В математике , то число эпсилона представляет собой набор чисел трансфинитных , определяющие свойство , что они являются неподвижными точками о качестве экспоненциального отображения . Следовательно, они недостижимы из 0 через конечную серию приложений выбранного экспоненциального отображения и «более слабых» операций, таких как сложение и умножение. Первоначальные числа эпсилон были введены Георгом Кантором в контексте порядковой арифметики ; это порядковые числа ε , удовлетворяющие уравнению
в котором ω - наименьший бесконечный ординал.
Наименьший такой порядковый номер - это ε 0 (произносится как эпсилон ноль или эпсилон ноль ), который можно рассматривать как «предел», полученный трансфинитной рекурсией из последовательности меньших предельных ординалов:
Более крупные порядковые фиксированные точки экспоненциальной карты индексируются порядковыми нижними индексами, в результате чего . Порядковый номер ε 0 все еще является счетным , как и любое число эпсилон, индекс которого является счетным (существуют несчетные порядковые числа и несчетные числа эпсилон, индекс которых является несчетным порядковым номером).
Наименьшее эпсилон-число ε 0 появляется во многих доказательствах индукции , потому что для многих целей трансфинитная индукция требуется только до ε 0 (как в доказательстве непротиворечивости Генцена и доказательстве теоремы Гудстейна ). Его использование Генценом для доказательства непротиворечивости арифметики Пеано вместе со второй теоремой Гёделя о неполноте показывают, что арифметика Пеано не может доказать обоснованность этого порядка (на самом деле это наименьший ординал с этим свойством, и поэтому в доказательстве -теоретический порядковый анализ , используется как мера силы теории арифметики Пеано).
Многие большие эпсилон-числа можно определить с помощью функции Веблена .
Более общий класс эпсилон-чисел был идентифицирован Джоном Хортоном Конвеем и Дональдом Кнутом в сюрреалистической системе счисления, состоящий из всех сюрреалов, которые являются неподвижными точками базового ω экспоненциального отображения x → ω x .
Хессенберг (1906) определил гамма-числа (см. Аддитивно неразложимый ординал ) как числа γ> 0 такие, что α + γ = γ, когда α <γ, и дельта-числа (см. Мультипликативно неразложимые порядковые числа ) как числа δ> 1 такие, что αδ = δ, если 0 <α <δ, и эпсилон-числа должны быть числами ε > 2 такими, что α ε = ε, если 1 < α < ε . Его гамма-числа имеют форму ω β , а его дельта-числа имеют форму ω ω β .
Порядковые числа ε
Стандартное определение порядкового возведения в степень с основанием α:
- для предела .
Из этого определения следует, что для любого фиксированного ординала α > 1 отображение является нормальной функцией , поэтому по лемме о неподвижной точке для нормальных функций она имеет сколь угодно большие неподвижные точки . Когда, эти неподвижные точки и есть порядковые эпсилон-числа. Наименьшее из них, ε 0 , является супремумом последовательности
в котором каждый элемент является изображением своего предшественника при отображении . (Общий термин дается с использованием обозначения Кнута, направленного вверх ;оператор эквивалентен тетрации .) Так же, как ω ω определяется как верхняя грань {ω k } для натуральных чисел k , наименьшее порядковое эпсилон-число ε 0 также может быть обозначено; это обозначение гораздо реже, чем ε 0 .
Следующее число эпсилона после является
в котором последовательность снова строится путем повторного возведения в степень по основанию ω, но начинается с вместо 0. Уведомление
Другая последовательность с тем же супремумом, , получается путем начала с 0 и возведения в степень с основанием ε 0 :
Число эпсилона индексированный любым последующим порядковым номером α + 1, строится аналогично, возведением в степень по основанию ω, начиная (или по базе возведение в степень, начиная с 0).
Эпсилон-число, индексируемое предельным порядковым номером α, строится иначе. Номер является супремумом набора чисел эпсилон . Первое такое число. Независимо от того, является ли индекс α предельным ординалом, является неподвижной точкой не только возведения в степень по основанию ω, но также и с точки зрения возведения в степень по основанию γ для всех ординалов .
Поскольку числа эпсилон являются неограниченным подклассом порядковых чисел, они пронумерованы с использованием самих порядковых чисел. Для любого порядкового номера, - наименьшее эпсилон-число (фиксированная точка экспоненциального отображения), которого еще нет в наборе . Может показаться, что это неконструктивный эквивалент конструктивного определения с использованием повторного возведения в степень; но эти два определения одинаково неконструктивны на шагах, индексированных предельными ординалами, которые представляют трансфинитную рекурсию более высокого порядка, чем взятие верхней грани экспоненциального ряда.
Следующие факты об эпсилон-числах очень просто доказать:
- Хотя это довольно большое количество, по-прежнему является счетным , являясь счетным объединением счетных ординалов; по факту, счетно тогда и только тогда, когда счетно.
- Объединение (или супремум) любого непустого набора чисел эпсилон является числом эпсилон; так например
- это число эпсилон. Таким образом, отображение это нормальная функция.
- Начальное порядковое любого несчетного кардинала является число эпсилон.
Представление укоренившимися деревьями
Любой эпсилон-число ε имеет нормальную форму Кантора , что означает, что нормальная форма Кантора не очень полезна для чисел эпсилон. Однако ординалы, меньшие ε 0 , можно описать с помощью их нормальных форм Кантора, что приводит к представлению ε 0 как упорядоченного множества всех конечных корневых деревьев следующим образом. Любой порядковый имеет нормальную форму Кантора где k - натуральное число и являются ординалами с , однозначно определяется . Каждый из ординаловв свою очередь имеет аналогичную нормальную форму Кантора. Мы получаем конечное корневое дерево, представляющее α, путем соединения корней деревьев, представляющихв новый корень. (Это приводит к тому, что число 0 представлено одним корнем, а числопредставлен деревом, содержащим корень и единственный лист.) Порядок на множестве конечных корневых деревьев определяется рекурсивно: мы сначала упорядочиваем поддеревья, присоединенные к корню, в порядке убывания, а затем используем лексикографический порядок для этих упорядоченных последовательностей поддеревья. Таким образом, множество всех конечных корневых деревьев становится упорядоченным множеством, которое по порядку изоморфно ε 0 .
Иерархия Веблена
Неподвижные точки «эпсилон-отображения» образуют нормальную функцию, неподвижные точки которой образуют нормальную функцию, у которой ...; это известно как иерархия Веблена (функции Веблена с базой φ 0 (α) = ω α ). В обозначениях иерархии Веблена эпсилон-отображение - это φ 1 , а его неподвижные точки нумеруются φ 2 .
Продолжая в том же духе, можно определить отображения φ α для постепенно увеличивающихся ординалов α (включая, посредством этой разреженной формы трансфинитной рекурсии, предельные ординалы) с постепенно увеличивающимися наименьшими фиксированными точками φ α + 1 (0). Наименьший ординал, недостижимый из 0 с помощью этой процедуры, т. Е. Наименьший ординал α, для которого φ α (0) = α, или, что то же самое, первая фиксированная точка отображения- ординал Фефермана – Шютте Γ 0 . В теории множеств, где можно доказать существование такого ординала, имеется отображение Γ, которое перечисляет неподвижные точки Γ 0 , Γ 1 , Γ 2 , ...; все это по-прежнему эпсилон-числа, поскольку они лежат в образе φ β для любого β ≤ Γ 0 , включая карту φ 1, которая нумерует эпсилон-числа.
Сюрреалистические числа ε
В О числах и играх , классическая экспозиция на сюрреалистических номерах , Конвей представила ряд примеров понятий , которые имели естественные расширения от порядковых к surreals. Одной из таких функций является ω {\ displaystyle \ omega} -карта ; это отображение естественным образом обобщается и включает в себя все сюрреалистические числа в своей области , что, в свою очередь, обеспечивает естественное обобщение нормальной формы Кантора для сюрреалистических чисел.
Естественно рассматривать любую фиксированную точку этой расширенной карты как эпсилон-число, независимо от того, является ли это строго порядковым числом. Некоторые примеры неординальных чисел эпсилон:
а также
Есть естественный способ определить для каждого сюрреалистического числа n , и карта сохраняет порядок. Конвей продолжает определять более широкий класс «неприводимых» сюрреалистических чисел, который включает числа эпсилон как особенно интересный подкласс.
Смотрите также
- Порядковая арифметика
- Большой счетный порядковый номер
Рекомендации
- Дж. Х. Конвей, О числах и играх (1976) ISBN Academic Press 0-12-186350-6
- Раздел XIV.20 Серпинский, Вацлав (1965), Кардинальные и порядковые числа (2-е изд.), PWN - Польские научные издательства