Круговое поле

---

Круговое поле, или поле деления круга степени n — это поле ${\displaystyle K_{n}=\mathbb {Q} (u)}$, порождённое присоединением к полю рациональных чисел ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ первообразного корня n-й степени из единицы ${\displaystyle u}$. Круговое поле является подполем поля комплексных чисел.

Название поля связано с тем, что деление единичной окружности на n равных частей равносильно построению первообразного корня из единицы n-й степени на комплексной плоскости. Исследование круговых полей сыграло значительную роль в создании и развитии теории целых алгебраических чисел, теории чисел и теории Галуа.

Пример: ${\displaystyle K_{3}}$ состоит из комплексных чисел вида ${\displaystyle a+b{\sqrt {3}}\ i}$, где ${\displaystyle a,b}$ — рациональные числа.

Теорема Кронекера — Вебера: всякое абелево конечное расширение поля рациональных чисел содержится в некотором круговом поле.

---