В математике и, в частности, в аналитической теории правильных цепных дробей бесконечная правильная цепная дробь x называется ограниченной или составленной из ограниченных частичных частных , если последовательность знаменателей ее частичных частных ограничена; то есть
и существует некоторое натуральное число M такое , что все ( целые ) частичные знаменатели a i меньше или равны M. [1] [2]
Правильная периодическая цепная дробь состоит из конечного начального блока частичных знаменателей, за которым следует повторяющийся блок; если
тогда ζ — квадратичное иррациональное число, и его представление в виде правильной цепной дроби периодично. Ясно, что любая правильная периодическая цепная дробь состоит из ограниченных частичных частных, поскольку ни один из частичных знаменателей не может быть больше наибольшего из чисел от 0 до k + m . Исторически сложилось так, что математики изучали периодические цепные дроби, прежде чем рассматривать более общую концепцию ограниченных частичных частных.
Множество Кантора — это множество C нулевой меры , из которого простым сложением может быть построен полный интервал действительных чисел, то есть любое действительное число из интервала может быть выражено как сумма ровно двух элементов множества C. Обычное доказательство существования множества Кантора основано на идее пробивания «дыры» в середине интервала, затем пробивания отверстий в оставшихся подинтервалах и повторении этого процесса до бесконечности .
Процесс добавления еще одного неполного частного к конечной цепной дроби во многом аналогичен этому процессу «пробивания дыры» в интервале действительных чисел. Размер «отверстия» обратно пропорционален следующему выбранному частичному знаменателю - если следующий частичный знаменатель равен 1, разрыв между последовательными сходящимися максимальными. Чтобы сделать следующие теоремы точными, мы будем рассматривать CF( M ), множество суженных цепных дробей, значения которых лежат в открытом интервале (0, 1) и чьи частные знаменатели ограничены положительным целым числом M , то есть,