle dp (x, t) = L [p (x, t)] dt + p (x, t) [h (x, t) -E_ {t} h (x, t)] ^ {\ top } \ eta ^ {- \ top} \ eta ^ {- 1} [dz-E_ {t} h (x, t) dt].}$

куда ${\ displaystyle Lp = - \ sum {\ frac {\ partial (f_ {i} p)} {\ partial x_ {i}}} + {\ frac {1} {2}} \ sum (\ sigma \ sigma ^ {\ top}) _ {i, j} {\ frac {\ partial ^ {2} p} {\ partial x_ {i} \ partial x_ {j}}}}$ - колмогоровский прямой оператор и ${\ displaystyle dp (x, t) = p (x, t + dt) -p (x, t)}$ - вариация условной вероятности.

Срок ${\ displaystyle dz-E_ {t} h (x, t) dt}$это нововведение, т.е. разница между измеренным значением и его ожидаемым значением.

Фильтр Калмана – Бьюси

Можно просто использовать уравнение Кушнера для получения фильтра Калмана – Бьюси для линейного процесса диффузии. Предположим, у нас есть${\ displaystyle f (x, t) = ax}$ и ${\ displaystyle h (x, t) = cx}$. Уравнение Кушнера будет иметь вид

${\ displaystyle dp (x, t) = L [p (x, t)] dt + p (x, t) [cx-c \ mu (t)] ^ {\ top} \ eta ^ {- \ top} \ eta ^ {- 1} [dz-c \ mu (t) dt],}$

куда ${\ Displaystyle \ му (т)}$ среднее значение условной вероятности в момент времени ${\ displaystyle t}$. Умножение на${\ displaystyle x}$ и интегрируя по нему, получаем вариацию среднего

${\ displaystyle d \ mu (t) = a \ mu (t) dt + \ Sigma (t) c ^ {\ top} \ eta ^ {- \ top} \ eta ^ {- 1} \ left (dz-c \ mu (t) dt \ right).}$

Аналогично, вариация дисперсии ${\ Displaystyle \ Sigma (т)}$ дан кем-то

${\ Displaystyle {\ гидроразрыва {d \ Sigma (t)} {dt}} = a \ Sigma (t) + \ Sigma (t) a ^ {\ top} + \ sigma ^ {\ top} \ sigma - \ Sigma (t) c ^ {\ top} \ eta ^ {- \ top} \ eta ^ {- 1} c \ Sigma (t).}$

Тогда условная вероятность в каждый момент времени задается нормальным распределением ${\ Displaystyle {\ mathcal {N}} (\ mu (t), \ Sigma (t))}$.

См. Также

• Уравнение Закая

Ссылки