Коалгебра

---

Коалгебра — математическая структура, которая двойственна (в смысле обращения стрелок) к ассоциативной алгебре с единицей. Аксиомы унитарной ассоциативной алгебры могут быть сформулированы в терминах коммутативных диаграмм. Аксиомы коалгебры получаются путём обращения стрелок. Каждая коалгебра c дуальностью (векторного пространства) порождает алгебру, но не наоборот. В конечномерном случае дуальность есть в обоих направлениях. Коалгебры встречаются в разных случаях (например, в универсальных обёртывающих алгебрах и групповых схемах^[англ.]). Существует также F-коалгебра^[англ.], имеющая важные приложения в информатике.

Коалгебра над полем K — это векторное пространство C над K вместе с K-линейными отображениями ${\displaystyle \Delta :C\to C\otimes _{K}C}$ и ${\displaystyle \epsilon :C\to K}$, такими что

(Здесь ${\displaystyle \otimes }$ и ${\displaystyle \otimes _{K}}$ означает тензорное произведение над K.)

На первой диаграмме мы отождествляем ${\displaystyle C\otimes (C\otimes C)}$ с ${\displaystyle (C\otimes C)\otimes C}$ как два естественно изоморфных пространства.^[1] Аналогично, на второй диаграмме отождествлены естественно изоморфные пространства ${\displaystyle C}$ , ${\displaystyle C\otimes K}$ и ${\displaystyle K\otimes C}$.^[2]

Первая диаграмма двойственна диаграмме, выражающей ассоциативность операции умножения алгебры (и называется коассоциативностью коумножения); вторая диаграмма двойственна диаграмме, выражающей существование мультипликативного нейтрального элемента. Соответственно, отображение Δ называется коумножением (или копроизведением) в C, а ε является коединицей C.

Рассмотрим множество S и образуем векторное пространство над K с базисом S. Элементами этого векторного пространства являются такие функции из S в K которые отображают все элементы S, кроме конечного числа, в ноль; мы отождествим элемент s из S с функцией которая отображает s в 1 и все остальные элементы S в 0. Мы будем обозначать это пространство как C. Мы определим

---