Анализ бесконечно малых — историческое название математического анализа, раздела высшей математики, изучающего пределы, производные, интегралы и бесконечные ряды, и составляющего важную часть современного математического образования. Состоит из двух основных частей: дифференциального исчисления и интегрального исчисления, которые связаны между собой формулой Ньютона — Лейбница.
В античный период появились некоторые идеи, которые в дальнейшем привели к интегральному исчислению, но в ту эпоху эти идеи не были развиты строгим, систематическим образом. Расчёты объёмов и площадей, являющиеся одной из целей интегрального исчисления, можно найти в московском математическом папирусе из Египта (ок. 1820 до н. э.), но формулы являются скорее инструкциями, без каких-либо указаний на метод, а некоторые просто ошибочны.[1] В эпоху греческой математики Евдокс (ок. 408—355 до н. э.) для вычисления площадей и объёмов использовал метод исчерпывания, который предвосхищает понятие предела, а позже эту идею дальше развил Архимед (ок. 287—212 до н. э.), изобретя эвристики, которые напоминают методы интегрального исчисления.[2] Метод исчерпывания позже изобрёл в Китае Лю Хуэй в III веке нашей эры, который он использовал для вычисления площади круга.[3] В V нашей эры Цзу Чунчжи разработал метод вычисления объёма шара, который позже назовут принципом Кавальери.[4]
В XIV веке индийский математик Мадхава Сангамаграма и астрономо-математическая школа Керала ввели многие компоненты исчисления, такие как ряды Тейлора, аппроксимацию бесконечных рядов, интегральный признак сходимости, ранние формы дифференцирования, почленное интегрирование, итерационные методы для решения нелинейных уравнений и определение того, что площадь под кривой является её интегралом. Некоторые считают, что «Юктибхаза» (Yuktibhāṣā) является первым трудом по математическому анализу.[5]
В Европе основополагающим трудом стал трактат Бонавентура Кавальери, в котором он утверждал, что объёмы и площади могут быть рассчитаны как суммы объёмов и площадей бесконечно тонкого сечения. Идеи были похожи на то, что изложил Архимед в работе «Метод», но этот трактат Архимеда был утерян до первой половины XX века. Работа Кавальери не была признана, так как его методы могли привести к ошибочным результатам, и бесконечно малым величинам он создал сомнительную репутацию.
Формальное исследование исчисления бесконечно малых, которое Кавальери соединил с исчислением конечных разностей, проводилось в Европе примерно в это же время. Пьер Ферма, утверждая, что он заимствовал это из Диофанта, ввёл понятие «квази-равенства» (англ. adequality), которое представляло собой равенство с точностью до бесконечно малой ошибки.[7] Большой вклад внесли также Джон Валлис, Исаак Барроу и Джеймс Грегори. Последние два около 1675 года доказали вторую фундаментальную теорему исчисления.