В теории чисел , теорема Жигмонды в , названный в честь Карла Зигмонди , утверждает , что если > б > 0 являются взаимно простые целые числа , то для любого целого п ≥ 1, существует простое число р ( так называемый примитивный простой делитель ) , который делит п - b n и не делит a k - b k ни на какое положительное целое k < n , за следующими исключениями:
- n = 1 , a - b = 1 ; тогда a n - b n = 1, у которого нет простых делителей
- n = 2 , a + b степень двойки ; тогда любые нечетные простые множители a 2 - b 2 = (a + b) (a 1 - b 1 ) должны содержаться в a 1 - b 1 , которое также является четным
- n = 6 , a = 2 , b = 1 ; тогда a 6 - b 6 = 63 = 3 2 × 7 = (a 2 - b 2 ) 2 (a 3 - b 3 )
Это обобщает теорему Банга [1], которая утверждает, что если n > 1 и n не равно 6, то 2 n - 1 имеет простой делитель, не делящий любые 2 k - 1 с k < n .
Аналогично, a n + b n имеет по крайней мере один примитивный простой делитель, за исключением 2 3 + 1 3 = 9 .
Теорема Жигмонди часто бывает полезной, особенно в теории групп, где она используется для доказательства того, что разные группы имеют разные порядки, за исключением случаев, когда известно, что они одинаковы. [2] [3]
История
Теорема была открыта Жигмонди, работавшим в Вене с 1894 по 1925 год.
Обобщения
Позволять последовательность ненулевых целых чисел. Набор Жигмонди, связанный с последовательностью, - это набор
т.е. набор индексов так что каждое простое деление также разделяет некоторые для некоторых . Таким образом, из теоремы Жигмонди следует, чтоИ теорема Кармайкла говорит , что Жигмонди набор из последовательности Фибоначчи является, а последовательность Пелла равна. В 2001 году Билу, Ханрот и Вотье [4] доказали, что, вообще говоря, еслипредставляет собой последовательность Лукаса или последовательность Лехмер , то(см. OEIS : A285314 , таких всего 13s, а именно 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 12, 13, 18, 30). Последовательности Лукаса и Лемера являются примерами последовательностей делимости .
Также известно, что если является последовательностью эллиптической делимости , то ее множество Жигмондиконечно. [5] Однако результат неэффективен в том смысле, что доказательство не дает явной верхней оценки для наибольшего элемента в, хотя можно дать эффективную верхнюю оценку количества элементов в . [6]
Смотрите также
Рекомендации
- ↑ AS Bang (1886). "Taltheoretiske Undersøgelser". Tidsskrift для Mathematik . 5. Mathematica Scandinavica. 4 : 70–80. JSTOR 24539988 . А также Банг, А.С. (1886). «Taltheoretiske Undersøgelser (продолжение, см. Стр. 80)». Tidsskrift для Mathematik . 4 : 130–137. JSTOR 24540006 .
- ↑ Монтгомери, Х. « Делимость чисел Мерсенна ». 17 сентября 2001 г.
- ^ Артин, Эмиль (август 1955 г.). «Порядки линейных групп». Comm. Pure Appl. Математика. 8 (3): 355–365. DOI : 10.1002 / cpa.3160080302 .
- ^ Ю. Бил, Г. Hanrot, П. М. Voutier, Существование примитивных делителей Лукаса и Лехмер чисел, J. Reine Angew. Математика. 539 (2001), 75-122
- ^ Дж. Сильверман, критерий Вифериха и abc -гипотеза, J. Теория чисел 30 (1988), 226-237
- ^ П. Инграм, Дж. Х. Сильверман, Равномерные оценки примитивных делителей в последовательностях эллиптической делимости, Теория чисел, Анализ и геометрия , Springer-Verlag, 2010, 233-263.
- К. Жигмонди (1892). "Zur Theorie der Potenzreste". Журнал Monatshefte für Mathematik . 3 (1): 265–284. DOI : 10.1007 / BF01692444 . hdl : 10338.dmlcz / 120560 .
- Чт. Шмид (1927). «Карл Жигмонди» . Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung . 36 : 167–168.
- Моше Ройтман (1997). «О простых числах Жигмонди» . Труды Американского математического общества . 125 (7): 1913–1919. DOI : 10.1090 / S0002-9939-97-03981-6 . JSTOR 2162291 .
- Вальтер Фейт (1988). «О больших простых числах Жигмонди» . Труды Американского математического общества . Американское математическое общество . 102 (1): 29–36. DOI : 10.2307 / 2046025 . JSTOR 2046025 .
- Эверест, Грэм; ван дер Поортен, Альф ; Шпарлинский, Игорь; Уорд, Томас (2003). Повторяющиеся последовательности . Математические обзоры и монографии. 104 . Провиденс, Род-Айленд : Американское математическое общество . С. 103–104. ISBN 0-8218-3387-1. Zbl 1033.11006 .
Внешние ссылки
- Вайсштейн, Эрик В. «Теорема Жигмонди» . MathWorld .