Математическая структура
Математи́ческая структу́ра — название, объединяющее понятия, общей чертой которых является их применимость к множествам, природа которых не определена. Для определения самой структуры задают отношения, в которых находятся элементы этих множеств. Затем постулируют, что данные отношения удовлетворяют неким условиям, которые являются аксиомами рассматриваемой структуры[1].
Построение аксиоматической теории некоторой структуры — вывод логических следствий из аксиом структуры, без каких-либо других предположений относительно самих рассматриваемых элементов, и, в частности, от всяких гипотез относительно их «природы».
Понятие структуры первоначально было неформальным. В работах Бурбаки построена формальная теория структур, которую предполагалось положить в основания математики, однако в такой роли эта теория не закрепилась.
Важнейшим типом структур являются алгебраические структуры. Например, отношение, называемое «законом композиции», то есть отношение между тремя элементами, которое определяет однозначно третий элемент как функцию двух первых. Когда отношения в определении структуры являются «законами композиции», соответствующая математическая структура называется алгебраической структурой. Например, структуры лупы, группы, поля определяется двумя законами композиции с надлежащим образом выбранными аксиомами. Так сложение и умножение на множестве вещественных чисел определяют поле на множестве этих чисел.
Второй важный тип представляют структуры, определённые отношением порядка, то есть структуры порядка. Это отношение между двумя элементами , которое чаще всего мы выражаем словами « меньше или равно » и которое в общем случае обозначается как . В этом случае не предполагается, что это отношение однозначно определяет один из элементов как функцию другого.
Третьим типом структур являются топологические структуры, в них через абстрактную математическую формулировку средствами общей топологии реализуются интуитивные понятия окрестности, предела и непрерывности.