Атомарная функция

---

где ${\displaystyle L}$ — линейный дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами; коэффициенты ${\displaystyle a,b_{k},c_{k}\in \mathbb {R} }$, причём ${\displaystyle |a|>1}$^[1][2].

Простейшая атомарная функция ${\displaystyle \operatorname {up} (x)}$ (читается: «ап от ${\displaystyle x}$»^[3])  является финитным бесконечно-дифференцируемым решением функционально-дифференциального уравнения

с носителем ${\displaystyle \operatorname {supp} \operatorname {up} (x)=(-1,1),}$ которое удовлетворяет условию нормировки ${\displaystyle \operatorname {up} (0)=1}$ (доказано, что при указанной нормировке это решение существует и единственно)^[4].

Преобразование Фурье функции ${\displaystyle \operatorname {up} (x)}$ имеет вид

где ${\displaystyle \operatorname {sinc} =\sin {x}/x}$ — sinc-функция.

---