Линейная независимость

---

В линейной алгебре линейная зависимость — это свойство, которое может иметь подмножество линейного пространства. При линейной зависимости существует нетривиальная линейная комбинация элементов этого множества, равная нулевому элементу. При отсутствии такой комбинации, то есть, когда коэффициенты единственной такой линейной комбинации равны нулю, множество называется линейно независимым.

В ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ векторы ${\displaystyle (1,0,0)}$, ${\displaystyle (0,1,0)}$ и ${\displaystyle (0,0,1)}$ линейно независимы, так как уравнение

Векторы ${\displaystyle (1,0,0)}$ и ${\displaystyle (5,0,0)}$ являются линейно зависимыми, так как

Пусть ${\displaystyle V}$ будет линейное пространство над полем ${\displaystyle K}$ и ${\displaystyle M\subseteq V}$. ${\displaystyle M}$ называется линейно независимым множеством, если любое его конечное подмножество является линейно независимым.

Конечное множество ${\displaystyle M'=\{v_{1},v_{2},...,v_{n}\}}$ называется линейно независимым, если единственная линейная комбинация, равная нулю, тривиальна, то есть все её коэффициенты равны нулю:

Если существует такая линейная комбинация с минимум одним ${\displaystyle a_{i}\neq 0}$, ${\displaystyle M'}$ называется линейно зависимым. Обратите внимание, что в первом равенстве подразумевается ${\displaystyle 0\in V}$, а во втором ${\displaystyle 0\in K}$.

---